2020年四川省自贡市富顺县赵化中学中考数学一模试卷
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 纳米(𝑛𝑚)是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1𝑛𝑚＝10−9𝑚，已知某种植物孢子的直径为45000𝑛𝑚，用科学记数法表示该孢子的直径是（ ） A.45×10−9𝑚 B.4.5×10−9𝑚 C.4.5×10−3𝑚 D.4.5×10−5𝑚 【答案】 D
【考点】
科学记数法–表示较小的数 【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】
45000𝑛𝑚＝45000×10−9𝑚＝4.5×10−5𝑚；
2. 下列关于𝑥的方程：①𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐＝0；②𝑥2+𝑥2−3＝0；③𝑥2−4+𝑥5＝0；④3𝑥＝𝑥2．其中是一元二次方程的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 A
【考点】
一元二次方程的定义 【解析】
根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】
一元二次方程只有④，共1个，
3. 将二次函数𝑦＝𝑥2+4𝑥−1用配方法化成𝑦＝(𝑥−ℎ)2+𝑘的形式，下列所配方的结果中正确的是（ ） A.𝑦＝(𝑥−2)2+5 B.𝑦＝(𝑥+2)2−5 C.𝑦＝(𝑥−4)2−1 D.𝑦＝(𝑥+4)2−5 【答案】 B
【考点】
二次函数的三种形式 【解析】
运用配方法把一般式化为顶点式即可． 【解答】
𝑦＝𝑥2+4𝑥−1＝𝑦＝𝑥2+4𝑥+4−4−1＝(𝑥+2)2−5，
4. 正六边形的边长为4，则它的面积为（ ）
C.60 A.48√3 B.24√3 D.12√3 试卷第1页，总17页
1
【答案】 B
【考点】 正多边形和圆 【解析】
根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠𝐴𝑂𝐵的度数及𝑂𝐺的长，再由△𝑂𝐴𝐵的面积即可求解． 【解答】
∵ 此多边形为正六边形， ∴ ∠𝐴𝑂𝐵=
3606
=60∘；
∵ 𝑂𝐴＝𝑂𝐵，
∴ △𝑂𝐴𝐵是等边三角形， ∴ 𝑂𝐴＝𝐴𝐵＝2𝑐𝑚，
∴ 𝑂𝐺＝𝑂𝐴⋅cos30∘＝4×√=2√3，
23∴ 𝑆△𝑂𝐴𝐵=2×𝐴𝐵×𝑂𝐺=2×4×2√3=4√3， ∴ 𝑆六边形＝6𝑆△𝑂𝐴𝐵＝6×4√3=24√3．
5. 下列事件是必然事件的是（ ）
A.抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B.射击运动员射击一次，命中十环
C.打开电视频道，正在播放《奔跑吧，兄弟》 D.方程𝑥2−2𝑥−1＝0必有实数根 【答案】 D
【考点】 随机事件 根的判别式 【解析】
根据事件发生的可能性大小、一元二次方程根的判别式判断． 【解答】
𝐴、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件； 𝐵、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件； 𝐶、打开电视频道，正在播放《奔跑吧，兄弟》，是随机事件； 𝐷、对于方程𝑥2−2𝑥−1＝0，△＝(−2)2−4×1×(−1)＝8>0， ∴ 方程必有实数根，本说法是必然事件；
6. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶𝐷是⊙𝑂的弦，如果∠𝐴𝐶𝐷＝34∘，那么∠𝐵𝐴𝐷等于（ ）
11
A.34∘ B.46∘ C.56∘
试卷第2页，总17页
D.66∘
【答案】 C
【考点】 圆周角定理 【解析】
由𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠𝐴𝐷𝐵＝90∘，又由∠𝐴𝐶𝐷＝34∘，可求得∠𝐴𝐵𝐷的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【解答】
∵ 𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴ ∠𝐴𝐷𝐵＝90∘， ∵ ∠𝐴𝐶𝐷＝34∘， ∴ ∠𝐴𝐵𝐷＝34∘
∴ ∠𝐵𝐴𝐷＝90∘−∠𝐴𝐵𝐷＝56∘，
7. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“𝐸”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为𝑥，𝑦，剪去部分的面积为20，若2≤𝑥≤10，则𝑦与𝑥的函数图象是（ ）
A.
