2015北京市海淀一模数学理科试卷带答案

数学（理科） 2015.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1、设集合AxRx1，BxRx4,则AB（ ）

A.[2,) B.(1，) C. (1,2] D.(,) 2、抛物线x24y上的点到其焦点的最短距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D.

1 23、已知向量a和向量b的夹角为60，ab1，则ab（ ） A. 3 B.

3 C.2-3 D.1

“sinx0”4、是“角是第一象限的角的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

x12cos5、圆（为参数）被直线y0截得的劣弧长为（ ）

y12sin A.

2 B.  C. 22 D.4 2xy06、若x,y满足x1，则下列不等式恒成立的是（ ）

xy0 A. y1 B. x2 C. x2y20 D.2xy10

7、某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ） ．．．

高三数学(理科)试题 第 1 页 （共4页）

8、某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ） A. 第一年到第三年 B. 第二年到第四年 C. 第三年到第五年 D. 第四年到第六年

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9、已知

ai1i，其中i为虚数单位，那么实数a . 1i 10、执行如图所示的程序框图，输出的i的职位 . 11、已知m,4,n是等差数列，

那么(2)m(2)n= ,mn的最大值为 . 12、在ABC中，若a2,c3.A4,

则B的大小为 . 13、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照， 要求排成一排，小红必须与两位老人都相邻，

且两位老人不能排在两端，则不痛的排法种数是 .

3x,(xa) 14、设f(x)2，若存在实数b，使得函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围 . x,(xa)

三、解答题共6小题，共80分。解答写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)sin(x4)

（1）求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程； （2）求f(

高三数学(理科)试题 第 2 页 （共4页）

3x)的单调减区间．

16．（本小题满分13分）

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个， 并按[0,10],(10,20],(30,40],(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．

（1）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为

222 s12,s2，试比较s1的大小（只需写出结论）； 与s2 （2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （3）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望． 17．（本小题满分14分）

如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ADDC,BC2AD2DC,四边形ABEF是正方形，将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.

（1）求证：BE1DC；

(2) 求BM与平面CE1M所成角的正弦值； （3）判断直线DM与CE1的位置关系．

图1 图2 高三数学(理科)试题 第 3 页 （共4页）

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)alnx1(a0)． x （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若xf(x)0[b,c]（其中bc），求a的取值范围，并说明[b,c](0,1)． 19．（本小题满分13分）

x2y26已知椭圆M：221(a0,b0)过点(0,1)，且离心率e．

ab3 (1)求椭圆M的方程；

（2）是否存在菱形ABCD,同时满足下列三个条件： 点A在直线y2上； 点B,C,D在椭圆M上；

直线BD的斜率等于1．

如果存在，求出点A的坐标；如果不存在，说明理由． 20．（本小题满分14分）

有限数列An：a1,a2,a3,,an n≥3 同时满足下列两个条件： ①对任意的i，j1≤ij≤n，aiaj；

②对任意的i，j，k1≤ijk≤n，ajak，aiaj，aiak三个数中至少有一个数是数列中的项． （Ⅰ）若n4，且a11，a22，a3a，a46，求a的值； （Ⅱ）证明：不可能是数列An中的项； （Ⅲ）求n的最大值．

高三数学(理科)试题 第 4 页 （共4页）

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（理）答案及评分参考 2015.4

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）2 （10）4 （11）16,16 （12）

π5π或 （13）24 （14）(,0)(1,) 1212三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

1cos2(x)4 „„„„„„2分 解：（Ⅰ）因为 f(x)21sin2x .

22ππ. „„„„„„4分 所以 T2πkππ(kZ). „„„„„„6分 令2xkπ(kZ)，得：x224kππ(kZ). 所以 f(x)的最小正周期为π，对称轴的方程为x24sin2(x)112π13sin(2x). „„„„„„9分 （Ⅱ）f(x)23232π2πππ7π2kπ(kZ)， 得：kπxkπ(kZ). 令2kπ2x2321212ππ7π](kZ). „„„„„„13分 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ31212（16）（共13分）

解：（Ⅰ）a0.015； „„„„„„2分

2. „„„„„„4分 s12s2（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；

事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；

事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则

P(A)0.200.100.3，P(B)0.100.200.3. „„„„„„6分

所以 P(C)P(A)P(B)P(A)P(B)0.42. „„„„„„8分

（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3. „„„„„„9分

高三数学(理科)试题 第 5 页 （共4页）

01P(X0)C30.300.730.343， P(X1)C30.310.720.441，

23P(X2)C30.320.710.189， P(X3)C30.330.700.027.

所以X的分布列为

X 0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027 P „„„„„„11分 所以 X的数学期望EX00.34310.44120.18930.0270.9.

„„„„„„13分

另解：由题意可知X~B(3,0.3).

所以 X的数学期望EX30.30.9. „„„„„„13分 （17）（共14分）

证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形ABE1F1为正方形， 所以 BE1AB.

BE1平面ABE1F1， 因为 平面ABCD平面ABE1F1AB，1F1，平面ABCD平面ABE 所以 BE1平面ABCD. „„„„„„2分 因为 DC平面ABCD， 所以 BE1DC. „„4分 （Ⅱ）解：如图，以点B为坐标原点，分别以BC,BE1所在的直线为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.

zE1F12设AD1，则B(0,0,0),C(2,0,0),E1(0,0,2),M(1,1,).

