2011-10-9§2.2 函数的极限限的特例。类似于数列极限的定义，可给出定义在实数集合上的给定数列是定义在正整数集合上的函数，所以数列极限是函数极给定n的一种变化过程(唯一)，（多样多样），x的一种变化过程一般函数的极限定义。确定xn的变化趋势。确定f (x)的变化趋势。考察 n→∞,f(n)=1n→0考察 x→+∞,f(x)=1x→0∀ε>0, ∃N≥⎡⎢1⎤⎥（正整数）∀ε>0,1（正数正数）当 n>N 时，⎣ε⎦ ∃M≥当 x>M 时，ε恒有 |f(n)−0|<ε 成立。恒有 |f(x)−0|<ε 成立。lim11n→∞n=0limx→∞x=0x →∞表示|x| 无限增大。x →+ ∞表示|x| 无限增大且取正值。x x →-∞表示|x| 无限增大且取负值。变(主动) 量的变化方式f(x)(被动) x →∞表示|x| 无限增大。x →+ ∞表示|x| 无限增大且取正值。x x →-∞表示|x| 无限增大且取负值。变(主动) x →A表示x从左右两边无限接近于A。量x →A+表示x从右边无限接近于A。的x →A-变表示x从左边无限接近于A。化方式f(x)(被动) x →∞表示|x| 无限增大。x →+ ∞表示|x| 无限增大且取正值。x 变(主动) 量的变化方式f(x)(被动) x →∞表示|x| 无限增大。x →+ ∞表示|x| 无限增大且取正值。x x →-∞表示|x| 无限增大且取负值。变(主动) x →A表示x从左右两边无限接近于A。量x →A+表示x从右边无限接近于A。的变化方式f(x)(被动) x →∞表示|x| 无限增大。x →+ ∞表示|x| 无限增大且取正值。x x →-∞表示|x| 无限增大且取负值。变(主动) x →A表示x从左右两边无限接近于A。量x →A+表示x从右边无限接近于A。的x →A-变表示x从左边无限接近于A。化趋于某个常数A：f(x) →A方式f(x)f(x) →∞(被动) 发散到无穷大f(x) →+ ∞不趋于任何常数f(x) →-∞没有固定的趋势。12011-10-9一、当x→∞时，函数f(x) 的极限1、当x→∞时，函数f(x) 的极限如果对于任给的ε> 0，总存在一个正数M，使当| x | > M 时，恒有| f(x) -A|< ε成立，则称当x →∞时，函数f(x) 以A 为极限。记作limx→∞ f(x)=A 或 f(x)→A（x→∞）几何意义：极限证明例：证明lim1x→∞=0证：x ∀ε>0, 要使1−0 =1<只要|x|>1xxε1ε即可。因此，取M=ε,则当| |x|> M时,1x−0<ε 恒成立。∴lilim1x→∞=01x称直线y= 0 为曲线y=x的水平渐近线。一般地：若 xlim→∞f(x)=c，则称直线 y = c 为曲线 y = f(x) 的 水平渐进线 。二、当x→x0时，函数f(x) 的极限1、当x→x0 时，函数f(x) 的极限如果对于任给的ε> 0，总存在一个正数δ，使当0<| x-x0|< δ时，恒有| f(x) -A|< ε成立，则称当x →x0时，函数f(x) 以A 为极限。记作xlim→x f(x)=A 或 f(x)→A（x→x0）0几何意义：几何解释:εA−X−εX当x<−X或x>X时,函数y=f(x)图形完全落在以直线y=A为中心线,宽为2ε的带形区域内.2、当x→+ ∞或x→-∞时，函数f(x) 的极限如果对于任给的ε> 0，总存在一个正数M，使当x x > < < -M-M时，恒有| f(x) -A|< ε成立，则称当x x →→+-∞∞时，函数f(x) 以A 为极限。记作xlim→+∞f(x)=A 或 f(x)→A（x→+∞）xlim→−∞ f(x)=A 或 f(x)→A（x→−∞）注可以证明：limx→∞ f(x)=A 的充分必要条件是 xlim→+∞f(x)=xlim→−∞ f(x)=A二、当x→x0时，函数f(x) 的极限1、当x→x0 时，函数f(x) 的极限如果对于任给的ε> 0，总存在一个正数δ，使当0<| x-x0|< δ时，恒有| f(x) -A|< ε成立，则称当x →x0时，函数f(x) 以A 为极限。记作xlim→xf(x)=A 或 f(x)→A（x→x0）0几何意义：22011-10-9注x→x的极限是否存0时函数f(x) 在，与f(x) 在x0 处是否有定义并无关系。例2：证明lim证：x→xx=x00同理可证： limx→xc=c （c为常数）0 ∀ε>0, 要使x−x0<ε，只要δ=ε即可。因此，取δ=ε,则当0<| x–x0|< δ时, x−x0<ε 恒成立。∴ limx→xx=x00例3：证明limcos x=cos x证：x→x00 ∀ε>0,特别地特别地： limlix→0cos x=cos0=1 要使cos x−cos x0=2sin x0+x2sinx−x02=2sin x0+xxx−x02sin−x02≤22=x−x0<ε只要δ=ε即可。