专题06 函数的方程以及函数的零点-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(二)(原卷版)

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

06函数的方程以及零点问题

【走进高考】

xe， x≤0，

1.(2018年新课标Ⅰ理)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范

ln x， x＞0，

围是( ) A.[－1,0)

2．(2018年江苏)若函数f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的和为 ．

x-4，x≥λ，

3（2018年浙江）已知λ∈R，函数f（x）=2当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是 ．若

x-4x+3，x＜λ，

B.[0,＋∞) C.[－1,＋∞) D.[1,＋∞)

函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 解读《考试说明》

1.《考试说明》要求“结合二次函数的图象，理解函数的零点与方程的根的联系”，因 此我们应了解函数的零点的概念，并能将函数的零点与方程的根联系起来，解决方程问题。

2.《考试说明》还要求“根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解”，其实质是借助函数的零点的性质，判断根的存在性以及方程的根的范围，解决这类问题的关键是构造恰当的函数，将方程问题转化为函数问题进行解决。 重点内容回顾

1、如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f（x）在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，函数f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点，即存在唯一的c(a,b)，使f（c）＝0.

2、如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内不一定没有零点。

3、如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f（x）在区间（a，b）内有零点时不一定有f(a)f(b)0，也可能有f(a)f(b)0，例如函数

f(x)x35x26x在区间[1，4]上有零点2和3，却有f(1)f(4)0.

4、由于函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决。

5、函数零点个数[方程f（x）＝0的实根个数]的确定方法

（1）判断二次函数f（x）的零点个数就是判断一元二次方程ax2bxc0的实根个数，一般地由判别式,0,0完成；

（2）对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图象进行；

（3）对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要用在闭区间[a，b]上是连续曲线，且

f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质才能确定，函数有多少个零点――方程有几个实根。

典例解析

1．零点中的参数问题 例1.已知函数f（x）=0,x0，则使函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点的实数m的取值范围是（ ） xe,x0A.[0,1) B. (,1) C. (,1)(2,) D. (,0](1,)

x21,x0例2、（2017•宝清县一模）已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实

2x2x,x0数m的取值范围是 ．

2x,x1例3（2017•宝鸡一模）设函数f(x)，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的

log2x,x1取值范围是 ．

2．比较函数值的大小

例4.设函数f（x）=ex14x4，g（x）=lnx﹣．若f（x1）=g（x2）=0，则（ ）

A．0＜g（x1）＜f（x2） B． g（x1）＜0＜f（x2） C． f（x2）＜0＜g（x1） D． f（x2）＜g（x1）＜0

3．新符号、新运算

例3.对实数a和b，定义运算“*”：a*b=

，设函数f（x）=（x+1）*（x+2），若函数y=f（x）

2

﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（ ） A. (2,4)(5,) B. (1,2](4,5] C. (,1)(4,5] D. [1,2]

例4.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 有且仅有3个零点，

例5、对于函数y＝（fx）（xD)，若同时满足下列条件：①（fx）在D内为单调函数；②存在区间[a,b]D,使f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]，那么y＝f（x）叫闭函数，若y＝k＋x2是闭函数，求实数k的取值范围。

4零点个数问题

x22,x0例6（2014•福建）函数f(x)f（x）=的零点个数是 ．

2x6lnx,x0【达标测试题】

1、已知函数yx(x2)(x2)的图像如图所示，设f(x)x(x2)(x2)1， 则函数f（x）（ ）

A、当x2时，恰有一个零点 B、当2x0时，恰有一个零点 C、当0x2时，恰有一个零点 D、当x2时，恰有一个零点

2、已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，且在(0,)内的零点有1003个，则

f（x）的零点个数为（ ）

A、1003 B、1004 C、2006 D、2007

3、方程xx10的一个正零点的存在区间可能是（ ）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

4若f(x)axax2(a0)在[－6，6]上有意义，且f(6)1,f(6)1，则 方程f（x）＝1在[－6，6]内的根的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

5（2018天津一模）已知函数f(x)xx5x2，若f（a）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（ ） A．（﹣∞，1）

6.已知函数f（x）=log2（a-2x）+x-2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A、（-∞，-4]∪[4，+∞） B、[1，+∞） C、[2，+∞） D、[4，+∞）

7、已知函数f(x)x(a1)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小， 则a的取值范围为__________.

8.设a,bR，且(a1)2009(a1)1,(b1)2009(b1)1， 则a＋b的值为_________.

33253532B．（﹣∞，3） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）

9 已知实数x1,x2分别是函数yex2与ylnxx2的零点，则x1x2的值为_________. 10.若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，

x2]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为_____。