江苏省如皋中学2018-2019学年度高三第一学期数学调研试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1. 已知全集U=R，集合A=,0，B1,3,a，若(CUA)则实数a的取值范围是 a0; B，

2. 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ．2 33. 在等比数列{an}中，若a22，a632，则a2与a6的等比中项为 ．8

yx34. 已知实数x，y满足xy1，则x2y的最大值是 ．

2y15. 已知m,n是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题： ① 若m//,n//，则m//n； ② 若m,n，则m//n； ③ 若m//,n，则mn；④ 若m,mn，则n//． 其中真命题的序号有 ．（请将真命题的序号都填上） ②③

6. 已知cos(4)10433，(0,)，则sin(2) ．

3101027. ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OAABAC0，|OA||AB|，则CACB ．3

8. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为 ．2

9. 在正三棱锥P－ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB＝4,PA＝8，过A作与PB,PC分别交于D和E的截面，则△ADE的周长的最小值是 ．11

lnkxln(x1)不存在零点，则实数k的取值范围是 ．[0,4) 2x2y211. 已知椭圆的方程为221(ab0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭

ab10. 若函数f(x)圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于 ．3 312. 设函数f（x）是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f/(x)，且有3f(x)xf/(x)0，则不等式

（-2018,-2015） (x2015)3f(x2015)27f(3)0的解集

13. 锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC最小值是 ．8

2214.若关于x的方程ln2xx3txxtlnxt有且仅有唯一的实数根，则实数t的取值范围是

______0t2或t1. 4二、解答题： 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过．．．．．．．．．．．

程或演算步骤.

15. 在四边形ABCD中，AC4，BABC12，E为AC的中点.

12，求ABC的面积SABC； 13（2）若BE2ED，求DADC的值.

12解：（1）cosABC，ABC0,，

13（1）若cosABC1

512sinABC1，

13132BABC12BABCcosABCBABC13,

1155SABCBABCsinABC13.

22132（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则A(－2,0)，C(2,0)，设Dx,y，

由BE2ED， 可得B(2x,2y)，

12BABC,13

x2y24,

则BABC12(2x2,2y)(2x2,2y)4x244y2,

DADC2x,y2x,yx2y240.

16.如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．

（1）求证：AB⊥ED；

（2）线段EA上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？请说明你的理由。 16.（1）证明：如图，取AB中点O，连结EO，DO. 因为EA＝EB，所以EO⊥AB. 因为AB∥CD，AB＝2CD， 所以BO∥CD，BO＝CD. 又因为AB⊥BC，

所以四边形OBCD为矩形，所以AB⊥DO. 因为EO∩DO＝O， 所以AB⊥平面EOD.

又因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED.

（2）当点F为EA中点时，有DF∥平面BCE.证明如下： 取EB中点G，连结CG，FG.因为F为EA中点，

1

所以FG∥AB，FG＝AB.

21

因为AB∥CD，CD＝AB，所以FG∥CD，FG＝CD.

2

所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG. 因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE， 所以DF∥平面BCE.

，半径为4的扇形钢板，现将此钢板的顶部切割成等腰梯2形ADCB的形状，切割之后的钢板形如后图中的五边形OADCB，其中OM⊥CD，垂足为M．

17. 如下前图所示，有一块圆心角为

⑴ 设∠MOD，将五边形OADCB的面积S表示成的函数关系式； ⑵ 求五边形OADCB的面积S的最大值以及取得最大值时的值．

2

答案：(1)S2sin24sin(45),045

(2)15,S1

0000x2y21的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T18. 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m0,y10,y20。 （1）设动点P满足PFPB4,求点P的轨迹；

221，求点T的坐标； 3（3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

（2）设x12,x2解：（1）设点P(x,y)，则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2222由PFPB4，得(x2)y[(x3)y]4, 化简得x229。 2故所求点P的轨迹为直线x（2）将x12,x29。 215120分别代入椭圆方程，以及y10,y20得：M（2，）、N（，） 33391y0x3直线MTA方程为：，即yx1， 53023355y0x3直线NTB 方程为：，即yx。 201620393x710联立方程组，解得：10，所以点T的坐标为(7,)。

