概率统计-习题及答案 (7)

习题七

7.1 某车间加工的钢轴直径  服从正态分布N(,)，根据长期积累的资料，已知其中 0.012（cm）。按照设计要求，钢轴直径的均值应该是 0.150（cm） 。现从一批钢轴中抽查75件，测得它们直径的样本均值为 0.154（cm），问：这批钢轴的直径是否符合设计要求？（显著水平0.05）

7.2 从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：）如下：

3.25 ，3.27 ，3.24 ，3.26 ，3.24 。

设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25 ？（显著水平0.05）

7.3 某厂生产的一种保险丝，其熔化时间（单位：ms）～N(,)，在正常情况下，标准差20。现从某天生产的保险丝中抽取25个样品，测量熔化时间，计算得到样本均值为X62.24，修正样本方差为 S*404.77，问：这批保险丝熔化时间的标准差，与正常情况相比，是否有显著的差异？（显著水平0.05）

7.4 从切割机切割所得的金属棒中，随机抽取15根，测得长度（单位：cm）为：

10.5 ，10.6 ，10.1 ，10.4 ，10.5 ，10.3 ，10.3 ，10.2 ，

10.9 ，10.6 ，10.8 ，10.5 ，10.7 ，10.2 ，10.7 。 设金属棒长度 ～N(,) 。问：

（1）是否可以认为金属棒长度的平均值 10.5 ？（显著水平0.05）

（2）是否可以认为金属棒长度的标准差 0.15 ？（显著水平0.05）

7.5 为了比较甲、乙两种安眠药的疗效，任选20名患者分成两组，其中10人服用甲种安眠药后，延长睡眠的时数为：

1.9 ，0.8 ，1.1 ，0.1 ，-0.1 ，4.4 ，5.5 ，1.6 ，4.6 ，3.4 ；

另外10人服用乙种安眠药后，延长睡眠的时数为：

0.7 ，-1.6 ，-0.2 ，-1.2 ，-0.1 ，3.4 ，3.7 ，0.8 ，0.0 ，2.0 。

设两组样本都来自正态总体，而且总体方差相等。问：甲、乙两种安眠药的疗效是否有显著差异？（显著水平0.05）

7.6 为了确定在不同的操作方法下，炼钢的得率（可用钢材量与投入炉中金属量之比，单位：）是否有显著的差异，在同一平炉上，用原方法炼10炉钢，得到得率如下：

78.1 ，72.4 ，76.2 ，74.3 ，77.4 ，78.4 ，76.0 ，75.5 ，76.7 ，77.3 ； 用新方法炼12炉钢，得到得率如下：

79.1 ，81.0 ，77.3 ，79.1 ，80.0 ，78.2 ，79.1 ，79.1 ，77.3 ，80.2 ，82.1 ，80.1 。

2222 １９０

设这两个样本相互独立，都来自正态总体。问：

（1）是否可以认为两种方法下炼钢得率的方差相等？（显著水平0.05） （2）是否可以认为两种方法下炼钢得率的均值相等？（显著水平0.05）

7.7 按两种不同的配方生产橡胶，测得橡胶伸长率（单位：）如下： 配方一 540，533，525，520，544，531，536，529，534 配方二 565，577，580，575，556，542，560，532，570，561 如果橡胶的伸长率服从正态分布，两种配方生产的橡胶伸长率的标准差是否有显著差异？（显著水平0.05）

7.8 设锰的熔化点（单位：C）服从正态分布。进行5次试验，测得锰的熔化点如下：

1269 ，1271 ，1256 ，1265 ，1254 。

是否可以认为锰的熔化点显著高于1250C ？（显著水平0.05）

7.9 某种导线的电阻（单位：）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005 。今在一批导线中任取9根，测得样本标准差 S0.007 ，这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，是否显著地偏大？（显著水平0.05）

7.10 某厂从用旧工艺和新工艺生产的灯泡中，各取10只进行寿命试验，测得旧工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2460小时，样本标准差为56小时；新工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2550小时，样本标准差为48小时。设新、旧工艺生产的灯泡寿命都服从正态分布，而且方差相等。问：能否认为采用新工艺后，灯泡的平均寿命有显著的提高？（显著水平0.05）

7.11 甲、乙两台车床生产的滚珠的直径（单位：mm）都服从正态分布，现从两台车床生产的滚珠中分别抽取8个和9个，测得直径如下： 甲车床生产的滚珠 15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8 乙车床生产的滚珠 15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8 问：乙车床产品的方差是否显著地小于甲车床产品的方差？（显著水平0.05）

