第３Ｏ卷第２期 ２ ０ １ ５年６月 青岛大学学报（工程技术版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩＮＧＤＡＯ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｅ＆Ｔ） Ｖｏ１．３Ｏ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２ ０ １ ５ 文章编号：１００６—９７９８（２０１５）０２—００１９—０７；ＤＯＩ：１０．１３３０６／ｊ．１００６—９７９８．２０１５．０２．００４ 多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统的极大似然参数估计方法 张 玮，王冬青 （青岛大学自动化工程学院，山东青岛２６６０７１） 摘要：针对有色噪声干扰的多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统存在维数高和模型难以参数化的 问题，本研究提出了递推极大似然参数估计方法，并对极大化似然函数系统参数向量的估 计公式进行推导，同时给出了极大似然参数的辨识原理，并对多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型 的参数估计进行理论分析，并通过数值进行仿真实验。理论分析和仿真结果表明，本研究 所提出的算法，能够有效实现有色噪声干扰下的多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统的参数估计。 随着递推次数的增加，辨识精度总体上不断提高；而且噪声方差越小，参数估计精度越高。 该算法原理简单、适用范围广，提高了参数的估计精度，且易于实现参数的在线辨识，因此 该算法可以扩展应用于非均匀采样系统和多变量系统的辨识和参数估计中。 关键词：多变量；Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统；极大似然；参数估计；系统辨识 中图分类号：ＴＰ２７１．７２；Ｎ９４５．１４ 文献标识码：Ａ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统为一类模块化非线性系统模型，它是由静态非线性子模块后接动态线性子模块形 成。模块化模型的研究方法包括过参数辨识方法ｌ＿１ Ｊ、迭代辨识方法Ｉ３ 、基于递阶辨识原理的辨识方 法 ］、基于关键变量分离原理的辨识方法等＿７ ］。然而以上辨识方法多数都是针对单变量模块化模型展 开，由于多变量系统存在维数高和模型难以参数化的问题，因此，多变量模块化模型辨识方法的研究面临巨 大的挑战。多变量模块化模型辨识的主要方法是过参数化方法 ，过参数化方法往往需将系统非线性模 块参数与一部分线性模块参数乘积，得到的未知参数维数远大于原始参数维数，导致过参数化参数辨识算法 计算量巨增，过参数化方法由此得名。而极大似然参数估计方法不需要将系统变换为自回归辨识模型形式， 可以避免参数化为自回归模型时出现的冗余参数和导致计算量大的问题，为此，李俊红等人＿１ 针对单变量 Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型，提出了极大似然参数估计方法。而本文针对多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型，提出了极大似 然参数估计方法，对极大化似然函数的系统参数向量的估计公式进行推导，给出了估计系统参数的递推辨识 算法＿１ ¨］，并进行了数值仿真验证，仿真结果表明，本研究所提出的极大似然参数辨识算法是有效的，而且 该算法可以扩展应用于非均匀采样系统和多变量系统的辨识和参数估计中。 １ 系统模型描述 Ｈａｍｍｅｒｓｒｅｉｎ系统模型描述了一类具有静态非线性串联动态线性的非线性系统，考虑如下多变量 Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型 １（￡） ｆ１（Ｍ１（ ）） ２（ｔ）一 （ ） ｆ２（甜２（￡）） ｉ ，（１） （￡） ｆ （“ （ ）） 收稿日期： ２０１４一Ｏ１—０６：修回日期：２０１５—０３—１８ 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（６１１０４００１） 作者简介： 张玮（１９９０一），女，硕士研究生，主要研究方向为系统辨识和自适应控制。 通讯作者： 王冬青（１９６４一），女，教授，博士，主要研究方向为复杂系统建模与自适应控制。Ｅ—ｍａｉｌ：ｄｑｗａｎｇ６４＠１６３．ｃｏｒｎ ２０ 青岛大学学报（工程技术版） Ｙ（￡）＝：＝Ｂ（ｚ） （ ）＋Ｄ（ ）Ｖ（ ） 第３０卷 （２） 式中，ｌｌ（￡）一［ （ ），“ｚ（￡），…， （ ）］ ∈Ｒ 为系统的输入变量； （ｆ）∈Ｒ为系统的输出变量； （ ）∈Ｒ 为 非线性模块与线性模块之间的中间变量（非线性模块的输出，线性模块的输入）；ｌ，（ ）∈Ｒ为均值为零、方差 为 。的服从正态分布的白噪声序列；Ｂ（ｚ）和Ｄ（ ）分别为单位后移算子ｚ 的矩阵和标量多项式［ｚ～ （￡）一 （ｔ一１）］，且 Ｂ（２）＝［Ｂ１（ｚ），Ｂ２（２），…，Ｂ，（ ）］∈Ｒ Ｂ （ｚ）一ｂ １ ＋ｂ ｚ ＋…＋ｂ ，ｚ一 ∈Ｒ，ｉ一１，２，…，ｒ ．Ｄ（ｚ）一１＋ｄ１ １＋ｄ２ｚ ＋…＋ｄ ｚ ∈Ｒ 假设非线性模块为 Ｈｃ 矾（￡）一ｆｌ（ｕ （￡））一∑ｃ 厂 （“ （￡）），ｉ一１，２，…，ｒ ＾一１ （３） 设当ｔ≤０时，ｊ，（￡）一０，ｌＩ（ ）一０，１，（ ）一０，系统的阶次 、 、 ｄ和ｒ已知，且ｉ一１，２，…，ｒ。令 ｂ 一 ｂ，…，ｂ ］ ∈Ｒ ｃ —Ｅｃ ｃ …， ］ ∈Ｒ ｄ一［ ｌ，ｄ “，ｄ ］。ｒ∈Ｒ ｂ一［６ ，醪，…， ］ ∈Ｒ ，ｃ＝［ｃ ，ＣＴ ，…，ｃ ］ ∈Ｒ ｃ Ｆｆ，１（ （￡一１）） ＾ （ （ 一１）） ＼ｆ Ｆ （ ）一 ｔ・——１ …Ｉ厂 ｔ－——２ ｌ １（ １（￡一２）） ＬＩ １（ １（ｔ— ６）） …（ （ｆ一２）） ∈Ｒ ｃ ｌ‘Ｌ厂 ｔ— … （ （￡一 ６）） ，ｌ（ （ｆ））一Ｅｆ １（“ （ ）），ｆ ２（ （￡）），…，ｆｍｃ（ （ ））］∈Ｒ ｃ ｓ（￡）：Ｅｖ（ｔ一１），ｖ（ｔ一２），…，ｖ（ｔ一 ｄ）］ ∈Ｒ ＝＝ ］ ｔ ｒ＋ ｒ＋ｎ ｌ则将式（３）代入式（１），再代入式（２），可得 （￡） （ ） ＋Ｄ（ｚ）＇，（￡）＝＝： （￡）一［Ｂｌ（ｚ），Ｂ２（ｚ），…，Ｂ，（ ）］ ２ｒ ”ｄ ∑Ｂ （ｚ）凰（￡）＋∑ｄ ｖ（ｔ— ）＋＇，（ｆ）一 ∑ Ｆ （ ）ｃ ＋ｓＴ（￡）ｄ＋ｙ（￡） ＝１ ｉ一１ ｚ一１ （４） ２ 极大似然参数辨识原理 记输入数据为Ｈ 一｛“（１）， （２），…， （Ｎ）），输出数据为Ｙ 一｛ （１）， （２），…， （Ｎ））。令似然函数 Ｌ（ｙ Ｉ ｌｌ￣＿ ，Ｑ）等于联合条件概率密度函数Ｐ（Ｙｗ ｌ ｔｌ￣＿ ，Ｑ），可表达为 Ｌ（ｊ，Ｎ ｌ Ｈ￣＿ｌ，Ｑ）一 （ （Ｎ）Ｉ ｊ，Ⅳ＿１，ｌｌ￣＿１，Ｑ）ｐ（ｙ（Ｎ一１）Ｉ ｊ， ２，Ｈ￣＿２，Ｑ）…户（．ｙ（１）ｌ （ｏ）， （０），Ｑ）一 Ｎ Ｎ ＩＩ户（ （￡）ｌ Ｙ ，ｌｌ ，Ｑ）：ＩＩｐ（ｂＴＦ （ｆ）ｃ ＋ＳＴ（ ）ｄ＋ （ ）Ｉ Ｙ ，Ｕｔ－１ Ｑ） ｔ＿－１ ｔ＝１ 根据极大似然原理，参数Ｑ的极大似然估计值 加 可使 Ｌ（ｙＮ Ｉ ＵＮ－１，Ｑ）Ｉ Ｑ№一ｍａｘ 或使 ｌｎＬ（ｙＮ １“￣＿１，Ｑ）ｌ Ｑ 一ｍａｘ 第２期 张 玮，等：多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统的极大似然参数估计方法 ２１ 即（假设噪声方差为 ） ａ盯。 由于＇，（￡）与Ｙ ，，ｌｌ 及Ｑ互不相关，这等价于使 ｌ 一ｏ ｌ （５） （Ｑ）一告∑＇，。（ ）Ｉ 一ｒａｉｎ 推导过程见文献［１１—１４］，此处不再赘述。 ３ 多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型的参数估计 记系统在￡一１时刻，参数极大似然估计值 可近似表示为 —Ｑ（ｔ一１），＇’（ ）在Ｑ舰一Ｏ（ｔ一１）点上的泰勒展开式口 ）≈ ） ＋［ ］ Ｔ ＥＱ一龟（ ）］＋ ￣－［－Ｑ－－Ｏ（ 一１）］ ［ 忽略高次项，可得 ］。Ｔ ［Ｑ—Ｑ（ 一１）］＋… ［Ｑ一 ＿１）］ ａ＇，（￡） ａ ｂ （６） ㈩ ）≈ ｃ ＋［ 定义信息向量 一一［ 一 ａ １，（ ） ａ ｃ ∈Ｒ ６ｒ＋ｎ ｒ＋ｎ （８） ａ ｙ（ ） ａ ｄ 设 （ ）是＇，（￡）在ｔ时刻的估计值，则式（７）可表示为 ＇，（ ）≈ （ ）一 （ ）［Ｑ—Ｏ（ｔ一１）］ 设６（ｆ）， （ ）和ｅｌ（ｔ）是６，ｃ和ｄ在ｔ时刻估计值，那么 （ ）， （ ）和Ｄ（ ）在ｔ时刻估计值为 台 （ ，ｚ）一５ １（￡） ＋６ ２（￡）Ｚ－ ＋…＋ｂ （ ）Ｚ－－ （９） （￡）一ｃ １（ｔ）ｆｉ１（ （￡））＋ｃ ２（ ）厂 ２（“ （￡））＋…＋ｃ （ ）＾ （ （￡）） ｂ（ｔ，ｚ）一１＋ １（ ） 一 ＋ ２（￡） ＋…＋ （￡）ｚ～ 令Ｑ在ｔ时刻的估计值Ｑ（ｆ）为 （￡）一［６ （￡），ｂＴ（ｔ），…， （ ），ｃＴ（ｔ）， （ ），…， （ ），ａ （ ），ａｚ（ ），…，ａ （ ）］ 由式（２）得 （ ）一Ｄ－ （ｚ）［ｙ（￡）一Ｂ（ｚ） （￡）］ ＇，（￡）对ｂ ，Ｃ 和ｄ （即对 （￡））的偏导数为 （１０） 酉ａ ｖ（ｔ） 一［ ， ，…， 百ａ ｖ（ｔ） 一［ ， ，…， Ｔ 一 Ｉ Ｑ（ １）一 其中 （ ）：一 一 （ 一１，ｚ）Ｆ （ ） （ 一１）一 Ｆ （ ） （ 一１）一 １（ 一１） （ 一１）一…一 １）一∽ １）一 （￡一１，ｚ）ｚ－ｉｖ（ｔ）一一ｚ ｖｆ（ｔ） （ 一１） （ —ｎｄ） ２２ 青岛大学学报（工程技术版） （￡）：一 （ｆ一１， ） （ｆ）占 （ 一１）一 第３Ｏ卷 Ｆ （￡）６ （￡一１）一 １（￡一１）Ｆ （￡一１）一…一ａ （￡～１） （￡一 ｄ） ｒ（ ）：一ｂ一 （≠一１，ｚ） （￡）一；（ ）一 １（ 一１） ｒ（ 一１）一…一 （ 一１）＾ｖ，（ 一ｎｄ） 则式（８）所示信息向量为 五，（ ）一［ ｊ（ ）， （￡），…， （￡）， （ ）， （ ），…， （ ），ｖｒ（￡一１），ｖｓ（ 一２），…， ，（ — ｄ）］ （１１） 将式（５）中的目标函数Ｊ（Ｑ）写成递推形式，即 Ｊ（Ｑ， ）＝＝＝Ｊ（Ｑ，ｔ一１）＋＿去＿１，２（￡） 将Ｊ（Ｑ，ｔ一１）在 （ 一１）点上进行泰勒级数展开，忽略Ｊ（Ｑ，ｔ一１）对Ｑ的一阶导数项，有 （１２） Ｊ（Ｑ，￡）≈告［Ｑ— （￡一１）］ （ 一１）［Ｑ— （￡一１）］＋告Ｒ ＋告 （￡） 其中， （ 一１）一Ｅａ。Ｊ（Ｑ，ｔ～１）／ａＱ ａＱＴ Ｊ （Ｑ， ）一２Ｊ（Ｑ， ） （１３） 为正定对称阵；Ｒ 为Ｊ（Ｑ， 一１）的泰勒级数展开式的余项。令 将式（９）代人上式得 ｔ， （Ｑ， ）≈ＥＱ—Ｏ（ｔ一１）］ ｐ－ （￡一１）［Ｑ—Ｑ（ 一１）］＋Ｒ 十＇，。（￡）≈ ＥＱ—Ｏ（ｔ一１）］ ｐ－ （￡一１）［Ｑ— （￡一１）］＋Ｒ ＋［ （￡）一矗 （￡）［Ｑ—Ｑ（￡一１）］ 一 ［Ｑ— （ 一１）］ ［ （ 一１）＋五，（￡） （￡）］［Ｑ— （￡一１）］＋ Ｒ ＋［ （￡）一２ （￡）五 （ ）［Ｑ—Ｑ（ 一１）］］一 ［Ｑ～Ｏ（ｔ一１）一ｒ（ ）］ ｐ－ （￡）［Ｑ—Ｑ（￡一１）一ｒ（ ）］十Ｒ （￡） 其中 （１４） （１５） ｐ－１（ ）一ｐ－ （ 一１）＋五，（ｔ）ｈＴ（ ），ｒ（ ）＝Ｐ（ｔ）ｈ，（ ） （ ） Ｒ （ ）一一ｒ （ｔ）Ｐ－ （￡）ｒ（￡）＋ （￡）＋Ｒ 因为Ｒ （ ）＞０，那么当Ｑ一 （ 一１）一ｒ（￡）一０时，式（１４）Ｊ （Ｑ，￡）或式（１２）Ｊ（Ｑ，￡）取得最小值，令Ｑ — （ ）代表Ｑ在ｔ时刻的估计值，则有 Ｑ（ ）一Ｏ（ｔ一１）＋ｒ（￡）一Ｏ（ｔ～１）＋Ｐ（ ）矗，（￡）＇ｌ，（ ） 利用矩阵反演引理得 （Ａ＋ａＣ） 一Ａ～一Ａ Ｂ（Ｉ＋ＣＡ Ｂ） ＣＡ 由式（１５）可得协方差矩阵 一 一等 定义增益矩阵 ：一 ㈤一 蒜 则Ｐ（￡）可以写成 ） （１８） Ｐ（ ）一Ｐ（ｔ一１）一Ｋ（ｔ）ｔｔＴ（ ）Ｐ（ 一１）一ＥＩ—Ｋ（ｔ）￣ｔＴ（ ）］Ｐ（￡一１） １）代替，得到估计值 （￡）的计算式为 将式（４）中的信息向量ｓ（ ）和参数向量ｂ 、Ｃ 和ｄ分别用它们的估计值；（￡）和易 （￡一１）、 （ 一１）和ａ（ｔ 一（ ）＝＝＝ （￡）一∑６ （￡一１）Ｆ （ ） （￡一１）一； （￡）ａ（￡一１） 其中 （１９） （２Ｏ） ；（￡）一［ （￡一１）， （ 一２），…， （ 一 ｄ）］ 总结以上推导过程，得到多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型的递推极大似然参数估计算法为 （￡）一Ｏ（ｔ一１）＋Ｋ（ ） （ ）（２１） 第２期 张 玮，等：多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统的极大似然参数估计方法 ２３ 一 蒜 （２３） Ｐ（￡）一Ｅ１一Ｋ（￡）矗 （￡）］Ｐ（￡一１），Ｐ（ｏ）一Ｐ。Ｉ ｊｌ，（ ）一［ （￡）， （￡），…， （ｆ）， （ ）， （￡），…， （￡）， ，（￡一１）， ，（ 一２），…，ｉｆ（ 一 ｄ）］ （２４） （ ）一Ｆ （ ） （ 一１）一ａ１（ 一１）ｉｔ。（ 一１）一…一ａ （￡一１） 。（￡一ｔ／ｄ） （２５） （￡）一Ｆ （ ）占 （￡一１）一ａ （ 一１） （ 一１）一…一ａ （ 一１） （ 一砌） ，（￡）一 （ ）一ａｌ（￡一１） ，（￡一１）一…一ａ （ 一１）ｉｒ（￡一 ｄ） （２６） （２７） Ｆ （￡）＝＝＝ＥｆＴ（１Ｉ （￡一１）），ｆＴ（１ｌ （￡一２）），…，， （１ｌ （￡一 ））］ ．厂 （１ｌ （ ））＝Ｉｆ ｌ（Ｅｌ （ ）），ｆ ｚ（Ｈ （ ）），…，‘厂 （ （ ））］ ；（￡）＝Ｅｖ（ｔ一１），ｖ（ｔ一２），…，ｖ（ｔ—Ｔｌｄ）］ （２８） （２９） （３Ｏ） （ ）一 （ ）一∑ （ 一１）Ｆ （ ） （￡一１）一，ｓ （ ）ａ（￡一１） ＯＡｔ）一Ｅｂ［（￡），６ （￡），…，易 （ｆ）， （￡）， （ ），…， （ ），ａ （ ），ａ （￡），…，ａ （ ）］ 占 （￡）一Ｅｂ （ｆ），６ （ｆ），…，６ （ ）］ ， （￡）一［ （ ）， ２（ ），…， （￡）］ 极大似然估计值 （￡）的计算步骤如下： １） 令ｔ一１， （ｏ）＝（１ （３１） （３２） （３３） ，＋ ）／ｐ。， （ ）：（１／ｐ。）， ，（ ）一（１／ｐ。）， （ ）＝０， （ ）一０，Ｈ（ ）一 ０， （＿『）一ｏ，ｊ７（ ）一ｏ， ≤ｏ，ｐ。一ｌＯ 。 ２） 收集系统的输入输出数据ｌｌ（ ）和 （￡），由式（２８）和（２９）构建 （ ），由式（３０）构建；（￡）。 ３） 由式（３１）计算 （ ）。 ４） 由式（２５）～（２７）分别计算 （ ）、 （ ）和 ，（￡），并由式（２４）构建五，（￡）。 ５） 由式（２２）和式（２３）分别计算Ｐ（ ）和Ｋ（ ）。 ６） 由式（２１）刷新参数估计值Ｑ（￡）。 ７）ｔ增加１返回步骤２）。 ４ 仿真实验 考虑如下２个输人多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统 ｕ（ ）一『Ｌ ］一 ＣｌｌＵｌ ＋ “ ］一 ２２“ ＋ ５２。￡ ］ （ ） Ｌｃ２ｌ“２（ ）＋Ｃ２２“；（ ）Ｊ Ｌｏ．７４ｕ２（ ）一０．５７ｕｉ（￡）Ｊ ２（ ）一Ｂ（ｚ） （ ）＋Ｄ（２）＇’（￡） 其中 Ｂｃｚ ＝＝［茎 ；］ ＝：［ｂ６ｌ。ｌ Ｚ一－１ ＋￣－６ｂ １２ Ｚ一－２。 ：＝［——Ｏ。．１７７ ｚ一 １＋。０．４ ２３ ｚ一－ ２￣ Ｄ（ｚ）一１＋０．１４ｚ 一０．１０ｚ一 仿真时，｛ （ ）｝采用均值为零、方差为 的随机白噪声序列；输入｛“（ｆ））采用零均值、单位方差、不相关 可测随机信号序列，取数据长度ｔ一３ ０００，采用本文所提出的极大似然参数估计算法，对该系统进行参数估 计。