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五、解析几何
（重庆理）8.在圆x
2
y —2x —6y =0内，过点E （0, 1）的最长弦和最短弦分别是 AC和BD,则四边形ABCD
2 2
A. 5.2
G:冷爲=1（a> b>0）与双曲线 B. 10..2
a b
C. 15、2
D. 20、2
2
（浙江理）G&已知椭圆 二1有公共的焦点，的一条渐近线与以 C1
G:x2 丄
C. b2
4
的长轴为直径的圆相交于 A, B两点，若C1恰好将线段
AB三等分，
B. a2 =13
D. b2 =2
的面积为B
（四川理）10.在抛物线y=x2 =ax-5（aH0）上取横坐标为 为=-4 ,
x
2
=2的两点，过这两点引一条割线，有
平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 5y^36相切，则抛物线顶点的坐标为
A. (-2,-9)B. (0, -5)C. (2, -9)D. (1,-6)
(-4,11 -4a),(2,2 a -1),K =2-a ,设直线 方程为 y =(a-2)x b ,贝b2
U
36
5 一 1 (2 - a)2
10 .解析：由已知的割线的坐标
仁：I—9）
（陕西理）2 .设抛物线的顶点在原点，准线方程为
X=-2，则抛物线的方程是
B
2 c 2
2 ’
B. y =8x
C. y 4x D. y 二4x
x22 （山东理）& 已知双曲线 2 2
> y 1(b> 0）的两条渐近线均和圆
a0, C:x y -6x ^0相切，且双曲线的
a b
右焦点为圆 C的圆心,则该双曲线的方程为 2 A.
匚=1 x 2 2
y ’ C.
=1 D.—
5 4 B.6
（全国新课标理）（7）已知直线I4 过双曲线5 C1
的一个焦点,
且与 C的对称轴垂直, I与C交于A, B两点，|AB |为(A) 2 (B) .3 (C) 2
(D)
（全国大纲
10 .已知抛物线C:
y2 =4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A , B两点.贝U cos^AFB=D
C的实轴长的2倍，C的离心率为B
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4
A. B. C.
3 5
5
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（江西理）9 •若曲线
C1 :
-2x = 0与曲线C2 : y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数
m的取值
范围是B
2
B.(-
C-13，申
J )U(t , X)
2
2
3 3
（湖南 理）
x
5 •设双曲线 ~~2
a
=1 a 0的渐近线方程为
C. 2
3x _2y = 0，贝U a的值为C
D. 1
n,则C
A. 4 B. 3
（湖北4 .将两个顶点在抛物线 y2 =2px（p ■ 0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 理） . n=0 A B. n=1 C. n=2 D. n 亠3 （福建理）7.设圆锥曲线r的两个焦点分别为
r的离心率等于A
Fi, F2,若曲线r上存在点P满足PF1
: F1F2 : PF2 =4:3:2，则曲线
1十3 A. 或
2 2
厂2 B. 或 2
3
1
C. 一或 2
2 2十3 D. -或一
3 2
（北京理）&设A 0,0 ,B 4,0 , C t 4,4 ,D t,4 t R •记Nt为平行四边形 ABCD内部（不含边界）
的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 A.〈9,10,11 C. {9,11,12}
（安徽理）（2）双曲线2x2 -y2 =8的实轴长是C
B. ^9,10,12? D. {10,11,12}
N t的值域为C
（A） 2
（B） 2 一2
（C） 4
（D） 4 . 2
（湖北理）14.如图，直角坐标系 xOy所在的平面为-：：,直角坐标系xOy'（其中y'轴一与y 轴重合）所在的平面为 、，丄xOx' =45 。
（I）已知平面［内有一点P'（2&, 2），则点P'在平面〉内的射影P的
坐标为（2, 2）;
（n）已知平面 ：内的曲线C'的方程是（x'-、、2）2 • 2y'2-2 =0，则曲线C'在平面〉内的射影C的方程是 （x T）2 y2
=1。
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x2
（浙江理）17.设F1,F2分别为椭圆
3
y2 =1的左、右焦点，点 A,B在椭圆上，若F^-5F2B ;则点A的坐标是
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56 5
解析:
2
(0, -1) __-
2 2
（上海理）3.设m为常数，若点F（0,5）是双曲线 —-- 1的一个焦点，则 16
x y
2 2
x +y
2
（江西理）14.若椭圆— 牙=1的焦点在x轴上，过点（1,
1
a b
-)作圆
2
=1的切线，切点分别为 A,B,直线
AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
（北京理）14.曲线C是平面内与两个定点
F1 （-1 , 0）和F?2 （1, 0） 的距离的积等于常数
a2 （a 1）的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称;
1 2
③
若点P在曲线C上，则△ F1PF2的面积大于一 a。
2
其中, 所有正确结论的序号是。②③
2 2
14•双曲线x
64 L = 136
上一点P到双曲线右焦点的距离是
（四川
4,那么点P到左准线的距离是.
