２０１ ７年７月第１９期 数理化解题研究 ＝ 基于本质找视角 一题多解得方法 何建东 （浙江省绍兴市越州中学，浙江摘绍兴３１２０７５） 要：问题是数学的心脏，数学问题不仅包含了重要的数学知识与思想，还常蕴藏着数学最核心的素 养．因此，寻求数学问题的解决办法时，需要我们“基于本质”去找视角，方能得“一题多解”的方法．本文就如 何基于数学本质，多视角解答试题进行剖析． 关键词：数学本质；一题多解；高考 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１００８—０３３３（２０１７）１９—００２７—０２ 问题（２０１７年绍兴市高三教学质量调测１７题，填 从而。一２ｂ：一３，＋ 旱 一１． 空最后一题，４分）已知ａ，ｂ∈Ｒ且０≤ａ＋ｂ≤１，函数厂（ ） ＝ ＋ａｘ＋ｂ在Ｉ— １，０ Ｉ上至少存在一个零点，则０—２ｂ 的取值范围为——． 考虑到，（１）Ｅ［１，２１，ｒ∈【一 １，０］，ｌ—ｒ∈［１，寻］， 故有口一２ｂ：一３ｒ＋ 一１≤一３ｒ＋ 命题说明 这个问题以含双参数ｏ，ｂ的二次函数模 型为基础，结合函数图象与零点存在情况，设置了求解两 个参数ａ，ｂ的代数式取值范围．应该说问题涉及的数学 知识与思想是中学阶段最重要的内容之一，问题类型既 ＿１＝［３（１－ｒ）＋ ６卜８ 又有口一２ｂ：一３ｒ＋ Ｊ一厂 一１≥一３ｒ＋ Ｊ—ｒ 有常见的感觉，亦有常新的味道，相信广大师生们一定会 —仁智互见，各有办法．但，如果能从数学本质与核心素养 出发，对问题进行多视角的剖析，可为数学教学带去更大 的价值． 追本溯源函数与方程是中学数学两块重要内容， ｌ＝３【（１．ｒ）＋ １卜６她 因此，口一２ｂ的取值范围为［０，１】． 视角点评 函数的零点即为相应方程的实根，如果 能够利用两者之间的这种对应关系，同时注意到题设条 件０≤口＋ｂ≤１中的ａ＋ｂ正好出现在，（１）＝１＋ａ＋ｂ中， 其中蕴含着方程思想、函数思想和数形结合思想和化归 思想等．基于此，我们可以从方程等式的角度寻找变量与 参数之间的内在联系；也可以从函数图象的结构特征寻 相当于已知 １）的取值范围；另一方面若设函数ｆ（ ）在 找条件与结论的内在属性；还可以通过“规划型”问题的 数形结合解法求得结果． 视角一：函数零点视角 ［一 １，０］上的零点为ｒ，则等于已知ｒ的取值范围．这样， 如果能够根据条件，将ａ，ｂ表示成为ｒ和ｆ（１）的代数式， 就可以转化为已知两个参数的具体范围，求解含有这两 参数的代数式的取值范围问题． 视角二：方程实根视角 设ｆ（ ）在Ｉ一了１，０ ｌ上的零点为ｒ，则 ｒ八１）＝１＋ａ＋ｂ， 设方程 ＋似＋ｂ＝０的一个实根为ｒ，则ｒ∈ 【厂（ｒ）＝ｒ２＋ａｒ＋ｂ＝０． 解得。－－（ｒ＋１）＋ ，…一 ， ［一 １，０］，另一个实根为 ，从而有 ）＝（ 一，）（ — ）． 由已知０≤ａ＋６≤１。可得 １）＝１＋ａ＋ｂ∈【１。２］，即 收稿日期：２０１７年３月１７日 作者简介：何建东（１９７５．１１一），男，浙江诸暨人，高级教师，数学教育硕士，从事适应浙江新课改考改的高中数学有效教学． 一２７— 数理化解题研究 １≤（１一ｒ）（１一￡）≤２，故有 ≤ ≤ ＿＿．