3y3（3）点T的坐标为(9,m)直线MTA方程为：

y0x3m(x3)， ，即ym093123

直线NTB 方程为：

y0x3m，即y(x3)。 m0936x2y21联立方程组，同时考虑到x13,x23， 分别与椭圆953(80m2)40m3(m220)20m,)N(,)。 解得：M(、222280m80m20m20m20m3(m220)yx2220m20m（方法一）当x1x2时，直线MN方程为： 2240m20m3(80m)3(m20)22280m20m80m20m2 令y0，解得：x1。此时必过点D（1，0）；

当x1x2时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

2403m23m260（方法二）若x1x2，则由及m0，得m210， 2280m20m此时直线MN的方程为x1，过点D（1，0）。

若x1x2，则m210，直线MD的斜率kMD40m210m80m， 2403m240m21280m直线ND的斜率kND20m210m20m， 223m6040m120m2得kMDkND，所以直线MN过D点。 因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。 19.若数列an的前

n项和为Sn，且满足等式an2Sn3.

（1）求数列an的通项an；

（2）能否在数列an中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由； （3）令bnlog1an31，记函数f(x)bnx22bn1xbn2(nN*)的图象在x轴上截得的线段长为cn， 21设Tn(c1c2c2c34cn1cn)(n2)，求Tn，并证明：T2T3T42n1Tn．

n19.（1）当n1时，a12a13，则a11.又an2Sn3，

1所以an12Sn13，两式相减得an1an，

34

11的等比数列，所以ann1 33（2）假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap,aq,ar,(pqr)

即 an是首项为1，公比为

211211，即，

3q13p13r13q3p3r所以23rq3rp1，即23rq3rp1，

即3rq(23qp)1又pqr，rq,rpN*， 则

所以3rq3,23qp0所以3rq(23qp)0

假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列

（3）设f(x)与x轴交点为(x1,0),(x2,0) 2bn1bnbn2， 当f(x)=0时有(x1)(bnxbn2)0

bb2b22 cn|x1x2||1n， x11,x2n2n|bnbnbn|bn|11又bnlog1ann0，

223cn22211cn1cn4() bnbn1bnbn1bn11111Tn4[()()4b1b2b2b3 (11)] bn1bn11112(n1) 111b1bnnn2222(n1)2(n1) Tn1nn222223242(n1)2n1T2T3T4Tn

2345nn20.已知函数f(x)alnxax3(aR)．（1）当a＞0时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数yf(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45，且函数

1g(x)x2nxmf(x)(m，nR)当且仅当在x1处取得极值，其中f(x)为f(x)的导函数，求m的

2取值范围；

1（3）若函数yf(x)在区间(，3)内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范

3围．

a(1x)20解：（1）f(x)(x＞0)， 当a＞0时，令f(x)＞0得0＜x＜1，令f(x)＜0得x＞1，

x)； 1)，单调减区间为(1，故函数f(x)的单调增区间为(0，（2）函数yf(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45，则f(2)1，即a2； 2mx3nx22m122， 所以g(x)xnxm(2)，所以g(x)xn2xx22x因为g(x)在x1处有极值，故g(1)0，从而可得n12m，则x3nx22m(x1)(x22mx2m)g(x)，

x2x2又因为g(x)仅在x1处有极值，

)上恒成立， 所以x22mx2m≥0在(0，5

当m＞0时，由2m＜0，即x0(0，)，

使得x022mx02m＜0，所以m＞0不成立，故m≤0，

)时，x22mx2m≥0恒成立，所以m≤0； 又m≤0且x(0，（3）由f(x)a(1x))分别为f(x)的两个不同的单调区间， 1)与(1，(x＞0)得(0，x因为f(x)在两点处的切线相互垂直，所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内． 故可设存在的两点分别为(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，其中＜x1＜1＜x2＜3， 由该两点处的切线相互垂直，得 即

13a(1x1)a(1x2)1， x1x21x1x1x1122，而(0，2)， x1a1x2x1x21(0，2)，可得(2a21)x2＞2a2， 2a1x22故2a22a23＜3，即a2＞， 由x2＞0得2a1＞0，则x2＞2，又1＜x2＜3，则22a12a1433)(，)． 所以a的取值范围为(，226