第一章行列式

第一章 行列式

一. 重要公式及方法

1. 二、三阶行列式的对角线法则 2. 上、下三角形行列式

a11D00a12a220a1na2nanna11a21an10a22an200anna11a22ann

3. 副对角线一侧全为0的行列式

a11Da21an1a12a2200a1n0000an1an20a2,n1a1na2nann(1)n(n1)2a1na2,n1an1

4. 两类特殊的分块行列式（Laplace定理的应用，或用数学归纳法证明）

a11am1c11cn1a11am1a1m0ammc1mcnma1mb11ammbn1a11am10bn1b1n

a1mammc11cm1b11bn1c1ncmnb1nbnnDb11b1nbnnbnna110Dam1b11bn1b1nbnnc11cn1a1mammc1mcnmc11cm1b11bn1c1ncmnb1na11am10a1mamm

bnna11(1)mnam1a1mb11ammbn1b1n

bnn5. n阶范德蒙（Vandermonde）行列式(n2)

1x1Dnx12x1n11x22x21xn2xnnij1xx

ijn1x2n1xn注：Dn0当ij时，xixj.

. 6. 设A，B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|（1）一般的有ABBA, 但|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

（2）当A，B不是方阵时，一般|AB|=|BA|不再成立. 7. 对于n阶方阵，有

|AT||A|;|A1||A|(|A|0);1|A*||A|n1(n2);|(kA)*||kn1A*|kn(n1)|A*|;8. 对于分块矩阵的行列式，有

Amm00BnnAmm0CmnBnnAmmDnm0Bnn|A||B|；

0BnnAmmCnm(1mn)A||B| |一般地，

AB|ADCB|.

CD,n)是A的特征值，则|A|i.

i1n9. 若A为n阶方阵，i(i1,2,一般地，|f(A)|f(1)f(2)f(n)，其中f(A)a0Ama1Am1amE，

f()a0ma1m1am.

10. 若A与B相似，则|A|=|B|. 从而，将A的行列式的计算转化为B的行列式的计算. 一般地，有f(A)相似于f(B),从而|f(A)||f(B)|. 11. aij给出的行列式|aij|的重要计算方法

（1）归化：化为以上几种形式，特别是上（下）三角形行列式；

（2）降阶：将某一行（列）化为有尽可能多的零，然后行（列）展开； （3）递推：在降阶中找出高阶与低阶的关系，即递推关系.

二. 典型例题 I 逆序数 1. 设排列x1x2xn的逆序数为k，求(xnxn1x1)

II 行列式的计算方法 （一）定义法

1 2n1(n,n1,,2,1)12n1nn1212n.

（二）比例法(这里的意思是把一个行列式拆成两个行列式的乘积AB|A||B|)

1x1y11x1y21x1yn1x2yn1xnyn

1x2y11x2y21xny11xny2（三）化三角形法

12330nnn 0101. 121232. 箭形行列式化三角（ai0,i1,2,,n）

a01111a10010a20100 an注：此类题型须满足ai0,i1,2,,n.

3.

x1a1a1a2x2a2a3a3a3ananxn，其中xiai,i1,2,,n.（考虑：若无此条件呢）

（四）降阶法

a0a11.

10x100000000x00001x

a2an2an11234x1232. xx12xxxxnn1n2 1（五）全1行列式法 求下面多项式的根

a1xa1a1a2a2xa2an1an1an1anananx

（六）拆项法

b计算n阶行列式bb（七）递推法

 x01.Dn1x0001x0000xa20001a1x

00anan1an2a21a21a31a31a112. Dn

an11anxa3. Dnaxaaaa

aaaa（八）归纳法

xaaxx01. Dn1x0001x0000xa200001a1x000000

00anan1an212. Dn10000001III 代数余子式的计算

a11. 已知D4a2b2c2a3b3c3d3pppp，求第一列元素的代数余子式之和.

b1c1d1d2

三、行列式练习题

0111011.（97数四） 计算n阶行列式D=110111a02. （96数一）计算4阶行列式D=

0g00cdef00b0. 0h111. 0 1a 14. （96数四） 计算5阶行列式D= 000a 1a 1000a 1a 1000a 1a 1000a 1a.

x15. 已知y1z1x2y2z2 ax1+bx2 ax2+bx3 ax3+bx1 x3y3=d, 计算阶行列式D=ay1+by2 ay2+by3 ay3+by1 .

az1+bz2 az2+bz3 az3+bz1 z3ab00ab6. （91数四） 计算n阶行列式D=

0000.

000b0011117. 计算n阶行列式Dn=

ab0a01100001101100011.

010000abbbb

c

8. 计算阶行列式D= c

cc

abbbcabb. ccabccca

231515789. 设4阶行列式D=.（1）求D的第1列的各元素的代数余子式之和；

21346153（2）求D的第2列的各元素的余子式之和.

x2x1x2x32x22x12x22x310.（99-2-03） 设行列式f(x)=, 求方程f(x)=0的根的个

3x33x24x53x54x4x34x74x3数.

a111. 计算4阶行列式D=

1x0000a2a3a410.

x10x2aa213. 证明n阶行列式

12aa212aa212aa212a=(n+1)an.

