类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的进程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=∠C=90°，a=40，b=9,c=
(2) 在△ABC中，
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，
b=15,a= 举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的机关应用2、如图，已知：在中，，
，.
求：BC的长.
的直角三角形，为此作思路点拨：由条件于D，则有
，想到机关含角
，，再由勾股定理计较出AD、DC的
长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 按照勾股定理，在中， 按照勾股定理，在
.
中，
，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：
.
，
，
于P. 求证：
而在∴∴在
∴
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积.
解析：连结BM，按照勾股定理，在
.
中，则按照勾股定理有 .
又∵
.
中，按照勾股定理有
， .
中，
（已知），
阐发：如何机关直角三角形是解本题的关头，可以连结AC，或延长
AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，按照本题给定的角应选后两种，进一步按照本题给定的边选第三种较为复杂. 解析：延长AD、BC交于E. ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°. ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==. ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==. ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=CD·DE=
AB·BE-点之小明
类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营勾当中，
从营地A点出发，沿北偏东60°标的目的走了西30°标的目的走了500m到达目的地C点. （1）求A、C两点之间的距离.
（2）确定目的地C在营地A的什么标的目的. 解析：（1）过B点作BE//AD
到达B点，然后再沿北偏
∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的标的目的
举一反三【变式】一辆装满货色的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工场，问这辆卡车能否通过该工场的厂门?
所以
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门
正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 解：OC＝1米(大门宽度一半)， OD＝0.8米（卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得： CD＝
＝
＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题4、国度电力总公司为了改良农村用电电费太高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改革，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现筹划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设筹划，如图实线部分．请你帮忙计较一下，哪种架设筹划最
省电线．思路点拨：解答本题的思
路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计较线路长，然落后行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长辨别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延
长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 由∠FBH＝
及勾股定理得：
∴EF＝1－2FH＝1－
3＞2.828>2.732
∴此图中总线路
EA＝ED＝FB＝FC＝的长为4EA+EF＝
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设筹划最省电线． 举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的正面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面
周长的一半＝１０cm，按照勾股定理得（提问：勾股定理） ∴ AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：最短路程约为１０．７７cm． 类型四：利用勾股定理作长为
的线段5、作长为
、
、
的线段.
，
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于直角边为
和1的直角三角形斜边长就是
，类似地可作
.
作法：如图所示使AB为斜边；
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形的长度就是 、
、
、
.
的点.
.斜边为
、
； 、
、
，这样斜边
举一反三【变式】在数轴上暗示解析：可以把
，
看作是直角三角形的斜边，
为了有利于绘图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边辨别是3和1.
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
.
类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正
确1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系. 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备.
7、如果ΔABC的三边辨别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状.思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题. 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0. ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0. ∴ a=3，b=4，c=5. ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形.
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到.
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形ABCD的面积. 【答案】：连结AC ∵∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式2】已知:△ABC的三边辨别为m2
－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 阐发:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2便可 证明：是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB. 请问FE与DE是否垂直?请说明. 【答案】答：DE⊥EF.
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2. 连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2. ∴ DF2=EF2+DE2, ∴ FE⊥DE.
经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积.
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先
所以△ABC
通过比值设未知数，再按照勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积. 解析：设此直角三角形两直角边辨别是3x，4x，按照题意得： （3x）2+（4x）2＝202 化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关计较中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积. 【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3 ∴AD＝
S△ABC＝BC·AD＝
a.
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边
长为a，则其面积为
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.
【答案】设此直角三角形两直角边长辨别是x，y，按照题意得： 由（1）得：x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）
【变式3】若直角三角形的三边长辨别是n+1，n+2，n+3，求n.
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解.
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝4 ∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边. 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断.
例如：对于选择D， ∵82≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不克不及组成直角三角形. 同理可以判断其它选项.【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积. 解：连结AC ∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36
类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假定拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN标的目的行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是
看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计较其长度.（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校. 解析：作AB⊥MN，垂足为B. 在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160， ∴ AB＝AP＝80. （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响.
如图，假定拖拉机在公路MN上沿PN标的目的行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60.
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝
100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m).
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s.
答：拖拉机在公路 MN上沿PN标的目的行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的办法,若图形缺少直角条件,则可以通过作帮助垂线的办法,机关直角三角形以便当用勾股定理.举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花圃，有少少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假定2步为1m），却踩伤了花卉.
解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路.【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积.
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作帮助线）.
【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是.
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积
.
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，
，
，故类型三：数学思想办法（一）转化的思想办法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，机关直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F辨别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长.
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三
角形中，所以关头是线段的转化，按照直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，无妨先连接AD． 解：连接AD． 因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°． 因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，按照勾股定理得：
，所以EF=13.
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解. （二）方程的思想办法4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求、、的值.思路点拨：由，再找出、的关系便可
求出和的值.
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则因为
，由勾股定理，得
，所以
.
，
，，.
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半. 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长.
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以
.所以
.
设，则在Rt△ECF中，
. ，即
即EF的长为5cm.
，解得.
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