C.
【答案】 A
【考点】
反比例函数的图象 反比例函数的应用 【解析】
先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象． 【解答】
∵ 是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20， ∴ 𝑥𝑦＝10，
∴ 𝑦是𝑥的反比例函数， ∵ 2≤𝑥≤10， ∴ 答案为𝐴．
8. 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△𝐴𝐵𝐶的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠𝐴𝐶𝐵的值为（ ）
试卷第3页，总17页
B.
D.
1
1
A.3 【答案】 A
【考点】
B.2
C.√2 2
D.3
锐角三角函数的定义 【解析】
结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【解答】
由图形知：tan∠𝐴𝐶𝐵=6=3，
9. 如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）
2
1
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【考点】
简单组合体的三视图 【解析】
根据图形的三视图的知识，即可求得答案． 【解答】
该实物图的主视图为
．
10. 如图，点𝐴是反比例函数𝑦=𝑥的图象上的一点，过点𝐴作𝐴𝐵⊥𝑥轴，垂足为𝐵．点𝐶为𝑦轴上的一点，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶．若△𝐴𝐵𝐶的面积为4，则𝑘的值是（ ）
𝑘
试卷第4页，总17页
A.4 B.−4 C.8 D.−8 【答案】 D
【考点】
反比例函数系数k的几何意义 【解析】
连结𝑂𝐴，如图，利用三角形面积公式得到𝑆△𝑂𝐴𝐵＝𝑆△𝐴𝐵𝐶＝4，再根据反比例函数的比例系数𝑘的几何意义得到2|𝑘|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的𝑘的值． 【解答】
连结𝑂𝐴，如图， ∵ 𝐴𝐵⊥𝑥轴， ∴ 𝑂𝐶 // 𝐴𝐵，
∴ 𝑆△𝑂𝐴𝐵＝𝑆△𝐴𝐵𝐶＝4， 而𝑆△𝑂𝐴𝐵=2|𝑘|， ∴ 2|𝑘|＝4，
∵ 𝑘<0， ∴ 𝑘＝−8．
11. 已知二次函数𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，对称轴为直线𝑥＝1，下列结论中正确的是（ ）
1
1
1
A.𝑎𝑏𝑐>0 B.𝑏＝2𝑎 C.𝑎+𝑐>𝑏 D.4𝑎+2𝑏+𝑐>0 【答案】 D
【考点】
二次函数图象与系数的关系 【解析】
由抛物线的开口方向判断𝑎与0的关系，由抛物线与𝑦轴的交点判断𝑐与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与𝑥轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】
由抛物线的开口向下知𝑎<0，与𝑦轴的交点为在𝑦轴的正半轴上， ∴ 𝑐>0，对称轴为𝑥=−2𝑎=1，得2𝑎＝−𝑏，