定理1.3xlim→xf(x)=A 的充分必要条件是0xlim→x−f(x)=0xlim→x+f(x)=A0例4：设 f(x)=⎧⎨x x<1⎩2x+1 x>1 试讨论极限limx→1f(x)。解：因为 limx→1−f(x)=limx→1−x=1xlim→1+f(x)=limx→1+(2x+1)=3xlim→1−f(x)≠xlim→1+f(x)∴ limx→1f(x) 不存在。注x→x的极限是否存0时函数f(x) 在，与f(x) 在x0 处是否有定义并无关系。例1：证明limx→1(2x+1)=3证： ∀ε>0, 要使ε2x+1−3=2x−2<ε只要|x−1|<2即可。因此，取δ=ε2,则当0<| x–1|< δ时, 2x+1−3<ε 恒成立。∴ limx→1(2x+1)=32、左极限与右极限如果对于任给的ε> 0，总存在一个正数δ，使当0
0∃N>0,当n>N 时|xn−a|<εlimx→∞f(x)=a∀ε>0∃X>0, 当 |x|>X 时|f(x)−a|<εxlim→+∞f(x)=a∀ε>0∃X>0,当 x>X 时|f(x)−a|<εxlim→−∞f(x)=a∀∀εε>>00∃X>0,当 x<−X 时|f(x)−a|<εxlim→xf(x)=a∃δ>0,当 0<|x−x|f(x)−a|<ε0∀ε>00|<δ 时|f(x)−a|<εxlim→x+f(x)=a∀ε>0∃δ>0,当 000∃δ>0,当00∃N>0,当n>N 时|xn−a|<εlimx→∞f(x)=a∀ε>0∃X>0, 当 |x|>X 时|f(x)−a|<εxlim→+∞f(x)=a∀ε>0∃X>0,当 x>X 时|f(x)−a|<εxlim→−∞f(x)=a∀ε>0∃X>0,当 x<−X 时|f(x)−a|<εxlim→xf(x)=a0∀ε>0∃δ>0,当 0<|x−x0|<δ 时|f(x)−a|<εxlim→x+f(x)=a0∀ε>0∃δ>0,当 00∃δ>0,当00，x →∞：Mx →x化过程中总∃一个正数函数x →x0 ：δ0 0数列：正整数N总存在那么一个时刻如果∀ε>0，在变量y的变化过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有| y-A|< ε则称变量y在此变化过程中以A 为极限。记作：lim y= A变量极限的局部局部有界性定理定理1.6则在某时刻后如果在某一变化过程中，变量y是有界变量。y有极限，证：不妨设lim y= A，则对ε=1，必存在某一时刻，在那时刻之后，恒有| y -A|<1，所以| y| = | y-A+A | ≤| y-A| + |A| < |A| + 1。定理1.8如果lim y= A，且y ≥0( y ≤0)，则A ≥0 (A≤0)。证：用反证法。当y ≥0 时，如果A < 0，则由变量极限的局部保号性定理可知必存在某一时刻，在那时刻之后后，恒有恒有y y< 0<0，这与y≥0 0矛盾，所以必有矛盾所以必有A A≥0。注在本定理中，若将y ≥0( y ≤0) 改为y > 0( y < 0)，其结论仍然为A ≥0 (A≤0)。二、极限的性质变量极限的唯一性定理定理1.5则它的极限是唯一的。如果在某一变化过程中，变量y有极限，即：若lim y= A，lim y= B，则A =B。证：由于lim y= A，所以，∀ε>0，∃一个时刻，在那时刻之后时刻之后，恒有恒有| |y -A|<|ε。由于lim y= B，所以，对同样的ε>0，也存在着一个时刻，在那时刻之后，恒有| y -B|<ε。取两个时刻中的较晚者，则在此时刻之后，上述两个不等式同时成立，因此有|A-B|=|(y-B) -(y-A)|≤| y-B|+| y-A|<2ε，即有A=B。变量极限的局部局部保号性定理定理1.7如果lim y= A，且A>0(A<0)，则必存在某一时刻，在那时刻后，恒有y >0 ( y <0)。证：当A>0 时，取ε=A一时刻，在那时刻之后，恒有2，则由lim y= A 知必存在某| y -A | < ε，所以| y -A | < ε，从而A-ε< y< A+ ε，即y>A−ε=A−A2=A2>0。类似地可证当A< 0 时的情形。§2. 4 无穷小量与无穷大量1.无穷小量的定义极限为0 的变量变量称为无穷小量。例1：因为 limx→0x2=0， ∴ 当x→0时，变量y=x2为无穷小量。例2：因为 lim1n→∞n=0， ∴ 当n→∞时，变量y=1n为无穷小量。例3：因为 lim1x→∞x2=0， ∴ 当x→∞时，变量y=1x2为无穷小量。注无穷小量是一个变量，不要与很小的数数混淆。52011-10-9例1(1) limsinx→0x=0, x→0 时, sinx 是一个无穷小量 . (2) limπx→πcosx=0, x→ 时, cosx 是一个无穷小量 . 