教师基本功比赛专业技能比赛试题

教师基本功比赛专业技能比赛试题

1.试求证：圆的切线垂直于经过切点的半径. (书本定理的证明)

2.如图，已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点，试用一元二次方程求根公式验证黄金 比

3.三座城市A、B、C分别位于一个等腰三角形ABC的三个顶点处，且AB=AC=50km，BC=80km，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案. 方案一：沿AB、BC铺设；

方案二：沿BC，和BC 边上的中线AD铺设；

方案三：在ABC内找一点O，使OA=OB=OC，沿OA=OB=OC铺设. (1)请你用尺规画出三种方案的示意图；

（2）请你在这三种方案中选择最短的方案，并加以说明.

AC51.（书本习题） AB214.如图，在△ABC中，ABC45，点D在边BC上，ADC60，且BDCD．将△ACD以直线AD为轴做

2轴对称变换，得到△ACD，连接BC，

（1）求证BCBC； （2）求C的大小．

5.已知抛物线①经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。 （1）求抛物线①的表达式及点P的坐标；

（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离； （3）设抛物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦

y 值.

1 O 1 x A C/ B D C

参考答案：

4.（1）∵△ACD是△ACD沿AD做轴对称变换得到的，

∴△ACD≌△ACD.

有CDCD，ADCADC．………………3分

A

CP D

C

1∵BDCD，ADC60，

21∴BDCD，BDC180ADCADC60．……5分

B 2取CD中点P，连接BP，则△BDP为等边三角形，△BCP为等腰三角形，…8分

11有BCDBPDBDC30．∴CBD90，即BCBC． ……10分

22（2）如图，过点A分别作BC,CD,BC的垂线，垂足分别为E,F,G．

∵ADCADC，

即点A在CDC的平分线上， ∴AEAF．……13分 ∵CBD90，ABC45， ∴GBACBCABC45，

即点A在GBC的平分线上，∴AGAE．……16分

B

D C G A

C F 于是，AGAF，则点A在GCD的平分线上．…………………………18分 又∵BCD30,有GCD150． ∴ACD1GCD75．∴CACD75．………………………20分 22解：（1）据题意设抛物线的表达式为yaxbx3， 则0ab3a12，解得，∴抛物线的表达式为yx2x3

516a4b3b2∴对称轴为直线x1

据题意设直线BC的解析式为ykx3，则54k3,k2，

∴直线BC的解析式为y2x3，∴P（1，-1）

（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②， 则抛物线②的表达式为y(x11)24m

∵抛物线②过点P，∴1(111)24m，∴m2 ∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②

（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得∴抛物线②的表达式是y(x11)242即，E（0,2） y(x2)22，∴D（2,-2）

∵P(1,-1)，∴直线DP过点O，且与x轴夹角为45°， 过点E作EH⊥DP于点H，∴∠EOH= 45°

22∵E（0,2）,∴EH=2，而ED=2(22)25 y 到抛物线②，

E H 1 O P D 1 x

∴sin∠EDP=

EH210 DE2510

备用：

某一学生把一座正确的时钟的时针装在分针的轴上，把分针装在时针的轴上，问这座时钟一天中有 次显示正确的时刻.22

1、设a为质数，并且7a28和8a27也都是质数，若记x77a8,y88a7，

则在以下情况中，必定成立的是（ ）．

A、x,y都是质数； B、x,y都是合数；

C、x,y一个是质数，一个是合数； D、对不同的a，以上各情况皆可能出现．

答案：A．

22解：当a3时，7a871与8a779皆为质数，而x77a8239，

y88a7271都是质数；

当质数a异于3时，则a被3除余1，设a3n1，于是7a821n15，

2228a2724n15，它们都不是质数，与条件矛盾！

绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周上所有十二个数的和，那么数S所有可能的取值情况有 种． 答案：9种．

解：对于圆周上相邻的三个数ak,ak1,ak2，akak1ak2可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，

ak,ak1,ak2可以取1,2,4或1,1,5或2,2,3；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为ak,ak1,ak2,ak3，

由于akak1ak2和ak1ak2ak3都是7的倍数，那么必有7ak3ak，于是ak与ak3或者相等，或者相差7； 又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到28,35,42,49,56,63,70,77,84中的任一个值，总共九种情况．

（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4，其和为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7，而这样的操作可以进行八次）．

变式：求S35的概率是多少？

众所周知，菠萝味道鲜美，很受大家喜爱.某超市为方便顾客，把菠萝去皮后出售，但由于定价不合理而无人问津.现根据如下统计数据重新定价，你认为如何划定去皮菠萝的价格，人们才会觉得合理？ 菠萝 A B C D E 2.05kg 去皮前 1.14kg 0.85kg 1.78kg 1.3kg

为庆祝“神州五号”载人飞行成功返航，某学校科技小组要举行科技小作品展，小东在制作一件参展作品过程中，遇到这样一个问题：如图1，一块金属板上有三个圆洞，现要作一个与这三个圆洞都相切的圆板（大小不限），请你帮助他提供6种不同方案.

图1

20．在某省举行的中学教师课件及观摩课比赛中，其中一个参赛课件是这样的：在平面上有n个过同一点P且半径相等的圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其它交点，演示探索这样的n个圆把平面划分成几个平面区域的问题.大屏幕上首先依次显现了如下几个场景：

P P P P P 去皮后 0.75kg 0.55kg 1.15kg 0.84kg 1.34kg 场景一 场景二

场景三 场景四

场景五

试问：当有n个圆按此规律相交时，可把平面划分成多少个平面区域？这n个圆共有几个交点？ 答案：平面区域：

n(n1)n(n1)1 ，交点个数：

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