试卷第5页，总17页
𝑏
∴ 𝑎、𝑏异号，即𝑏>0，即𝑎𝑏𝑐<0，𝑏＝−2𝑎，𝐴、𝐵选项错误； ∵ 二次函数𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象可知，当𝑥＝−1时，𝑦<0， ∴ 𝑎−𝑏+𝑐<0，即𝑎+𝑐<𝑏，故𝐶错误；
∵ 二次函数𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象可知，当𝑥＝2时，𝑦>0， ∴ 4𝑎+2𝑏+𝑐>0，故𝐷正确；
12. 如图，锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐸＝∠𝐶，记△𝐴𝐷𝐸的面积𝑆1，△𝐴𝐵𝐶的面积
𝑆𝑆
2，则1
𝑆2
=( )
A.sin2𝐴
B.cos2𝐴
C.tan2𝐴
【答案】 B
【考点】
相似三角形的性质与判定 【解析】
根据相似三角形的性质和三角形函数即可得到结论． 【解答】
∵ ∠𝐴𝐷𝐸＝∠𝐶，∠𝐴＝∠𝐴， ∴ △𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵，
∴ 𝑆1
𝐴𝐸
𝑆2
=(2𝐴𝐵)，
∵ 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶， ∴ cos𝐴=𝐴𝐸
𝐴𝐵，
∴ 𝑆1
𝐴𝐸
2𝑆2
=(𝐴𝐵)＝cos2𝐴，
二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）
在实数范围内分解因式：𝑎3𝑏−2𝑎𝑏＝________． 【答案】
𝑎𝑏(𝑎+√2)(𝑎−√2) 【考点】 实数的运算 因式分解 【解析】
首先提取公因式𝑎𝑏，再利用平方差公式分解即可求得答案． 【解答】
原式＝𝑎𝑏(𝑎2−2)＝𝑎𝑏(𝑎+√2)(𝑎−√2)．
不等式组{2𝑥+1>−1
2𝑥+1<3 的解集是________．
【答案】
试卷第6页，总17页
D.1
tan2𝐴
−1<𝑥<1 【考点】
解一元一次不等式组 【解析】
分别解每一个不等式，再求解集的公共部分． 【解答】 2𝑥+1>−1{ ， 2𝑥+1<3
解不等式①得：𝑥>−1， 解不等式②得：𝑥<1，
所以不等式组的解集是−1<𝑥<1．
2
反比例函数𝑦＝(𝑚+2)𝑥𝑚−10的图象分布在第二、四象限内，则𝑚的值为________． 【答案】 −3
【考点】
反比例函数的定义 反比例函数的性质 【解析】
根据反比例函数的定义可得𝑚2−10＝−1，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得𝑚+2<0，然后求解即可． 【解答】
根据题意得，𝑚2−10＝−1且𝑚+2<0， 解得𝑚1＝3，𝑚2＝−3且𝑚<−2， 所以𝑚＝−3．
在△𝐴𝐵𝐶中，若|sin𝐴−√3|+(cos𝐵−1)2=0，则△𝐴𝐵𝐶是________三角形．
22【答案】
等边 【考点】
非负数的性质：算术平方根 特殊角的三角函数值 非负数的性质：偶次方 非负数的性质：绝对值 【解析】
直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出sin𝐴=√，cos𝐵=2，再利用特殊角的三角