7.12 某炼铁厂炼出的铁水含碳量（单位：）服从正态分布N(,)，根据长期积累的资料，已知其中 0.108 。现测量5炉铁水，测得含碳量为：

4.28 ，4.40 ，4.42 ，4.35 ，4.37 。

求总体均值  的水平为 95% 的置信区间。

37.13 对铝的比重（单位：g/cm）进行16次测量，测得样本均值X2.705,样本标准差

2S0.029 。设样本来自正态总体 ～N(,2) ，求：

（1）总体均值  的水平为 95% 的置信区间 ； （2）总体标准差  的水平为 95% 的置信区间。

7.14 某种炮弹的炮口速度服从正态分布N(,)，随机地取9发炮弹作试验，测得炮口

１９１

2

速度的修正样本标准差 S*11（m/s），求  和  的水平为 95% 的置信区间。

22 都未知，7.15 设总体 ～N(1,1)，其中 1，但已知12，～N(2,2)，

（X1,X2,,Xm） ，（Y1,Y2,,Yn）分别是 ， 的样本，两个样本相互独立，请根据6.7节的定理6.8 ，推导出一个在本题条件下，求 12 的水平为 1的置信区间的公式。

7.16 设用原料 A 和原料 B 生产的两种电子管的使用寿命（单位：小时）分别为 ～

2) ，其中 1，2 都未知，但已知12。现对这两种N(1,12) 和 ～N(2,222电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下：

原料A 1460，1550，1640，1600，1620，1660，1740，1820 原料B 1580，1640，1750，1640，1700 求 12 的水平为 0.95 的置信区间。

7.17 甲、乙两人相互独立地对一种聚合物的含氯量用相同的方法各作10次测定，测定值

22的样本方差分别为 Sx0.5419 和 Sy0.6050，设测定值服从正态分布，求他们测定

值的方差之比的水平为 95% 的置信区间。

7.18 为研究色盲与性别的关系，对1000人作统计，得到结果如下：

男 女 色盲 38 6 正常 442 514 问：色盲是否与性别有关？（显著水平0.05）

7.19 为研究青少年犯罪与家庭状况的关系，对1154名青少年进行调查，得到统计结果如下：

无犯罪记录 有犯罪记录 完整家庭 973 88 残缺家庭 70 23 问：青少年犯罪是否与家庭状况有关？（显著水平0.05）

7.20 为研究儿童智力发展与营养的关系，抽查了950名小学生，得到统计数据如下：

智商 ＜80 80～89 90～99 ≥100 营养良好 245 228 177 219 营养不良 31 27 13 10 问：儿童的智力发展是否与营养状况有关？（显著水平0.05）习题七

１９２

7.1 问题相当于要检验H0：0.150 。n75，X0.154，已知 0.012。

UX00n0.1540.150752.8868 。

0.0122对 0.05，查N(0,1)分布表可得 u1u0.9751.9600 。 因为U2.88681.9600 ，拒绝 H0：0.150。

7.2 问题相当于要检验H0：3.25 。n5，X3.252，S*0.013038 。

TX0S*n3.2523.2550.3430 。

0.0130382 对0.05，查t分布表可得 t1(n1)t0.975(4)2.7764 。 因为 T0.34302.7764 ，接受 H0：3.25 。

7.3 问题相当于要检验 H0：20 。 n25，S*404.77，S22n12S*388.58 ， n22nS22025388.5824.286 。

202 对0.05，查分布表可得

2222(n1)0.025(24)12.401, 1(n1)0.975(24)39.364， 22 因为12.40124.28639.364 ， 接受 H0：20 。

