创新课堂 ２２ 解读高考对解不等式问题的考查要求 ■张美叶 解不等式一直是高考的热点问题，它不仅出现 在选择题和填空题中，也出现在解答题中。不仅单 独出现，也经常与集合、函数的定义域、对数指数函 数的性质等结合在一起考核。高考主要有以下几种 界值则是解决此类问题的关键。 例４若Ⅱ≠０，解不等式 ＋２＜Ⅱ（ ＋１）。 解析：怎样对参数。进行分类讨论？必须先对 题型加以考查。 一、简单的不等式 １．最基本、最重要的不等式是一元一次不等式 和一元二次不等式 例１设口≠６，解关于 的不等式ａ２ ＋６ （１ 一 ）≥［似＋６（１一 ）］ 。 解析：将原不等式化为（ｎ —６ ） ＋６ ≥（。一 ６） ＋２（０一ｂ）ｂｘ＋ｂ。， 移项，整理后得（。一ｂ） （ 一 ）≤０。 ・．‘Ⅱ≠６，即（ｎ—ｂ） ＞０，．・． 一 ≤０， Ｂｐ （ 一１）≤０。 解此不等式，得原不等式解集｛ １０≤ ≤１｝。 ２．其他不等式如绝对值不等式、分式不等式、 一元高次不等式、对数不等式、指数不等式和无理不 等式都可以通过等价转化，化为一元一次不等式或 一元二次不等式来解。解其他不等式的过程，实质 上是用同解不等式逐步代换，化简原不等式的过程， 因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原 则。 例２ 不等式ｌ —３ｘ ｌ＞４的解集是 解析：这是个绝对值不等式，基本解法是去绝对 值符号，去绝对值符号一般有二种途经，一是零点分 区间讨论，二是平方法。此题利用绝对值的定义处 理。 原不等式等价于 —３ｘ＜一４或 ２—３ｘ＞４， 解得 ＜一１或 ＞４。 故原不等式的解集为｛ Ｉ ＜一１或 ＞４｝。 ３．超越不等式一般的解法是利用不等式的性 质或数形结合思想。 超越不等式一般无法直接求解，只能利用特殊 方法来解答。 例３不等式Ｉ２ｘ—ｌｏｇ２ｘＩ＜２ｘ＋Ｉｌｏｇ２ Ｉ的解集 为（ ）。 Ａ．｛（ ｆ １＜ ＜２）｝ Ｂ．｛（ １０＜ ＜１）｝ ｃ．｛（ ｌ ＞１）ｊ Ｄ．｛（ ｆ ＞２）ｔ 解析：原不等式是个超越不等式，表面上看无法 求解。但如果仔细观察，就会发现原不等式可转化 为１２ｘ一｜ｏｇ２ｘｌ＜１２ｘｉ＋ｌｌｏｇ２ｘＩ，联想到绝对值不等 式Ｉ ａ一６ Ｉ≤ｌ ｎ Ｉ＋ｌ ｂ Ｉ中取等号和不等号的条件，即 得原不等式等价于２ｘ・ｌｏｇ２ｘ＞０，而 ＞０。故ｌｏｇ２ｘ＞ ０，解之，得 ＞１，选Ｃ。 二、含参不等式 含参不等式在近几年高考中每年必考，解决这 类问题的难点在于对参数恰当分类，分类相当于增 加了题设条件，便于将问题分而治之。在解题过程 中，经常会出现分类难以人手或者分类不完备的现 象。强化分类意识，选择适当的解题切人口，掌握一 些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的 原不等式等价变形： ＋２＜０（ ＋１） ， ／＾ 、 ＿十＿ 二旦 二丝＜０ｊ （ ＋２）（ —ｒｚ）＜０。于是 得到必须将ｎ与一２，０进行比较分类： ①当Ⅱ＞０时，解集为｛ Ｉ ＜一２或０＜ ＜０｝； ②当一２＜。＜０时，解集为｛ ｌ ＜一２或０＜ ＜０｝； ③当口：一２时，解集为｛ ｌ ＜０且 ≠一２｝； ④当ｎ＜一２时，解集为｛ Ｉ ＜口或一２＜ ＜ ０｝。 三、抽象函数型不等式 所谓抽象函数型不等式，即不等式与一个抽象 函数有关，同时已知抽象函数的定义域、奇偶性或单 调性等。这一类不等式的解法是先根据单调性去掉 函数符号，转化为一般不等式来解，但一定要注意定 义域。 四、已知含参不等式的解集，求参数的值或范围 已知含参不等式的解集，求参数的值或范围也 是高考中不等式问题中的一种常见题型。基本解法 是先将参数看成常数，按常规方法来解不等式，然后 再根据所给定的解集求出参数的值或范围。 例５不等式 ＜１的解集为｛ ｌ ＜１或 ＞ ２｝，则Ⅱ＝一——。 解析： ＜１ ｊ 二旦等二 ＞０ ｊ ［（１一Ⅱ） —ｌ】（ 一１）＞０，因为解集为｛ ＜１或 ＞２Ｉ，所以１—０＞０且 Ｉ＿＝２，解之，得Ⅱ：＿｝。 五、与不等式有关的应用题 与解不等式有关的应用题也是高考中不等式常 见的题型，解答的关键是理解题意，将已知条件转化 为函数或不等式形式，然后再处理。 例６某人第一次在商店买 件商品花去Ｙ 元，第二次再去买该种商品时，发现这种商品已经降 价，且１２０件正好降价８元，因此他比第一次多买了 １０件，共花去２元，若该人第一次至少花去１元，那 么他第一次至少买商品多少件？ 解析：先根据题设未知数列出数学关系式。由 『ｙ≥１，① 题意得ｉ（ ＋ｌ０）（考一 ）：２。② 由②，得Ｙ＝ ｛ ，代入①，得 一１Ｉ＞０，因为 ＋１０＞０，所以 ＋２５ｘ一１５０ｔ＞０，解 之，得 ≥５或 ≤一３ｏ（舍去）。 所以该人第一次至少购买该商品５件。 （作者单位：河南省襄城高中）