2函数值求出答案． 【解答】
∵ |sin𝐴−√3|+(cos𝐵−1)2＝0，
2
2
31
∴ sin𝐴=√3，cos𝐵=2，
2
1
∴ ∠𝐴＝60∘，∠𝐵＝60∘， ∴ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
试卷第7页，总17页
如图，已知𝐴(3, 0)，𝐵(2, 3)，将△𝑂𝐴𝐵以点𝑂为位似中心，相似比为2:1，放大得到△𝑂𝐴′𝐵′，则顶点𝐵的对应点𝐵′的坐标为________．
【答案】
(−4, −6)或(4, 6) 【考点】
作图-位似变换 坐标与图形性质 【解析】
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为𝑘，那么位似图形对应点的坐标的比等于𝑘或−𝑘进行解答． 【解答】
∵ 以原点𝑂为位似中心，相似比为2:1，将△𝑂𝐴𝐵放大为△𝑂𝐴′𝐵′，𝐵(2, 3)， 则顶点𝐵的对应点𝐵′的坐标为(−4, −6)或(4, 6)，
已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的两边𝐴𝐵与𝐵𝐶的比为4:8，𝐸是𝐴𝐵上的一点，沿𝐶𝐸将△𝐸𝐵𝐶上翻折，若𝐵点恰好落在边𝐴𝐷上的𝐹点，则tan∠𝐷𝐶𝐹＝________．
【答案】 √3 【考点】
矩形的性质
翻折变换（折叠问题） 解直角三角形 【解析】
由折叠的性质可得𝐶𝐹＝𝐵𝐶＝8𝑥，由勾股定理可求𝐷𝐹的长，即可求解． 【解答】
∵ 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的两边𝐴𝐵与𝐵𝐶的比为4:8， ∴ 设𝐴𝐵＝𝐶𝐷＝4𝑥，𝐵𝐶＝𝐴𝐷＝8𝑥， ∵ 沿𝐶𝐸将△𝐸𝐵𝐶上翻折， ∴ 𝐶𝐹＝𝐵𝐶＝8𝑥，
∴ 𝐷𝐹=√𝐶𝐹2−𝐶𝐷2=√(8𝑥)2−(4𝑥)2=4√3𝑥， ∴ tan∠𝐷𝐶𝐹=𝐷𝐶=√3， 三.解答题（共8个题，共78分）
计算：√2cos45+|1−√3|−(−2)−1−tan60+(𝜋−2020)0．
试卷第8页，总17页
1
𝐷𝐹
【答案】
原式=√2×√+√3−1−(−2)−√3+1
22＝1+√3−1+2−√3+1 ＝3． 【考点】 实数的运算
特殊角的三角函数值 零指数幂、负整数指数幂 零指数幂 【解析】
原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，第四项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂的法则计算，即可得到结果． 【解答】
原式=√2×√+√3−1−(−2)−√3+1
2＝1+√3−1+2−√3+1 ＝3．
2𝑥−3𝑦=4
解方程组：{
3𝑥−2𝑦=6【答案】 2𝑥−3𝑦=4{ ， 3𝑥−2𝑦=6
②×3−①×2得，5𝑥＝10，解得𝑥＝2， 把𝑥＝2代入①得，4−3𝑦＝4，解得𝑦＝0， 𝑥=2
∴ 原方程组的解为：{ ．
𝑦=0【考点】
二元一次方程组的解 代入消元法解二元一次方程组 【解析】
运用加减消元法解答即可． 【解答】 2𝑥−3𝑦=4{ ， 3𝑥−2𝑦=6
②×3−①×2得，5𝑥＝10，解得𝑥＝2， 把𝑥＝2代入①得，4−3𝑦＝4，解得𝑦＝0， 𝑥=2
