作业设计word版

作业设计（三）创建带有公式的文档

1. 作业名称: 两个重要的极限

2. 文章的来源：高等数学（上）第一章第六节 3. 完成作业的环境：

1）硬件： 主机:1G 内存:1G 硬盘:2G 软驱：有 显示器：EML 键盘：102 2) 软件： Windows98 Word 2003 4. 编辑及格式说明

1) 标题： 采用艺术字、

2) 正文： 正文第一段采用楷体三号加粗字体，文中插入文本框，艺术字，制作表格

3）字体： 文中数学公式来自于插入菜单里对象命令里的

Microsoft 公式3.0

4）页眉页脚的设置：在页面底设置页眉页脚，页眉输入“作

业设计（三）”，采用宋体红色加粗小三号字体。

5）页面设置：上下各为2.5厘米，左右各为3.17厘米。纸张

为A4纸。

数学中常会遇到对于一些问题进行研究、总结，进而通对这些问题的解决而带动一类问题的解决。本节介绍的两个重要极限就是这类数学思想的体现。

x一、limsin1 xx0sinx0因为 lim 属于型不定式，故不能用极限运算法则求x0x0出，现在采用观察法，下表列出了当x0时，函数sinx的对

x应值。

从表中可以看出，当

sinx即 lim1。 x0xx0时，函数

sinx1x，

x（弧±1.000 ±0.100 ±0.010 ±0.001 度） sinx x0.84147098 0.99833417 0.99998334 0.99999984 事实上，利用极限的夹逼定理可以证明这个极限。 如图作单位圆，并作半径OA在点A的垂线与OB的延长线相交于C，则OA⊥AC ,再作BD⊥OA并交于D,连接AB。

设圆心角为

x（0＜x＜

，则2BD=

sinx ,x=AB,AC=tanx。

显然，三角形AOB的面积＜扇形AOB的面积＜三角形AOB的面积，所以，

111sinxxtanx 即， 222sinxxtanx, 即，

cosxsinx1。 x而x0时，cosx1。于是由夹逼定理得

sinx lim1 x0x这个重要极限还可以推广到下属极限式子：

sina(x)1 alim(x)0a(x)例1

sinx求lim x0xtanxsinxlim(• 解 limx0xx0x1sinx1)lim•lim1 x0x0cosxcosxx例2

1cosx求lim 2x0x 解 limxo1cosxx2lim2sin2x0x2xsin221lim2x0xx22xsin12lim2x0x221 21二、lim1xxxe

为说明此极限的正确性，我们先介绍一个极限存在的准则，即

定理 （数列收敛准则） 单调有界数列必有极限。

这里的单调数列是单调增数列与单调减数列的统称，所谓单调增数列xn，是指满足x1x2x3•••xn1xn•••条件的数列；所谓单调减数列，是指满足

xxx123•••xn1xn•••条件的数列。

n几何说明：因单调数列x在数轴上的对应点只能向一个方向移动，所以这种移动只有两种可能：一种是点xn沿数轴移向无穷远，另一种是点xn无限趋于某个定点A，但现在数列x有界，而有界数列的点xn都落在数轴上的某个闭区间

nM,M内，因此第一种情况是不会发生的，这就表示当nA，因此单调有界数列时，点xn无限趋于某定点A，即limxxn必有极限。

1现在我们研究数列极限lim1nxne，下表列出了当n

1越来越大时，1的对应值。 nn n1 10 n100 1000 10000 100000 ••• ••• 1 2 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 1n1从表中看出，当x增大时， x1随之增大，即x为单nnnn调递增数列，再者，无论 n如何增大，均有xn＜3（证明略），

即

1x有界，据上述定理知，limx1必存在。又由数列值

nnnxn的变化情况发现，n时，xn11nn一个无理数

1e=2.7182818•••，故lim1xxxe。

还可以证明，当x取实数而趋向+，或-时，函数1的极限都存在且都等于e。因此， lim1x1xx1xxe

⑴若作代换x1t1x1则可得这个重要极限的另一种形式t,limt01te, 即 lim1xe。 x0(2)第二个重要极限可以推广为下述形式： a(x)lim11a(x)a(x)e, (x)0lim11(x)1(x)e 2例3 求lim1xx2x

12解 lim1lim1xx22xxxx•421lim1x2xx24e4

x例4 求lim21

xx2xx1limlim1221x解 x11lim1•lim1xxxxxxx2xxlim1xx111xx

xxe•11e

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）