7.4 n15，X10.4867，S*0.235635 ，S0.0518222。 （1）问题相当于要检验 H0：10.5。

22TX0S*n10.286710.5150.219 。

0.2356352 对0.05，查t分布表可得 t1(n1)t0.975(14)2.1448 。

１９３

因为T0.21922.1448 ，接受 H0：10.5 ； （2）问题相当于要检验 H0：0.15 。

22nS220150.051822234.548 。 20.15 对0.05，查分布表可得

2222, (n1)0(14)5.629(n1).02510.975(14)26.119， 22

因为34.54826.119 ，拒绝 H0：0.15 。

7.5 设两组患者延长睡眠时数分别为总体 ～N(1,1) 和 ～N(2,2)，其中

22212。问题相当于要检验 H0：12。

2m10，X2.33，Sx23.6801，n10，Y0.75，Sy2.8805，

22mSxnSySwmn2103.6801102.88051.8986 ，

10102TSwXY11mn2.330.751.89861110101.8608 。

对0.05，查t分布表可得 t1(mn2)t0.975(18)2.1009 。

2 因为 T1.86082.1009 ，接受 H0：12 。

7.6 设两种方法下炼钢的得率分别为总体 ～N(1,1) 和 ～N(2,2)。

22m10，X76.2300，Sx22.99210，Sx*23.32456；

2n12，Y79.3833，Sy1.82972，Sy*21.99606 。

（1）问题相当于要检验 H0：12 。

22Sx*23.32456F1.666 。 21.99606Sy* １９４

对0.05，查F分布表，可得

F1(m1,n1)F0.975(9,11)3.59 ，

2F(m1,n1)2F121110.256 ，

(n1,m1)F0.975(11,9)3.9122因为 0.256F1.6663.59 ，接受 H0：12 。 （2） 问题相当于要检验 H0：12。

22mSxnSySwmn2102.99210121.829721.61055 ，

10122TSwXY11mn76.230079.38331.610551110124.5727 。

对0.05，查t分布表可得 t1(mn2)t0.975(20)2.0860 。

2因为 T4.57272.0860 ，拒绝 H0：12 。

7.7 设两种配方生产的橡胶伸长率分别为总体 ～N(1,1) 和 ～N(2,2)。 问题相当于要检验 H0：12 。

22m9， Sx*253.7778；n10， Sy*2236.844 。

Sx*253.7778F0.227 。 2236.844Sy*对0.05，查F分布表，可得

F1(m1,n1)F0.975(8,9)4.10 ，

2F(m1,n1)2F121110.229 ，

(n1,m1)F0.975(9,8)4.36 因为 F0.2270.229 ，拒绝 H0：12 。

7.8 设锰的熔化点～N(,)，问题相当于要检验H0：1250（H1：1250 ）。

2n5，X1263，S*7.64853 ，T

１９５

X0S*n126312507.6485353.8006。

对0.05，查 t 分布表，可得 t1(n1)t0.95(4)2.1318 。

因为 T3.80062.1318 ，拒绝 H0：1250 ，接受 H1：1250 。 可认为锰的熔化点显著高于1250C。

7.9 设导线电阻～N(,)，问题相当于要检验H0：0.005（H1：0.005 ）。

22nS22090.007217.64 。 20.005222 对0.05，查  分布表，可得1(n1)0.95(8)15.507。

因为17.6415.507 ，拒绝 H0：0.005 ，接受H1：0.005 。这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，显著地偏大。

7.10 设新、旧工艺生产的灯泡寿命分别为总体 ～N(1,1) 和 ～N(2,2)，其中12。问题相当于要检验 H0：12（H1：12）。

222m10，X2460，Sx56，n10，Y2550，Sy48，

Sw22mSxnSy105621048254.9747 ，

mn210102TSwXY11mn2460255054.97471110103.6607 。

对0.05，查t分布表可得 t1(mn2)t0.95(18)2.1009 。

因为T3.66072.1009 ，拒绝 H0：12 ，接受H1：12 。可以认为采用新工艺后，灯泡的平均寿命有显著的提高。

7.11 设甲乙两台车床生产的滚珠的直径分别为 ～N(1,1) 和 ～N(2,2)。

22 问题相当于要检验 H0：12（H1：12 ） 。

2222m8， Sx*20.0955357；n9， Sy*20.0261111 。

Sx*20.0955357F3.66 。

0.0261111Sy*2

１９６

对0.05，查F分布表，可得F1(m1,n1)F0.95(7,8)3.50。

22因为F3.663.50 ，拒绝 H0：12 ，接受H1：12 。可认为乙车床产

22品的方差显著地小于甲车床产品的方差。

7.12 n5，X4.364。

对10.95，查N(0,1)分布表可得 u1u0.9751.9600 。

2u102n1.96000.10850.095 ，

Xu102n4.3640.0954.27 ，

Xu102n4.3640.0954.46 。

的水平为 95% 的置信区间为[4.27,4.46] 。

7.13 （1）n16，X2.705，S0.029，S*nS0.029951。 n1对10.95，查 t 分布表可得 t1(n1)t0.975(15)2.1314。