∴ 原方程组的解为：{ ．
𝑦=0
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝5，𝐵𝐶＝13，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐷＝4．求𝐶𝐷的长和tan𝐶的值．
2试卷第9页，总17页
【答案】
∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵＝∠𝐴𝐷𝐶＝90∘， ∵ 𝐴𝐵＝5，𝐴𝐷＝4， ∴ 𝐵𝐷=√52−42=3， ∵ 𝐵𝐶＝13，
∴ 𝐶𝐷＝𝐵𝐶−𝐵𝐷＝10， ∴ tan𝐶=𝐶𝐷=10=5． 【考点】 勾股定理
解直角三角形 【解析】
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，利用勾股定理求出𝐵𝐷即可解决问题． 【解答】
∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵＝∠𝐴𝐷𝐶＝90∘， ∵ 𝐴𝐵＝5，𝐴𝐷＝4， ∴ 𝐵𝐷=√52−42=3， ∵ 𝐵𝐶＝13，
∴ 𝐶𝐷＝𝐵𝐶−𝐵𝐷＝10， ∴ tan𝐶=𝐶𝐷=10=5．
如图，一次函数𝑦＝𝑘𝑥+𝑏的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于𝐴(−2, 1)，𝐵(1, 𝑛)两点．
𝑚
𝐴𝐷
4
2
𝐴𝐷
4
2
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值>反比例函数的值的𝑥的取值范围． 【答案】
把𝐴(−2, 1)代入𝑦=𝑥，得𝑚＝−2， 即反比例函数为𝑦=−𝑥，则𝑛=
2
−21
𝑚
⇒𝑛＝−2，
即𝐵(1, −2)，把𝐴(−2, 1)，𝐵(1, −2)代入𝑦＝𝑘𝑥+𝑏， 求得𝑘＝−1，𝑏＝−1，所以𝑦＝−𝑥−1；
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由图象可知：𝑥<−2或0<𝑥<1． 【考点】
反比例函数综合题 【解析】
（1）由𝐴的坐标易求反比例函数解析式，从而求𝐵点坐标，进而求一次函数的解析式； （2）观察图象，看在哪些区间一次函数的图象在上方． 【解答】
把𝐴(−2, 1)代入𝑦=𝑥，得𝑚＝−2， 即反比例函数为𝑦=−𝑥，则𝑛=
2
−21
𝑚
⇒𝑛＝−2，
即𝐵(1, −2)，把𝐴(−2, 1)，𝐵(1, −2)代入𝑦＝𝑘𝑥+𝑏， 求得𝑘＝−1，𝑏＝−1，所以𝑦＝−𝑥−1； 由图象可知：𝑥<−2或0<𝑥<1．
为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，赵化中学新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？
【答案】
过点𝐸作𝐸𝐵⊥𝐴𝐶于点𝐵，
由题意可得：𝐷𝐶＝𝐵𝐸＝4.6𝑚，𝐷𝐸＝𝐵𝐶＝2.5𝑚，
∵ 同一时刻身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米， ∴
𝐴𝐵𝐵𝐸
=
1.51
=
𝐴𝐵
4.6
，