注意到所求式 ２０１ ７年７月第１９期 其中 一 １）＝ １一 １ ｎ＋６ ０）＝６． 。一２６与函数－厂（ ）Ｘ２＋。 ＋６的联系，考虑，（一 １）＝ 解（１）／（一丢）・／（０）＝（ １一 １。＋６）６≤。，即 ０≤ａ≤１． （一 １一ｒ）（一 １一 ）＝（ １＋ｒ）（÷＋ ），有／（一号）≥ ｉ｛２。 三一４６一＇ｌ１≥。０或 或１２Ⅱ一４６：一＇ｌ１≤。０ｃ‘ 漱 ； （÷＋ｒ）（ ＋ ）＝ ．令ｓ＝…，由ｒ∈ 【一丢，０］，得 一ｒ ［ ，寻］，于是，／（一÷）≥ ＝一３（寺＋÷）＋ ≥一３×寻＋ ＝一÷， 即 一吉）＝÷一号＋６≥一 １，所以ｎ一２ｂ＜￣１． 同时 一÷）≤（÷＋ｒ）（÷＋ ）＝ ÷等． 于是 一 ）≤笔音等＝一吾（ｓ＋÷）＋孚≤一３ ＋孚：｝，即／Ｉ一≥）＝÷一 ａ＋６≤÷，所以。一２ｂ＞￣Ｏ． 综上所求，有０≤ａ一２ｂ≤１． 视角点评对于有实根的一元二次方程，无论两个 实根是否相等，一种常见的思考途径是设两个实根分别 为ｒ、ｔ，并将对应的二次函数表示为＿厂（ ）＝（ —ｒ）（ —ｔ）， 这样，可将有关这两个实根的条件直接应用于 （ —ｒ）（ —ｔ）中．同时，需要将条件与结论中含ａ，ｂ的式 子理解为ｌ厂（ ）＝（ —ｒ）（ —ｔ）的某些特殊情形，例如本题 中的０≤ａ＋ｂ≤１可转化为ｌ厂（１）＝１＋ａ＋ｂ∈［１，２】，从而 即是１≤（１一ｒ）（１一ｆ）≤２；再者。一２６则出现在 一 １） ＝÷一号＋６＝一 （ｎ一２６一 ）中，于是可考虑根据条 件先求得 一 １）＝（一 １一ｒ）（一≥一 ）的取值范围，最 终得到所求式范围． 视角三：规划问题视角 因为函数 ）Ｘ２＋似＋６在［一 １，０］上至少存在 一个零点，考察这个函数的图象（一条开口向上的抛物线）在 区间［一 １，０］内与 轴交点情况，可分为两种情况： （１） 一 １）・ｆ（０）≤０；（２） 一１△／＝ａ 一４６≥０．２≤一ａ／２≤０ ． ＿厂（一１／２）ｉ＞０， ＿厂（０）Ｉ＞０． ６≤ ， 解（２） （※※） ａ一２６—１≤０． ｂ≥０ 又因为条件：０≤ａ＋ｂ≤１（※※※）， ｒ※※※． 可将原问题看作在约束条件ｉ※或※ 下，求目标函 数ａ一２ｂ的取值范围， 可以平面直角坐标系ａＯｂ中作图进行求解． 将阴影区域两个边界点（０，０），（１，０）代入ａ一２ｂ求 得ａ一２ｂ＝０，以及ａ一２ｂ＝１， 因此，ａ一２ｂ的取值范围为０≤ａ一２ｂ≤１ ＪＤ ＼ ： ＼ ４＼ ／ ＼ ， １ ＼ ，一罾 １２＼ 视角点评 根据题设函数ｆ（ ）＝ ＋ａ－％＋ｂ在 『一了１，０１上至少存在一个零点，对于这类已知二次函数实 根分布情况的问题，另一种常见的思路是通过数形结合，利用 二次函数图象在指定区间内与 轴交点情况，得到含有两个 参数ａ，ｂ的若干条件如果所得到的全部条件能够在平面直 角坐标系ａＯｂ画出对应的可行域，同时欲求取值范围的代数 式能够理解为某些“规划”型问题的几何意义，则常常可以用 线性规划问题的解决方法类似地进行求解． 参考文献： ［１］浙江省教育厅．浙江省新高考学科教学指导意见 ［ｚ］，２０１４． ［责任编辑：杨惠民］