信号正交分解

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA%A4

http://zlgc.usx.edu.cn/jsjy/kc/xhyjs/chap6/ch

ap6_1/chap6_1_1.htm

第一讲 信号的正交分解

把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。 信号分解的方法有很多。例如，对一离散信号一组函数的组合，即

，我们可把它分解成

，式中，。

但这种分解无实用意义，因为方法是把N点数据

的权重即是信号自己。另一种分解的

看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基

向量作为分解的“基”，也就是

按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号

自己的各个分量，也无太大意

义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。

一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷大。设是由一组向量

所张成，即

这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果它们线

中的一组“基”。

各自可能是离

性独立，我们则称它们为空间

散的，也可能是连续的，这视而定。这样，我们可将按这样一组向量作分解，即

(6-1-1)

式中是分解系数，它们是一组离散值。因此，上式又称为信号的离

散表示（Discrete Representation）。 如果

是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的

是在各个基向量上的投影。

正交展开（或正交分解）。分解系数若N=3，其含意如图6-1-1所示。

图6-1-1 信号的正交分解

为求分解系数，我们设想在空间量和

满足：

中另有一组向量： ，这一组向

（6-1-2）

这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有

，即：

(6-1-3a)

或 (6-1-3b)

(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。 (6-1-3)式称为信号的变换，其结果是求出一组系数（6-1-1）式称为信号的“综合”，或反变换。

称为

；

的

“对偶基”，或”倒数（Reciprocal）基”。（6-1-2）式的关系称为“双正交（biorthogonality）”关系（或双正交条件）。在此须特别指出的是，双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性。但每一组向量之间并不一定

具有正交关系，如图6-1-2所示，在二维空间中， 也不是正交的，但是

，

并不是正交的，

，即两组基向量满足双正交关系。

图6-1-2 两组二维向量的双正交关系

如果一组基向量的对偶向量即是其自身，也即 ，……，

，那么这一组基向量构成了N维空间中的正交基。

若空间中的任一元素都可由一组向量 作（6-1-1）式的分

是完备的，

解，那么我们称这一组向量是“完备（Complete）”的；如果

且是线性相关的，那么，由（6-1-1））式表示必然会存在信息的冗余，并且其对偶向量

将不会是唯一的。这时，我们称

构成空间

的一个“标架

(Frame)”。有关标架的概念可以进一步参考有关书籍。 若时，

是完备的，且是线性无关的，则

是

中的一组基向量，这

是就是

存在且唯一，即存在（6-1-2）式的双正交关系。前已述及，若

，则

是

中的正交基，其对偶向量

完备的，且

自身。

（6-1-1）式又可写为

(6-1-4)

这样，可以看作在基向量上的投影。另外，此式又可写成

(6-1-5)

即基向量和其对偶向量是可以互相交换的，一个用作“分

解”，一个用于“综合”，反之亦然。 给定一组基向量对偶基向量

。由于

和

，要实现对信号的分解，第一步是要求出

是都是空间

中的基向量，所以

的

可表示为 的线性组合，即，用对两边作内积，有

。由（6-1-2）式的关系，该式应等于

。 令

，

则

，有

。

显然，若有

为一正交基，则为单位阵，从而。

也为单位阵，对应则

现在，我们对（6-1-1）以及（6-1-4）式的信号分解给以简单的物理解释:和对偶基向量似性。和

的内积，即

，反映了信号和

之间的相

越接近，则越大。因此，（6-1-5）式的运算可以想象为用一

所组成，各个分量

可以看作

把尺子去“度量”信号，这把“尺子”由

是尺子上的刻度，所以是和相比较所产生的“度量”，即权重。显

然，刻度越细，“度量”效果越好。所以，对信号分解时，基函数的选择非常关键。

信号的正交分解

上一节讨论了信号分解的一般概念，现在简要介绍一下信号正交分解的概念。正交分解（或正交变换）是信号处理中最常用的一类变换。其原因是正交变换有如下一系列的重要性质： [性质1]正交变换的基向量

即是其对偶基向量，因此在计算上最为简单。如

果是离散信号，且N是有限值，那么（6-1-1）式的分解与（6-1-3）式的变换只是简单的矩阵与向量运算。 由6-1-3式，假定

是实函数，则有

式中，是

的正交阵，因此

，这样，

。即在正交变换时，

正、反变换矩阵仅是简单的转置关系，当用硬件来实现这变换时，其优点尤其突出。同时我们也看到，正交变换的正、反变换是唯一的。 [性质2]展开系数

是信号在基向量

上的准确投影。

由（6-1-3）式，在双正交的情况下，展开系数偶函数

之间的相似性，所以

和

是在

反映的是信号和对

并不是在

上的投影，也即，

上的投影，如果有明显的不同，那么将不能反映相对基函

数的行为。反之，在正交情况下，＝，自然是在上的投

影。当然，也就是准确投影。

[性质3]正交变换保证变换前后信号的能量不变，此性质又称为“保范(数)变换”。

此即帕塞瓦尔（Paseval）定理，也即，只有正交变换才满足帕塞瓦尔定理。 [性质4]信号正交分解具有最小平方近似性质。 设

是

张成的空间，

，

满足正

交关系，按（6-1-1）式对分解，即 。假定我们仅取前

L个向量，即来重构，则有 。

为衡量对近似的程度，我们用来

描述之。将其展开，有求偏导，并使之为零。则当

为最小时，必有

，

，对 及

。

若空间由向量

及

张成，即

，我们称

，并有和

是

的子空间。如果：

1．，即和没有交集；

2．记作：

，即是和的并集；这时，我们称是和的直和，

。这些概念我们将在小波变换中用到。

[性质5]将原始信号经正交变换后得到一组离散系数 。这一组系

数具有减少中各分量的相关性及将的能量集中于少数系数上的功能，相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数号与图像压缩编码的理论基础。

作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出： [定理]：

是一个原型函数，其傅立叶变换为

，若

是

的性质。这一特性是信

一组正交基，则即

。若

，则

是两组正交基，

。

[证明]因为可表示为

是正交基，设是它构成空间中的一个元素，则

的线性组合，即

由性质3，有 ,并对上式作傅里叶变换，有

注意，该式是傅立叶变换（FT）和离散时间傅立叶变换（DTFT）的混合表达式。设想，

是一连续函数的抽样，抽样间隔为，则上式右边的第二部分应是

。这种FT和DTFT混合表达的形式以后还会

遇到，暂时我们将到

记做

，

是周期的，周期为2π。这样得

。由帕塞瓦尔定理，有

因为，比较上面的结果，因此必有

。

余下部分留给读者证明。

由以上讨论可知，在一N维空间中，如同有无数组N个线性无关的向

量一样，我们也可以找到无穷多个正交基。那么，如何选择一个“好”的正交基呢？也就是说，如何去衡量一个正交基的质量呢？ 正交基的选择一般要考虑如下几个因素： 1.具有所希望的物理意义或实用意义。 如

这类有关傅立叶变换的基，其物理意义就非常明确。有

些正交基，其物理解释不甚明确，但有着较强的实用价值，如DCT等； 2.正交基函数应尽量简单，从而尽量减少在正、反变换时的计算量； 3.为了研究信号在局部频率以及在局部时间处的性质，我们希望所选择的基函数应能同时具有频域和时域的定位功能。前已述及，傅立叶变换的基函数

在频域为函数，而时域的支撑区间是变换则具有时域和频域的定位功能。

，无法满足此要求。而正交小波

4.具有好的去相关和能量集中的性能。