逐点比较法圆弧插补算法

加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和该圆的名义半径相比较来反映加工偏差。这里，我们以第Ⅰ象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。设要加工图2—3所示第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧

，半径为R，以原点为圆心，起点坐标为A(

x,yx0,y0)，对于圆弧上任一加工点的坐标设为P( ij)，

222R=x+yRij，现在讨论这一加工点的加工偏差。 P点与圆心的距离 P的平方为 PYEP(xi,yi)RpF < 0ROF > 0XA(x0,y0) 图 2 - 2 圆 弧 差 补 过 程图2-3 圆弧插补过程

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若点P(

xi,yj)正好落在圆弧上，则下式成立：

xi2+yj2=x02+y02=R2

若加工点P(

xi,yj)在圆弧外侧，则RP>R，即：

xi2+yj2>x02+y02

若加工点P(

xi,yj)在圆弧内侧，则RPxi2+yj2>x02+y02

将上面各式分别改写为下列形式：

(xi2-x02)+(yj2-y02)=0(加工点在圆弧上) (xi2-x02)+(yj2-y02)>0(xi2-x02)+(yj2-y02)<0(加工点在圆弧外侧)

(加工点在圆弧内侧)

取加工偏差判别式为：

Fij=(xi2-x02)+(yj2-y02)

运用上述法则，利用偏差判别式，即获得图2—2折线所示的近似圆弧。 若P(

Fxi,yj)在圆弧外或圆弧上，

即满足 ij≥0的条件时，应向x轴发出一个负向运动的进给脉冲(—

Δx)，即向圆内走一步。若P(

xi,yj)在圆弧内侧，即满足Fij<0的条件，则向y轴发出一个正向运动的

进给脉冲(+Δy)，即向圆弧外走一步。为了简化偏差判别式的运算，仍用递推法来推算下一步新的加工偏差。

设加工点P(

xi,yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为

Fij=(xi2-x02)+(yj2-y02)0

x坐标需向负方向进给一步(—Δx)，移到新的加工点P(

xi+1,yj)位置，此时新加工点的x坐标值为

xi-1，y坐标值仍为 yi，新加工点P( xi+1,yj)的加工偏差为：

Fi+1,j=(xi2-1)2-x02+yj2-y02

经展开并整理，得：

(2-3)

设加工点P(

Fi+1,=2i 1jFijx

xi,yj)在圆弧的内侧，则：

Fij<0

那么，y坐标需向正方向进给一步(+Δy)，移到新加工点P( 为

xi,yj+1)，此时新加工点的x坐标值仍

xi，y坐标值则改为 yj1，新加工点P( xi,yj+1)的加工偏差为:

Fi,j+1=xi2-x02+(yj+1)2y02，展开上式，并整理得:

Fi,j+1=Fij2yi1

综上所述可知：当

Fij≥0时，应走—Δx，新偏差为Fi+1,j=Fij2xi1，动点(加工点)坐标为

xi+1=xi-1， yjyj；当 Fij<0时，应走+Δy，新偏差为 Fi,j+1=Fij2yi1，动点坐标为 yjyj, yi+1=yi+1。

下面举例说明插补过程。设欲加工第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧

(见图2—4)，起点A的坐标是

x0=4,y0=3，终点E的坐标是 xe=0,ye=5，终点判别值：

E=（x0-xe）（+ye-y0）（40）（53）=6

YE(0,5)A(4,3)OX 图 2-3 圆 弧 实 际 轨 迹 图2-4 圆弧实际轨迹

图2-5 逐点比较法圆弧插补过程

序号 1 2 3 4 5 6 第1拍：判别 F=0 F(=-7)<0 F=0 F(=-5)<0 F(=4)>0 F(=1)>0 工-△x +△y -△x +△y -△x -△x 作节拍 第4拍：比较 E=6-1=5(≠0) E=5-1=4(≠0) E=4-1=3(≠0) E=3-1=2(≠0) E=2-1=1≠0) E=1-1=0(终止) 第2拍：进给 第3拍：运算 F=0-2*4+1=7 F=-7+2*3+1=0 x=3,y=3+1=4 F=0-2*3+1=-5 x=3-1=2,y=4 F=-5+2*4+1=4 x=2,y=4+1=5 F=4-2*2+1=1 x=2-1=1,y=5 F=1-2*1+1=0 x=1-1=0,y=5 表2-3 逐点比较法圆弧插补运算举例

加工过程的运算节拍见表2—3，插补后获得的实际轨迹如图2—3折线所示。

可见，圆弧插补偏差计算的递推公式也是比较简单的。但计算偏差的同时，还要对动点的坐标进行加1、减1运算，为下一点的偏差计算做好准备。

和直线插补一样，除偏差计算外，还要进行终点判别计算。每走一步，都要从两坐标方向总步数中减去1，直至总步数被减为零(发终点到达信号)时为止，才终止计算。

逐点比较法插补第Ⅰ象限直线和第Ⅰ象限逆圆弧的计算流程图分别见图2—4和图2—5。

图2-4 直线插补计算流程图 图2-5 圆弧插补计算流程图