解得：𝐴𝐵＝6.9，
故𝐴𝐶＝𝐴𝐵+𝐵𝐶＝6.9+4.6＝11.5(𝑚)，
答：新安装的照明路灯的灯杆的高度为11.5𝑚．
【考点】
相似三角形的应用 【解析】
利用同一时刻投影的性质得出𝐵𝐸=
𝐴𝐵
1.51
=4.6，进而得出答案．
𝐴𝐵
试卷第11页，总17页
【解答】
如图所示：过点𝐸作𝐸𝐵⊥𝐴𝐶于点𝐵，
由题意可得：𝐷𝐶＝𝐵𝐸＝4.6𝑚，𝐷𝐸＝𝐵𝐶＝2.5𝑚，
∵ 同一时刻身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米， ∴
𝐴𝐵𝐵𝐸
=
1.51
=
𝐴𝐵
4.6
，
解得：𝐴𝐵＝6.9，
故𝐴𝐶＝𝐴𝐵+𝐵𝐶＝6.9+4.6＝11.5(𝑚)，
答：新安装的照明路灯的灯杆的高度为11.5𝑚．
𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐满足等式(2𝑏)2＝4(𝑐+𝑎)(𝑐−𝑎)，且有5𝑎−3𝑐＝0，求sin𝐴+sin𝐵的值． 【答案】
∵ (2𝑏)2＝4(𝑐+𝑎)(𝑐−𝑎)， ∴ 4𝑏2＝4(𝑐2−𝑎2)， ∴ 𝑏2＝𝑐2−𝑎2， ∴ 𝑎2+𝑏2＝𝑐2，
∴ △𝐴𝐵𝐶为直角三角形，且∠𝐶＝90∘． ∵ 5𝑎−3𝑐＝0， ∴ 𝑐=5， ∴ sin𝐴=5．
设𝑎＝3𝑘，𝑐＝5𝑘，
∴ 𝑏=√(5𝑘)2−(3𝑘)2=4𝑘， ∴ sin𝐵==
𝑐𝑏
4𝑘5𝑘3
𝑎
3
=， 5
3
4
7
4
∴ sin𝐴+sin𝐵=5+5=5．
【考点】
锐角三角函数的定义 勾股定理的逆定理 【解析】
先把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和． 【解答】
∵ (2𝑏)2＝4(𝑐+𝑎)(𝑐−𝑎)， ∴ 4𝑏2＝4(𝑐2−𝑎2)， ∴ 𝑏2＝𝑐2−𝑎2， ∴ 𝑎2+𝑏2＝𝑐2，
∴ △𝐴𝐵𝐶为直角三角形，且∠𝐶＝90∘． ∵ 5𝑎−3𝑐＝0，
试卷第12页，总17页
∴ 𝑐=5， ∴ sin𝐴=5．
设𝑎＝3𝑘，𝑐＝5𝑘，
∴ 𝑏=√(5𝑘)2−(3𝑘)2=4𝑘， ∴ sin𝐵=𝑐=5𝑘=5， ∴ sin𝐴+sin𝐵=5+5=5．
如图，△𝐴𝐵𝐶中，以𝐴𝐶为直径的⊙𝑂与边𝐴𝐵交于点𝐷，点𝐸为⊙𝑂上一点，连接𝐶𝐸并延长交𝐴𝐵于点𝐹，连接𝐸𝐷．
3
4
7
𝑏
4𝑘
4
3
𝑎
3
（1）若∠𝐵+∠𝐹𝐸𝐷＝90∘，求证：𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；
（2）若𝐹𝐶＝6，𝐷𝐸＝3，𝐹𝐷＝2，求⊙𝑂的直径． 【答案】
证明：∵ ∠𝐴+∠𝐷𝐸𝐶＝180∘，∠𝐹𝐸𝐷+∠𝐷𝐸𝐶＝180∘， ∴ ∠𝐹𝐸𝐷＝∠𝐴，
∵ ∠𝐵+∠𝐹𝐸𝐷＝90∘， ∴ ∠𝐵+∠𝐴＝90∘， ∴ ∠𝐵𝐶𝐴＝90∘，
∴ 𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；
∵ ∠𝐶𝐹𝐴＝∠𝐷𝐹𝐸，∠𝐹𝐸𝐷＝∠𝐴， ∴ △𝐹𝐸𝐷∽△𝐹𝐴𝐶， ∴ 𝐹𝐶=𝐴𝐶， ∴ 6=𝐴𝐶，
解得：𝐴𝐶＝9，即⊙𝑂的直径为9． 【考点】 切线的判定 【解析】