15. 设A, B均为n阶矩阵，A=2, B=3, 求2A*BT.

1**116. 设A, B均为n阶矩阵，A=2, B=3, 求ABAB.

17. 已知1, 2, 3, ,均为4维列向量，若4阶行列式1 ,2, 3,=p,

,1 ,2, 3=q, 计算2,3,2, 1.

18. 设A为3阶矩阵，若A1=1+2, A2=2+3, 1 ,2, 3,为3维线性无关的列向量，A3=3+1,计算行列式A.

19. 计算下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.

(1) 53214; (2) n(n-1)…1; (3) 135…(2n-1)246…(2n)

20. 计算n阶行列式D=

1a1a12a1n-2a1n1a22a2n-2a2na21a32a3n-2a3na31an2ann-2annan.

22. 求4阶行列式中带负号且包含因子a12和a21的项.

2x1221x中，x3的系数. x23. 求函数f(x)=x1x24. 设A为4阶方阵，B为5阶方阵，且A=2, B=-2, 求-AB和-BA. 25. 设A为n阶方阵，求AA*.

26. 证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零 (A=-A). 四、行列式测验 一. 填空题

Ta1(1)

0a2b3000a3b4b2001xyz0x100= (2) = 0y010a4z001n00 = nb1123120(3)10310011(4) 方程

1111123x=0的全部根是

49x2827x34207

02

的第4行元素的余子式之和为 05

3022

(5) 行列式

0798

(6) 设A[1,2,1],B[1,2,2]，其中1,2,1,2均为三维列向量，且|A|1，

|A3B|2，则|B|______.

(7) 设|A33|1/2，则|(3A)2(A)|______.

21*2111(8) 设n阶方阵A二. 单选题.

11，则|A|的所有代数余子式之和为 . 111. 设对方阵A实行初等变换得到方阵B,且A0，则（ ）

（A）必有AB. （B）AB. （C）B0.（D）B0或B0依赖于初等变换. 2. 设 A 和B 都是n 阶方阵，且|A+AB|=0，则有（ ）

（A）|A|=0 （B）|E+B|=0 （C）|A=0|或|E+B|=0 （D）|A|=0 且|E+B|=0

AT3. 设A和B 都是n 阶可逆矩阵，则200=（ ） 1B（A）(2)2n|A| |B|1 （B）(2)n|A| |B|1 （C）2|AT| |B| （D）2|A| |B|1 4. 设A 是n 阶可逆方阵，A是A 的伴随矩阵则（ ） *

（A）|A*|=|A|n1 （B）|A*|=|A|n （C）|A*|=|A1|三. 计算题 1. 计算下列行列式:

a1b1c1d1e1a2b2c2d2e2（1）a3b3000

a4b4000a5b5000ab（2）D2nabba

baxa1a2an（3）Da1xa2ann

a1a2xan2.计算n阶行列式：

a11a2an1ana1a22an1an（1）

a1a2an1n1ana1a2an1anna1a10000a2a200（2）  000anan11111D）|A*|=|A|n+1 （aba（4） Dnbabbaaba*

bab3. 设A为三阶方阵, A是A的伴随矩阵, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)12A*|的值.

134. 设有行列式D=

0107199057539, 已知1703，3159，975，10959都能被13整除，不计算59行列式D，证明D能被13整除.

123452221155. 已知D53124527，求A4i.

i111122431506. 设Dnxaaaxaana，求Ani，其中x(1n)a. ai1x

行列式练习题答案 1.(1)n1(n1) 2.(cfde)(ahgb) 3.(a3d3b3c3)(a2d2b2c2)(a1d1b1c1)

234533nn1n4.1aaaaa 5.(ab)d 6.a(1)b

(1)kifn3kk7.Dn(1)ifn3k1

0ifn3k28.a(ba)b4(ca)(ba)ii144i 9.（1）360 （2）4

10.两个根 11.a1xa2xa3xa4 12.1 或1 13.略 14.a1ora2 15.322n132 16. (1)n15n 17.2p2q 18.2 619.（1）7奇排列，（2）奇偶性同（2） 20.

n(n1)n(n1)，奇偶性按n4k,4k1,4k2,4k3讨论，（3），22ainn(aiaj) 21. (biai)(1nai) 22. a12a21a33a44 ni11jini1i1biai23.2 24.64，32 25.|A|2n1 26-28.略

行列式自测题答案

一. （1）a1a2a3a4b1b2b3b4 （2）1x2y2z2 （3）n!(2n) （5）28 （6）

12 （7）154 （8）1 二. 1.C 2.C 3.A 4.A

22nn三. 1. （1）0 （2）(ab) （3）xnxn1ai

i1n2.（1）(a1nn! （2）(n1)an11ai)i(1)

i1ii1nn（3）

(abn1ib)(1) （4）anan1bn

i1i1abibab3. 1627 4. 提示：利用行列式的性质 5. 9 6. (xa)n1

4）1,2,3 （