当 。一１．Ｏ０。和口 一２．Ｏ０ 时，参数估计值及其估计误差如表１和表２所示。 表１ 参数估计值及其误差（ ＝１．Ｏ０ ） ２４ 青岛大学学报（工程技术版） 第３Ｏ卷 当参数估计误差 一（Ｑ（ ）一Ｑ）／Ｑ时，估计误差 随数据长度变化曲线如图１所示。由表１和表２可知， 本文所提出的极大似然参数估计算法，能够有效实现 有色噪声干扰下的多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统的参数 估计；随着递推次数的增加，总体上辨识精度在不断提 高。由图１可以看出，随着数据长度的变化，辨识精度 （ｆｆｉ计误差）不断提高。说明噪声方差越小，参数估计 精度越高。 榭曾｝ ０ ５ １０ ｌ５ ２Ｏ ２５ ３Ｏ 数据长度ｔ 图１ 估计误差随数据长度变化曲线 ５ 结束语 本研究对多变量的Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型，提出了一种递推极大似然参数估计算法，这种算法的特点是不 需要将辨识模型表示为最小二乘的标准形式，即自回归模型形式，而且所提出的极大似然参数估计算法原理 简单，避免了传统的过参数化算法中未知参数存在的非线性模块参数与一部分线性模块参数乘积，导致未知 参数维数远大于原始参数维数的缺点，且该算法没有出现冗余参数，计算量小，能够实现在线辨识，可以扩展 应用于非均匀采样系统和多变量系统的辨识和参数估计中。 参考文献： ［１］Ｄｉｎｇ Ｆｅｎｇ，Ｌｉｕ Ｘｉａｏｐｉｎｇ，Ｌｉｕ Ｇｕａｎｇｊｕｎ．Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ＳｙｓｔｅｍｓｒＪ］．Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１１，２１（２）：２１５—２３８． １－２］ 王峰，邢科义，徐小平．辨识Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型方法研究ＥＪ］．系统仿真学报，２０１１，２３（６）：１０９０—１０９２． Ｉ－３］ Ｌｉｕ Ｙｕｎ，Ｂａｉ Ｅｒｗｅｉ．Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００７，４３（２）：３４６—３５４． ［－４－１ Ｌｉ Ｇｕｏｑｉ，ｗｅｎ Ｃｈａｎｇｙｕｎ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ＆ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１１，６０（１１）：９２９—９３５． ｌｉａｒｙ Ｍｏｄｅｌ—Ｂａｓｅｄ Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌｅａｓｔ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｐａｒａｍ Ｅ５］ Ｗａｎｇ Ｄｏｎｇｑｉｎｇ，Ｃｈｕ Ｙａｎｙｕｎ，Ｙａｎｇ Ｇｕｏｗｅｉ，ｅｔ ａ１．Ａｕｘｉｅｔｅｒ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ ＯＥＡＲ ＳｙｓｔｅｍｓｆＪ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２０１０，５２（１—２）：３０９— ３１７． １－６］ Ｖｏｒ６ｓ Ｊ．Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｅｎｅｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｍｕｌｔｉｓｅｇｍｅｎｔ Ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ－Ｌｉｎｅａｒ Ｎｏｎ１ｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ口］．