（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠𝐹𝐸𝐷＝∠𝐴，进而得出∠𝐵+∠𝐴＝90∘，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△𝐹𝐸𝐷∽△𝐹𝐴𝐶，进而求出即可． 【解答】
证明：∵ ∠𝐴+∠𝐷𝐸𝐶＝180∘，∠𝐹𝐸𝐷+∠𝐷𝐸𝐶＝180∘， ∴ ∠𝐹𝐸𝐷＝∠𝐴，
∵ ∠𝐵+∠𝐹𝐸𝐷＝90∘，
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2
3𝐷𝐹
𝐷𝐸
∴ ∠𝐵+∠𝐴＝90∘， ∴ ∠𝐵𝐶𝐴＝90∘，
∴ 𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；
∵ ∠𝐶𝐹𝐴＝∠𝐷𝐹𝐸，∠𝐹𝐸𝐷＝∠𝐴， ∴ △𝐹𝐸𝐷∽△𝐹𝐴𝐶， ∴ 𝐹𝐶=𝐴𝐶， ∴ 6=𝐴𝐶，
解得：𝐴𝐶＝9，即⊙𝑂的直径为9．
如图，抛物线𝑦＝−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴分别交于点𝐴(−1, 0)、𝐵(3, 0)，与𝑦轴交于点𝐶，顶点为𝐷，对称轴交𝑥轴于点𝑄．
2
3𝐷𝐹
𝐷𝐸
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点𝑃是抛物线的对称轴上一点，以点𝑃为圆心的圆经过𝐴、𝐵两点，且与直线𝐶𝐷相切，求点𝑃的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点𝑀，使得△𝐷𝐶𝑀与△𝐵𝑄𝐶相似？如果存在，求出点𝑀的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】
∵ 𝐴(−1, 0)，𝐵(3, 0)． 代入𝑦＝−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，得 −1+𝑏+𝑐=0{ ， −9+3𝑏+𝑐=0
解得 𝑏＝2，𝑐＝3．
∴ 抛物线对应二次函数的表达式为：𝑦＝−𝑥2+2𝑥+3；
如图1，设直线𝐶𝐷切⊙𝑃于点𝐸．连结𝑃𝐸、𝑃𝐴，作𝐶𝐹⊥𝐷𝑄于点𝐹．
∴ 𝑃𝐸⊥𝐶𝐷，𝑃𝐸＝𝑃𝐴．
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由𝑦＝−𝑥2+2𝑥+3，得
对称轴为直线𝑥＝1，𝐶(0, 3)、𝐷(1, 4)． ∴ 𝐷𝐹＝4−3＝1，𝐶𝐹＝1， ∴ 𝐷𝐹＝𝐶𝐹，
∴ △𝐷𝐶𝐹为等腰直角三角形． ∴ ∠𝐶𝐷𝐹＝45∘，
∴ ∠𝐸𝐷𝑃＝∠𝐸𝑃𝐷＝45∘， ∴ 𝐷𝐸＝𝐸𝑃，
∴ △𝐷𝐸𝑃为等腰三角形． 设𝑃(1, 𝑚)，
∴ 𝐸𝑃2=2(4−𝑚)2．
在△𝐴𝑃𝑄中，∠𝑃𝑄𝐴＝90∘，
∴ 𝐴𝑃2＝𝐴𝑄2+𝑃𝑄2＝[1−(−1)]2+𝑚2 ∴ (4−𝑚)2＝[1−(−1)]2+𝑚2． 整理，得𝑚2+8𝑚−8＝0 解得，𝑚＝−4±2√6．
∴ 点𝑃的坐标为(1, −4+2√6)或(1, −4−2√6)． 存在点𝑀，使得△𝐷𝐶𝑀∽△𝐵𝑄𝐶． 如图2，连结𝐶𝑄、𝐶𝐵、𝐶𝑀，
1
∵ 𝐶(0, 3)，𝑂𝐵＝3，∠𝐶𝑂𝐵＝90∘， ∴ △𝐶𝑂𝐵为等腰直角三角形， ∴ ∠𝐶𝐵𝑄＝45∘，𝐵𝐶＝3√2．
由（2）可知，∠𝐶𝐷𝑀＝45∘，𝐶𝐷=√2， ∴ ∠𝐶𝐵𝑄＝∠𝐶𝐷𝑀．