2CxDAMB22 所以 BM(1,1,)，CE1(2,0,2)，E1M(1,1,). „„6分

22 设平面CE1M的一个法向量为n(x,y,z).

y2x2z0,nCE0,1 由得令x1，得z2,y0，所以 n(1,0,2). „„„8分 2z0.nE1M0,xy2设BM与平面CE1M所成角为，则sincosBM,nBMnBMn101532230. 15所以 BM与平面CE1M所成角的正弦值为230. „„„„„„10分 15高三数学(理科)试题 第 6 页 （共4页）

（Ⅲ）解：直线DM与直线CE1平行. 理由如下： „„„„„„11分 由题意得，D(2,1,0),DM(1,0,2),CE1(2,0,2). 2所以 CE12DM. 所以 CE1//DM. „„„„„„13分 因为 DM，CE1不重合，所以 DM//CE1. „„„„14分 另解：直线DM与直线CE1平行. 理由如下：

取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM.所以 PQ//BE1且PQ因为 M为AF1的中点，四边形ABE1F1是正方形，所以 AM//BE1且

1BE1. 2E1F1QMPBAM1BE1.所以 PQ//AM且PQAM. 2所以 APQM为平行四边形.所以 MQ//AP且MQAP.

C因为 四边形ABCD为梯形，BC2AD，

所以 AD//PC且ADPC.所以 四边形APCD为平行四边形. 所以 CD//AP且CDAP.所以 CD//MQ且CDMQ.

所以 CDMQ是平行四边形.所以 DM//CQ，即DM//CE1. „„„„14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）f'(x)DAa1ax122(x0). „„„„„„2分 xxx（ⅰ）当a0时，f'(x)0，则函数f(x)的单调递减区间是(0,).„„„„3分

（ⅱ）当a0时，令f'(x)0，得x

1. a 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

x f'(x) f(x)

1(0,) a1 a0 极小值 1(,) a ↘  ↗ 所以 f(x)的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(,). „„„„„„5分

1a1a（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当a0时，函数f(x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数f(x)至多存在一个零点，不符合题

高三数学(理科)试题 第 7 页 （共4页）

意. „„„„„„6分

当a0时，因为 f(x)在(0,)内是减函数，在(,)内是增函数，所以 要使{xf(x)0}[b,c]，

1a1a必须f()0，即aln

1a1a0. a所以 ae. „„„„„„7分

11)aln()a22alnaa2a(a2lna). 22aa2x2(xe). 令g(x)x2lnx(xe)，则g'(x)1xx当ae时，f(当xe时，g'(x)0，所以，g(x)在[e,)上是增函数. 所以 当ae时，g(a)a2lnag(e)e20.

1)0. „„„„„„9分 2a111因为 21，f()0，f(1)10，

aaa111所以 f(x)在(2,)内存在一个零点，不妨记为b，在(,1)内存在一个零点，不妨记为

aaa所以 f(c. „„„„„„11分

11因为 f(x)在(0,)内是减函数，在(,)内是增函数，

aa所以 {xf(x)0}[b,c].

综上所述，a的取值范围是(e,+). „„„„„„12分 因为 b(111,)c(,1)， ，2aaa所以 [b,c](0,1). „„„„„„13分

（19）（共13分）

b1,6c, „„„„„„3分 解：（Ⅰ）由题意得：3aa2b2c2.2a3,解得：2

b1.x2y21. „„„„„„4分 所以 椭圆M的方程为3（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD，理由如下： „„„„„„5分 假设存在满足题意的菱形ABCD.

设直线BD的方程为yxm，B(x1,y1)，D(x2,y2)，线段

高三数学(理科)试题 第 8 页 （共4页）

BD的中点Q(x0,y0)，点

A(t,2). „„„„„„6分

x23y23,由得4y22mym230. „„„„„„8分 yxm2由2m16m30 ，解得2m2. „„„„„„9分

2m， 2yy2m. „„„„„„11分 所以 y0124因为 y1y2因为 四边形ABCD为菱形， 所以 Q是AC的中点.

所以 C点的纵坐标yC2y02因为 点C在椭圆M上，

所以 yC1.这与yC1矛盾. „„„„„„13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD. （20）（共14分）

解：（Ⅰ）由①，得2a6.

由②，当i2，j3，k4时. 2a,6a,12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但6a6，

m21. „„„„„„12分 2126，故2a6，解得a3.

经检验，当a3时，符合题意. „„„„„3分

（Ⅱ）假设2,3,5是数列An中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列An中的项，则有限数列An的最后一项an5，且n4.

由①，anan1an2an31. „„„„„„4分

对于数an2,an1,an，由②可知：an2an1an；对于数an3,an1,an，由②可知：

an3an1an. „„„„„„6分

所以 an2an3，这与①矛盾.

所以 2,3,5不可能是数列An中的项. „„„„„„7分

（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下： „„„„„„8分 （1）令A9:4,2,1,,,0,,1,2，则A9符合①、②. „„„„„„11分 （2）设An:a1,a2,,an(n3)符合①、②，则：

高三数学(理科)试题 第 9 页 （共4页）

121412 （ⅰ）An中至多有三项，其绝对值大于1.

假设An中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设ai，aj，ak，al是An中绝对值最大的四项，其中1|ai||aj||ak||al|.

则对ai，ak，al有|aial||al|，|akal||al|，故aial，akal均不是数列An中的项，即aiak是数列An中的项.

同理：ajak也是数列An中的项.

但|aiak||ak|，|ajak||ak|. 所以 aiakajakal. 所以 aiaj，这与①矛盾.

（ⅱ）An中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.

假设An中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾. （ⅲ）An中至多有两项绝对值等于1. （ⅳ）An中至多有一项等于0.

综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知An中至多有9项.

„„„„„14分

由（1），（2）可得，n的最大值为9.

高三数学(理科)试题 第 10 页 （共4页）