22(3) lim 0=0, 在任何一个极限过程中在任何个极限过程中,常值函数y = 0 均为无穷小量. 定理x→limxf(x)=a ⇐⇒f(x)=a+α(x) ,(x→0∞)其中 , α(x)→0 (x→x0 , (x→∞)) . 意义：(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2)给出函数在x0附近的近似表达式f(x)≈A,误差α(x)常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某一极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.2.函数的极限与无穷小量的关系分析若limx→xf(x)=a, 则 ∀ε>0 , 当 0< |x−x0|<δ时, 0|f(x)−a|=|(f(x)−a)−0| < ε , 即当 x→x0 时, f(x)−a 是一个无穷小量 . 令 α(x)=f(x)−a, 则 α(x)→0 (x→x0), 且 f(x)=a+α(x) (x→x0) . 反之亦然. 由以上的分析,你可得出什么结论?3.无穷小量的运算法则同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.证明：在某极限过程中,两个无穷小量之和仍是一个无穷小量.证设 α, β 为 x→x0 时的两个无穷小量, 则 ∀ε>0, ∃δ1>0 , 当 0< |x−x0| <δ1 时, |α| <ε2 ,∃δ2>0, 当 0< |x−x0| <δ2 时, |β|<ε2,取 δ=min{δ1,δ2}, 则当 0< |x−x0| <δ 时, 有 |α+β| ≤ |α|+|β| <εε2+2=ε , 即 x→x0 时, α+β 是一个无穷小量 . 62011-10-9证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与有界量的积仍是一个无穷小量.证设 f(x) 是 x→x0 时的有界量, 即 ∃M>0 和δ1>0, 使当 x∈U(x0,δ1) 时, |f(x)|≤ M . 又设 α(x)→0 (x→x0), 则 ∀ε>0, ∃δ2>0, 使当 0< |x−x0| <δ2 时, |α(x)| <εM . 令 δ=min{δ1,δ2}, 则当 0< |x−x0| <δ 时, |f(x)⋅α(x)| = |f(x)|⋅|α(x)| 0, 当 0< |x−x0| <δ0 时, 有 |f(x)−a| <ε=|a|2 , 故 |a|−|f(x)| < |a|2 ⇒ 1f(x) < 2|a| x∈U(x0,δ0) , 即 x→x10 时, f(x) 有界 . 故 limα(x)有界量与无穷小量之积x→x=0 . 0f(x)无穷小量收敛速度示意图同样是无穷小量,它们收敛到零的快慢程度却不同。x,2x,4x,x2自变量x: 0.1 0.01 0.001...因变量x0.316 0.1 0.0316...因变量2x: 0.2 0.02 0.002...因变量4x: 0.4 0.04 0.004... :0.40.040.004...因变量x2: 0.01 10-410-6...明显可见x1/2比2x,4x慢得多;而x2比2x,4x快得多; 2x,4x收敛于0的速度则差不多。例2证明lim1x→∞xsinx=0证因为 lim1x→∞ x=0 , ( 无穷小量 )|sinx|≤1 x∈(−∞,+∞) , ( 有界量 )故 lim1x→∞xsinx=0 . 例3 limx3求x→0x2+4 .解xlimx→0(x2+4)=4 , ( 极限不为零 ) limx3故x→0x2+4=0 . 三、无穷小的阶虽然无穷小都是以零为极限的变量，但不同的无穷小趋于零的速度不一定相同。72011-10-9三、无穷小的阶虽然无穷小都是以零为极限的变量，但不同的无穷小趋于零的速度不一定相同。为了刻画这种快慢程度，引入无穷小阶的概念。定义： 设 α、β 是在同一变化过程中的两个无穷小。(1)、若 limβα=0，则称 β 是比 α 较高阶的无穷小。记作：β=o(α)；(2)、如果 limβα=c≠0（c为常数），则称 β 与 α 是同阶无穷小。β=O(α) .特别地，当 c=1 时，称 β 与 α 是等价无穷小。(3)、若 limβ记作：β~α ；α=∞，则称 β 是比 α 较低阶的无穷小。二. 无穷大量在某极限过程中,无穷大量是否一定是无界量?无界量是否一定是无穷大量?例如, {x 2, 0, 4, , 0, 2n, 0, , xn+(−1)nnn}: 0,n=2 . 不论 N 取多么大, 当 n>N时, 总有等于 0 的项使 |xn| >M不成立, 故当 n→∞ 时, {xn} 不是无穷大量 . 但该数列是无界的. 例1：因为 limx2x→0x=limx→0x=0, ∴ 当 x→0 时，x2=o(x)(x→0)。