Ｓｙｓｔｅｍｓ ８Ｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００７，５６（２）：９９—１０５． ［７］ Ｗａｎｇ Ｄｏｎｇｑｉｎｇ，Ｄｉｎｇ Ｆｅｎｇ．Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｌｅａｓｔ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ－Ｗｉｅｎｅｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１２，１９（１２）：８２５—８２８． ｎｇ Ｆｅｎｇ．Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｍｕｌｔｉ－Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｙｓｔｅｍ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ Ｅ８］ Ｄｉ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２０１３，３７（４）：１６９４—１７０４． ［９］ 袁廷奇．一类多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型的参数辨识方法［Ｊ］．控制与决策，２０１０，２５（３）：４７８—４８０． ［１Ｏ］ Ｍｏｈａｍａｄｒｅｚａ Ａ，Ｍｏｊａｌｌａｌｉ Ｈ．Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ－Ｉｎｐｕｔ Ｓｉｎｇｌｅ－Ｏｕｔｐｕｔ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ Ｍｏｄｅｌｓ Ｕｓｉｎｇ Ｂｅｚｉｅｒ Ｖｕｒｖｅｓ ａｎｄ Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２０１ｌ，３５（４）：１９６９—１９８２． ［１１］ Ｌｉ Ｊｕｎｈｏｎｇ，Ｄｉｎｇ Ｆｅｎｇ，Ｙａｎｇ Ｇｕｏｗｅｉ．Ｍａｘｉｍｕｍ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｌｅａｓｔ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｉｎｐｕｔ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ 第２期 张 玮，等：多变量Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ系统的极大似然参数估计方法 ２５ Ｆｉｎｉｔｅ Ｉｍｐｕｌｓｅ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｖｅｒａｇｅ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ＇２０１２，５５（３—４）：４４２— ４５０． １２ １３ １４ 赵红，马文星，霍炜，等．液力变矩器动态特性辨识实验研究［Ｊ］．青岛大学学报（工程技术版），２００１，１６（１）：６—１０・ 穆勇．灰色预测模型参数估计的优化方法［Ｊ］．青岛大学学报（自然科学版），２００３，１６（３）：９５—９８・ Ｌｊｕｎｇ Ｌ．Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ：Ｔｈｅｏｒｙ ｆ０ｒ ｔｈｅ Ｕｓｅｒ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄ．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ ＰＴＲ，Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ， １９９９． Ｍａｘｉｍｕｍ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ＺＨＡＮＧ Ｗｅｉ ＷＡＮＧ Ｄｏｎｇｑｉｎｇ ．ｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０７１，Ｃｈｉｎａ） （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ＱｉＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｂｅｉｎｇ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｂｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｅｄ ｉｎ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｏｌｏｒｅｄ ｎｏｉｓｅｓ，ａ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖｅｃｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｓｖｓｔｅｍ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ，ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｔｈｅ ｐａ— ｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎ— ｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｏｕｌｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｒｅａＩｉｚｅ ｔｈｅ Ｄａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｏｌｏｒｅｄ ｎｏｉｓｅｓ，ｃａｐａｂｌｅ ｏｆ ｇｅｎ— ｅｒａ１１ｖ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ．Ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｒ ｎｏｉｓｅ ｖａｒｉ— ａｎｃｅ．ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｉｓ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｉｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｍａｎｙ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ｃａｎ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ，ａｎｄ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｂｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｏｎ－ ｌｉｎｅ．Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ；Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｓｙｓｔｅｍ ｉ— ｄｅｎｔｉ ｆｉ ｃａｔｉｏｎ