§21.2二项方程

普陀区课题组

教学目标：

1．在二项方程概念的形成过程中,感受从一般到特殊的研究问题的方法． 2．会解二项方程,感受分类讨论和化归的数学思想． 教学重点：

二项方程的解法． 教学难点：

形如二项方程的方程的解法． 教学过程： 教师活动 Yi 一、探究新知 1、复习引入 师：上节课我们学习了一元整式方程，什么叫一元整式方程呢？你能写出一些一元整式方程吗？ 师：我们已经会解一元一次方程和一元二次方程了，那么是否所有的一元高次方程我们现在都能求解呢？我们来看这几个方程—— （教师划出几个二项方程，如果学生没有写出二项方程，那么教师可以补充几个二项方程．例如：） 学生活动 预设学生回答：只含有一个未知数且两边都是关于未知数的整式的方程叫做一元整式方程． 预设学生写出的答案，例如：2x2－1=0 设计意图 在复习完概念之后用开放式的问题请学生写出一些一元整式方程，体现了从一般到特殊的研究问题方法． 利用比较的方法引导学生寻找二项方程的特点,从而为二项方程概念的引出打下铺垫． x25x60y43y2100 …… x380 15 x1602 5x3180 …… 师：今天我们来研究这类方程，请同学们观察 这些方程． 预设学生的回答： 问1：这些方程都是一元整式方程吗？ 1、 是的． 问2：这些方程与其它一元整式方程相比有什么2、 方程等式的左边只有两个不同点？ （学生口述后，教师简单小结） 项，一是含未知数的项，二2、概念形成(师生共同完成) 是非零的常数项，等号右边（1）二项方程：如果一元n次方程的一边只有 是零． 含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零， 那么这样的方程就叫做二项方程． （2）一般形式： 关于x的一元n次二项方程的一般形式为思考后回答、交流．

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预设学生的回答中出现的问（在给出字母表示的一般形式后马上引导学题： 生思考这里三个字母a、b、n分别有什么取值1、b可以取一切实数． 要求） 2、n是正整数．（要强调一元 n次方程是整式方程，n是正n注 ①ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，整数） 它的根是0． ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次． 3、概念辨析（书P31/1） 判断下列方程是不是二项方程： 13x80（1）是． 一元三次方程的（1）2； 一边只有含未知数的一项和 非零的常数项，另一边是零， 4xx0（2）； （2）不是． 方程的一边含 有未知数项有两项，缺少非 零常数项． 5x9（3）； （3）是．移项后，是一元五 次方程，且方程的一边只有 含未知数的一项和非零的常3数项，另一边是零． （4）xx1． (4)不是． 方程的一边含有 未知数项有两项，缺少非零 二、二项方程的解法 常数项,同时另一边不是零． 师：如何解这些特殊的高次方程呢？我们一起 来尝试一下． 1、例1、解下列二项方程： 35 （1）x8 （2）x320 学生口述，教师板书，师生149x06共同完成． x10 22（3） （4）师：（1）（2）两题都可以转化为求一个实数的 奇次方根， （3）（4）两题都可以转化为求一 个实数的偶次方根， 预设学生可能产生的问题： 偶次方根漏根或误以为负数解：（1）x38 也有偶次方根． x=2 ∴原方程的根是x=2． 5(2)x32 x532 x2 ∴原方程的根是x=-2．

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axnb0(a0,b0,n是正整数） 从特殊到一般,利用归纳的方法提炼出二项方程的概念． 如果出现这样的情况，教师要利用引导性的提问强调任何实数的奇次方根只有一个，正数有两个偶次方根，它们互为相反数；负数没有实数范围内的偶次 19(3)x422x49x49原方程的根是x49(4)x61原方程没有实数根. 【适时小结】 解一元n次（n>2）二项方程，可转化为求一个已知数的n次方根。如果在实数范围内这个数的n次方根存在，那么可利用开方法求出这个方程的根或近似值． 2、二项方程的一般解法 axnb0axnbbxnab(相当于求的n次方根.)a 当n为奇数时 方程有且只有一个实数根． 如果ab<0，那么方程 有两个实数根，且这两 个根互为相反数． 当n为偶数时 如果ab>0，那么方程没有实数根． 3、巩固练习：书P31/2 4、例2、解下列方程 3(x1)640 （1）(1)解法一：（直接法）x164x-1=4 x=5 ∴原方程的根是x=5 3 在教师的引导下归纳：二项方程的一般解法 （学生口述，教师补充、记录） 预设回答：“将x-1看作整体来解” 方根． 第（1）题是变形后的二项方程，实际上已经转化为求一个实数的n次方根的运算，此题强调两种解法，直接接法和换元法，感受整体代入的数学 3

令x-1y y364 y4 x-14 x5 原方程的根是x5 4 （2）2(13x)100 （2）解： (13x)45 3x-145, 3x-145 445151 x1,x233 原方程的根是 445151 x1,x233 15 （3）(x1)50 2 1 （3）解 ：(x1)5-52 1 x1552 1 x5512 x2552 原方程的根是 x2552 5、巩固练习：书P31/3 、 、 三、课堂小结 今天这节课你学到了哪些知识？有哪些收获？ 预设学生回答： 1、 1、二项方程的概念 如果一元n次方程的一边只 有含未知数的一项和非零的 常数项，另一边是零，那么 这样的方程就叫做二项方 程． 2、 2、解二项方程的一般步骤

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解法二（换元法）思想． 用直接法解时实际上是将括号内的代数式看作一个整体未知数，按照解二项方程的一般步骤进行的；用换元法解的时候教师可强调最后勿忘“还原”求出方程原本的未知数的值才是方程真正的根． 第（3）题的结果是否用计算器来求近似值可以视课堂上时间的宽裕度和具体学情而定：时间充裕则可以使用计算器教学，反之则不然；如果没有条件使用同一型号的计算器，则可以采取由教师演示或小组互助合作学习的形式． 学生自主归纳，教师总结． 教师补充：分类讨论、化归等数学思想 、 四、作业布置 练习册：习题21.2 axnb0axnbbxna 渗透分类讨论的数b学思想． (相当于求的n次方根.) a当n为奇数时 方程有且只有一个实数根． 当n为偶数时  如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数．  如果ab>0，那么方程没有实数根． 5