平行四边形培优讲义

平行四边形培优讲义

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平行四边形培优题

周长面积类

以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

如图，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任意一点

PDAB，PEBC，PFAC ，若ABC的周长为12，则PDPEPF

.

如图：A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点…这样延续下去．已知△ABC的周长是1，△A1B1C1的周长是L1，△ABC的周长是L2…AnBnCn的周长是Ln，则Ln= _________ ．

如图，在△ABC中，AB=AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．

如图，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1·S4与S2·S3的大小关系为（ ）

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·S4＞S2·S3 B. S1·S4＜S2·S3 S4=S2·S3 C. S1· D.不能确定 如图，点P是□ABCD的对角线BD上任意一点，过P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，过P作HG∥AB，分别交AD、BC于G、H，请问四边形AEPG和PHCF的面积相等吗并说明理由.

如图，设P为平行四边形ABCD内的一点，△PAB，△PBC，△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则可以得出何结论

平行四边形+角平分线（含垂直）

如图，在ABCD中，∠A=65°，DE⊥AB，垂足为点E，点F为边AD上的中点，连接FE，则∠AFE的度数为（ ）

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A．40°

如图，在ABCD中，AE平分∠BAD交边CD于点E．若AD=3，AB=4，则EC长为（ ）

B．50° C．60° D．70°

A．3 B．2 C．1 D．

如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠

1ADC=60°，ABBC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②

2SABCDAB•AC；③OB=AB；④∠COD=60°，成立的个数有（ ）

A．1个

如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F恰好为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG=3，则AE的边长为（ ）

B．2个 C．3个 D．4个

A．23 B．4

C．8

D．16

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长；

4

（2）当60°＜α＜90°时，是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

在ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

在ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG． ①求证：BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

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（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么 即：FG= AB+BC+AC） （直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是

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平行四边形的综合题

已知：如图，BAC90,ADBC 于D，12,EFBC于F. 求证：AF与EG互相平分

如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

已知，如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE的长；

1（2）求证：CEGAGE．

2

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如图，已知ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD． （1）求证：△ADG≌△FDM．

（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．

已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF． （1）如图，若PE3，EO1 ，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BFBC324 ，求BC的长．

如图，ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足DFA2BAE ．

（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数； （2）求证：AF=CD+CF．

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已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作 DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E． （1）求证：△ADF≌△BCM；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．

平行四边形的几何变换

已知：如图，ABC 是等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边ADE。 求证：（1）ACDCBF

（2）四边形CDEF为平行四边形

如图，在ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，

FABEAD90 ，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．

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如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

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如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE． 探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明； （注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

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如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，点P为直线CD上一点（不与点C重合）． （1）在图1中画图探究：

当点P在CD延长线上时，连结EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ．作直线QF交直线CD于H，求证：QF⊥CD．

（2）探究：结合（1）中的画图步骤，分析线段QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填写这个关系式．

①当点P在CD延长线上且位于H点右边时， ； ②当点P在边CD上时， ．

（3）若AD=2AB=6，AE=1，连接DF，过P、F两点作⊙M，使⊙M同时与直线CD、DF相切，求⊙M的半径是多少

三角形中位线

如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为（ ）

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A．20cm B．16cm C．12cm D．8cm （1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]

（2）如图2，在ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．

若ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和 （3）借助图形3反映的规律，猜猜C可能是多少

观察探究，完成证明和填空． 已知：△ABC是任意三角形．

（1） 如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，

求证：∠MPN=∠A．

（2） 如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且

AM1AN1, ，点P1、P2是AB3AC3边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确请说明你的理由． (3) 如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且

AM1AN1，P1、,AB2010AC2010P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N= ．13

（请直接将该小问的答案写在横线上）

平行四边形动点问题

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2

（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，点E为射线BC上的一动点（不与点B、C重合），过点E作EF⊥AB，FE分别交线段AB、射线DC于点F、G．

（1）如图，当点E在线段BC上时， ①求证：△BEF∽△CEG；

②如设BE=x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）点E在射线BC上运动时，是否存在S△AFD：S△DEC=3：2如存在，请求出BE的长；如不存在，请说明理由．

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