2t1S*2n2.1314S*20.029951160.016 ，

Xt1nS*2.7050.0162.689 ，

Xt12n2.7050.0162.721 。

的水平为 95% 的置信区间为[2.689,2.721] 。

（2）nS160.0290.013456 。

对10.95，查 分布表，可得

2222(n1)0(15)6.262(n1) ，.02510.975(15)27.488 。 22222 １９７

nS21220.013456nS20.0134560.0004895 ， 20.0021488 。

27.4886.26220.00048950.0221 ，0.00214880.0464 。

 的水平为 95% 的置信区间为[0.0221,0.0464] 。

7.14 n9，nS(n1)S*(91)11968。

对10.95，查 分布表，可得

2222(n1)0.025(8)2.180 ，1(n1)0.975(8)17.535 。 222222nS2122968nS296855.2 ， 2444 。 17.5352.180255.27.43 ，44421.1 。

 的置信区间为 [55.2,444] ； 的置信区间为 [7.43,21.1] 。

7.15 由6.7节的定理6.8可知

2(XY)(12)21m22～N(0,1)。

n2对于给定的显著水平，查N(0,1)分布表，可以求出临界值 u1 ，使得

(XY)()12Pu1，

22122mn即使得

(XY)()12Pu11，

22122mn即有

22122122PXYu112XYu11。

22mnmn令

１９８

XYu1122m22n，XYu1122m22n ，

则有P121，按照定义，[,] 就是12 的水平为 1的置信区间。

227.16 m8，X1636.25，Sx10648.4，n5，Y1662，Sy3376。

Sw22mSxnSymn2810648.45337696.3267 。

8522 对0.05，查 t 分布表，可得 t1(mn2)t0.975(11)2.2010。

t1(mn2)Sw211112.201096.3267120.87， mn85111636.251662120.87146.62， mn111636.251662120.8795.12。 mnXYt1Sw2XYt1Sw212的水平为 95% 的置信区间为[146.62,95.12] 。

227.17 m10，Sx0.5419，Sx*m2Sx0.602111 ； m1n22Sy0.672222 。 n10，Sy0.6050，Sy*2n10.6021110.8957。 Sx*2Sy*20.672222对0.05，查F分布表，可得

F1(m1,n1)F0.975(9,9)4.03 ，

2F(m1,n1)2F121110.248 。

(n1,m1)F0.975(9,9)4.03Sx*2Sy*22F1Sx*2Sy*20.89570.89570.222，3.61 。

4.030.248F22122 的水平为 95% 的置信区间为 [0.222,3.61] 。

１９９

7.18 设  为患色盲的状况， 为性别，问题相当于要检验 H0： 与  独立。 首先，求出联立表中各行、各列的总和：

B1男 38 442 480 B2女 6 514 520 总和 44 956 1000 A1色盲 A2正常 总和 n(2rsni1j1niji•2n•j1)

38262442251421000(1)27.139 。

4448044520956480956520对显著水平0.05，自由度(r1)(s1)1，查  分布表，可得临界值

212((r1)(s1))0.95(1)3.841 。

2 由于27.1393.841 ，拒绝 H0： 与  独立 ，即可认为色盲与性别有关。

7.19 设  为家庭状况， 为有无犯罪记录，问题相当于要检验 H0： 与  独立。 首先，求出联立表中各行、各列的总和： 无犯罪记录 有犯罪记录 完整家庭 973 88 残缺家庭 70 23 总和 1043 111 总和 1061 93 1154 22n(i1j1rsnij2ni•n•j1)

97328827022321154(1)26.48

10611043106111193104393111对显著水平0.05，自由度(r1)(s1)1，查  分布表，可得临界值

212((r1)(s1))0.95(1)3.841 。

2 由于26.483.841 ，拒绝 H0： 与  独立 ，即可认为犯罪与家庭状况有关。

7.20 设  为营养状况， 为智商情况，问题相当于要检验 H0： 与  独立。

2 ２００

首先，求出联立表中各行、各列的总和：

智商 ＜80 80～89 90～99 245 228 177 营养良好 31 27 13 营养不良 276 255 190 总和 ≥100 219 10 229 总和 869 81 950 2n(i1j1rsnij2ni•n•j1)

2452228217722192312272950(

86927686925586919086922981276812551321021)9.69

8119081229对显著水平0.05，自由度(r1)(s1)3，查  分布表，可得临界值

212((r1)(s1))0.95(3)7.815 。

2 由于9.697.815 ，拒绝 H0： 与  独立 ，即可认为智力发展与营养状况有关。

2 ２０１