例2：因为 lim2xx→0x=2, ∴ 当 x→0 时， 2x 与 x 是同阶无穷小。例3：因为 limsinxx→0x=1, ∴ 当 x→0 时， sin x 与 x 是等价无穷小。 即： sinx ~ x(x→0)。补例1：1因为 limnn→∞1=∞,∴ 当n→∞时， 1n 是比 1n2 低阶的无穷小。n2注意：不是任何两个无穷小量都可以比较阶的高低！例：x→0,x和xsin(1xsin(1x)1x)都是无穷小量，但limx→0x=limsin()不存在x→0x1.无穷大量的定义定义: 如果在自变量的某一变化过程中,无限增大,则称f(x)是这个变化过程中的无穷大量。f(x)的绝对值记作limf(x)=∞。注意：(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;()无穷大是变量,不能与很大的数混淆;(2)切勿将limf(x)=∞认为是极限存在;(3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.附：无穷大量的分析定义定义∀M>0, 若 ∃X>0, 当 |x| >X 时, 有|f(x)| >M成立, 则称f(x)为 x→∞ 时的无穷大量, 记为 limx→∞f(x)=∞ 或 f(x)→∞ (x→∞) .换成 f(x)>M, 则换成 f(x)<−M, 则 limx→∞f(x)=+∞ limx→∞f(x)=−∞ 称为正无穷大量. 称为负穷大量. 82011-10-9无穷大量举例y如：xlim→+∞lgx=+∞xlim→+∞ex=+∞ylimlgxx→0+=−∞oxoxlim1x→1x−1=∞注意,当x→0时yy=11xsinx是一个o1x无界变量,但不是无穷大.2. 无穷大量与无穷小量的关系例7设 f(x)=1x , x∈(−∞,+∞) 且 x≠0 . 则(1) lim1x→∞x=0.(( 无穷大量的倒数为无穷小量, x ≠0 )0)(2) lim1x→0x=∞.( 无穷小量的倒数为无穷大量, x ≠0 )3.无穷大量的运算性质若 limf(x)=∞, 则 lim|f(x)| =+∞ . 无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真例5当 n→∞ 时, xnn=(−2) 是否为无穷大量? 解∀M>0, 要 |xn| = |(−2)n| =2n>M ⇒n>log2M, N=[[logg2M], n>N ,|(−2)n| >M故 lim→∞xnnn=limn→∞(−2)=∞ . 无穷大量是按绝对值定义的.定理在某一极限过程中若f(x) 是一个无穷大量, 则 1f(x) 为无穷小量 . 若f(x)是一个无穷小量且 f(x)≠0, 则 1f(x) 为无穷大量 . 定理的意义：定的意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例：求极限lim1x→1x−1解：∵lim(x→1x−1)=0∴lim1x→1x−1=∞（其极限不存在）在某极限过程中, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.92011-10-9例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察{xn}: −1, 2, −3, 4, , (−1)nn, {yn}: 1, −2, 3, −4, , (−1)n−1n, 显然, n→∞ 时, xn→∞, yn→∞. 此时{xn+yn}: 0, 0, , 0, 不是无穷大量{xn−yn}: −2, 4, −6, 8, 是无穷大量例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急不一定再是无穷大量, 看个例题:.当 x→∞ (不妨设 |x| ≥1) 时, |g(x)| = 1x2 ≤1, f1(x)=x→∞ (x→∞) , f2(x)=x3→∞ (x→∞) , 而 f1(x)⋅g(x)=x⋅1x2=1x→0 (x→∞) . f(x)⋅g(x)=x3⋅12x2=x→∞ (x→∞) . 例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急, 看个例题:当 x→∞ (不妨设 |x| ≥1) 时, |g(x)| = 1x2 ≤1, f1(x)=x→∞ (x→∞), f2(x)=x3→∞ (x→∞) , 而 f11(x)⋅g(x)=x⋅x2=1x→0 (x→∞) . fx)⋅g(x)=x3⋅12(x2=x→∞ (x→∞) . 结论:在某个极限过程中, 无穷大量一定是无界量, 但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.10