∴ △𝐷𝐶𝑀与△𝐵𝑄𝐶相似有两种情况． 当𝑄𝐵=𝐶𝐵时， ∴
𝐷𝑀2
√=32，解得𝐷𝑀=3． √2
103
22
𝐷𝑀
𝐶𝐷
∴ 𝑄𝑀＝𝐷𝑄−𝐷𝑀＝4−3=∴ 𝑀1(1, 3)． 当𝐶𝐵=𝑄𝐵时， ∴ 𝐷𝑀3√𝐷𝑀
𝐶𝐷10
．
√
，解得𝐷𝑀＝3， =
23−1
2试卷第15页，总17页
∴ 𝑄𝑀＝𝐷𝑄−𝐷𝑀＝4−3＝1． ∴ 𝑀2(1, 1)．
综上，点𝑀的坐标为(1,3)或(1, 1)．
【考点】
二次函数综合题 【解析】
（1）把点𝐴、点𝐵的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法可得到二次函数的表达式； （2）设直线𝐶𝐷切⊙𝑃于点𝐸．连结𝑃𝐸、𝑃𝐴，作𝐶𝐹⊥𝐷𝑄于点𝐹．通过𝐷𝐹与𝐶𝐹的长，说明△𝐷𝐶𝐹为等腰直角三角形．设点𝑃(1, 𝑚)，用含𝑚的代数式表示出半径𝐸𝑃、𝑃𝐴的长，根据半径间关系，求出𝑚的值从而确定点𝑃的坐标．
（3）利用等腰直角三角形，先求出𝐷𝐶和𝐵𝐶的长，由于∠𝐶𝐵𝑄＝∠𝐶𝐷𝑀，若△𝐷𝐶𝑀与△𝐵𝑄𝐶相似，分两种情况，利用比例线段求出满足条件的点𝑀的坐标即可． 【解答】
∵ 𝐴(−1, 0)，𝐵(3, 0)． 代入𝑦＝−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，得 −1+𝑏+𝑐=0{ ， −9+3𝑏+𝑐=0
解得 𝑏＝2，𝑐＝3．
∴ 抛物线对应二次函数的表达式为：𝑦＝−𝑥2+2𝑥+3；
如图1，设直线𝐶𝐷切⊙𝑃于点𝐸．连结𝑃𝐸、𝑃𝐴，作𝐶𝐹⊥𝐷𝑄于点𝐹．
10
∴ 𝑃𝐸⊥𝐶𝐷，𝑃𝐸＝𝑃𝐴． 由𝑦＝−𝑥2+2𝑥+3，得
对称轴为直线𝑥＝1，𝐶(0, 3)、𝐷(1, 4)． ∴ 𝐷𝐹＝4−3＝1，𝐶𝐹＝1， ∴ 𝐷𝐹＝𝐶𝐹，
∴ △𝐷𝐶𝐹为等腰直角三角形． ∴ ∠𝐶𝐷𝐹＝45∘，
∴ ∠𝐸𝐷𝑃＝∠𝐸𝑃𝐷＝45∘， ∴ 𝐷𝐸＝𝐸𝑃，
∴ △𝐷𝐸𝑃为等腰三角形． 设𝑃(1, 𝑚)，
∴ 𝐸𝑃2=2(4−𝑚)2．
在△𝐴𝑃𝑄中，∠𝑃𝑄𝐴＝90∘，
∴ 𝐴𝑃2＝𝐴𝑄2+𝑃𝑄2＝[1−(−1)]2+𝑚2 ∴ (4−𝑚)2＝[1−(−1)]2+𝑚2． 整理，得𝑚2+8𝑚−8＝0
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1
解得，𝑚＝−4±2√6．
∴ 点𝑃的坐标为(1, −4+2√6)或(1, −4−2√6)． 存在点𝑀，使得△𝐷𝐶𝑀∽△𝐵𝑄𝐶． 如图2，连结𝐶𝑄、𝐶𝐵、𝐶𝑀，
∵ 𝐶(0, 3)，𝑂𝐵＝3，∠𝐶𝑂𝐵＝90∘， ∴ △𝐶𝑂𝐵为等腰直角三角形， ∴ ∠𝐶𝐵𝑄＝45∘，𝐵𝐶＝3√2．
由（2）可知，∠𝐶𝐷𝑀＝45∘，𝐶𝐷=√2， ∴ ∠𝐶𝐵𝑄＝∠𝐶𝐷𝑀．
∴ △𝐷𝐶𝑀与△𝐵𝑄𝐶相似有两种情况． 当𝑄𝐵=𝐶𝐵时， ∴
𝐷𝑀2
√=32，解得𝐷𝑀=3． √2
103
22
𝐷𝑀
𝐶𝐷
∴ 𝑄𝑀＝𝐷𝑄−𝐷𝑀＝4−3=∴ 𝑀1(1, 3)． 当𝐶𝐵=𝑄𝐵时， ∴ 𝐷𝑀3√2𝐷𝑀
𝐶𝐷10
．
=
√2，解得𝐷𝑀＝3， 3−1
∴ 𝑄𝑀＝𝐷𝑄−𝐷𝑀＝4−3＝1． ∴ 𝑀2(1, 1)．
综上，点𝑀的坐标为(1,3)或(1, 1)．
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