2
2
14 •答案:
——x
爲=1（a 0,b 0） 上, C的焦距为4，则它的离心率为
a
2+ b2 14
c 5
a =8,b =6,c =10 ,点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为14,所以14
二上=三=
d a 4
2
（全国大纲理）15 •已知Fi、F2分别为双曲线
-
27=1的左、右焦点，点A《C,点M的坐标为（
2, 0),
AM为/ F1AF2/的平分线•则|AF2| =6 • （辽宁理）（13）已知点（2, 3）在双曲线 C:
2.
m 9
（重庆理）15•设圆C位于抛物线y2 =2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆
C的半径能取到的
最大值为
（全国新课标理）
（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为丄2 •过
2
2 2
点F1的直线I交C于A, B两点，且 MBF2的周长为16,那么C的方程为 ____________ —= 1 __________________
16 8
（辽宁理）（3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A, B是该抛物线上的两点， AF + BF =3，则线段AB的中点到y
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(A)
轴的距离为C
(B) 1
(D)
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2
（安徽理）（15）在平面直角坐标系中，如果 X与y都是整数，就称点（x, y）为整点，
下列命题中正确的是 _______________ （写出所有正确命题的编号） .①，③，⑤ ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ② 如果k与b都是无理数，则直线 y二kx • b不经过任何整点 ③ 直线I经过无穷多个整点，当且仅当
I经过两个不同的整点
k与b都是有理数
④ 直线y二kx • b经过无穷多个整点的充分必要条件是： ⑤ 存在恰经过一个整点的直线
2 2
（江苏）18•如图，在平面直角坐标系 xOy中，M、N分别是椭圆 —「=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆
4 2
于P、A两点，其中P在第一象限，过 P作x轴的垂线，垂足为 C,连接AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA的斜率为k （1） （2） （3）
当直线PA平分线段MN，求k的值； 当k=2时，求点P到直线AB的距离d; 对任意k>0，求证：PA丄PB
18 •本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查 运算求解能力
和推理论证能力，满分
16分.
设知，a =2,b hf2,故M （_2,0）,N（0,-.、2）,所以线段MN中点的坐标为（-1,-——），由于
72 解：（1）由题_2
的中点，又直线 PA过坐标原点，所以 k = ———
直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN
-1
（2）直线PA的方程y二2X代入椭圆方程得
2
解得 x
2 4 2 4
2
二AC
_2
3 2
于是c3,0
（
）
,因此 P(,-), A^-^-).
3 3 3 3
，直线
的斜率为
2 0+彳
_3 1,故直线AB的方程为x-y— = 0. 2 ? 2 3 3 3
因此,d£
7 11 12
2
（3）解法一:
2
x
将直线PA的方程y =kx代入
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则 P(二 Jk), A(」,」k),于是 C( J,0)
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2
解得X—
；2记
2 2k2
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故直线AB的斜率为
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其方程为y=k(x-7,代入椭圆方程得(2 • k2)x2 -2」k2x-J(3k2 2^0,
2
解得x*或x
二，因此B(
卩(3k2+2) Pk3)
2k
2
'2 k'
2
2)
于是直线PB的斜率k1
J
2 k2
」k3
k
2 ~'、
k -k(2 k2)
3 2
(3k2 2) 一 3k2 2 — (2 k2)
2 k2
因此 kik 二-1,所以 PA _ PB. 解法二：
设 P(x1, y1), B(x2, y2),则x-i
0,x2 0,x^-= x2, A^x1 ^y1), C(x1,0).
设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2因为C在直线AB上，所以k2二
0
-
(y
1
)
x〔 — (—x〔) 2x〔 2
兀-(沖)■ 1
k1k 1 =2k1k2
1 =2 上
x2
y
x
2
-(-x1 )
_2y| -2y12
—(x； 2y|)
2 2 x2 -x1
4 一
2=0. 2 4 x2
从而
因此k* - -1,所以PA _ PB. (安徽理)
(1,1)，点B在抛物线y=x»上运动，点Q满足BQ=kQA，经过Q点与M x
轴垂直的直线交抛物线于点 M，点P满足QM = ■ MP，求点P的轨迹方程。
第【II)賢图
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(21)(本小题满分13分)本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本
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•
知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养
解：由QM二■ MP知Q, M，P三点在同一条垂直于 x轴的直线上，故可设
P(x,y),Q(x, yo), M (x,x2),则x2 - y° -，(y - x2),则y° ，)x2 - y ①
再设 B(xi,yi),由 BQ =，Q A,即(x —'Xi.yo —■ yi) =，(1 —■ x,1 —■ yo),
X =（1中丸）x —九, yi = （1 + 九）y° —丸.
将①式代入②式，消去yo，得
% = （1 + 人）x - 紅
y1 = （1 + 入）2 x2 - 丸（1 + 丸）y — 扎
2
又点B在抛物线y = x上，所以
2 2
22（1 ：： ；，） x - ■ （1 ：： ；，） y - ■ - （（1 ：： ；，）2x - ■ ）,
2 2 2 2 2 （1 ） x -（1 ）y J；. =（1 ） x -2 , （1 ■ ）x •, 2 , （1 Jx -，（i ）y -，（1 ，） =0. 因■ 0,两边同除以（V ）,得2x-y-1=0.
y1二治，再将③式代入y1 = X1，得
故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.
(北京理)19.(本小题共14分)
x
已知椭圆G :
2
2
4
y =1 .过点(m,0)作圆x2 y2 =1的切线I交椭圆G于A, B两点.
(I) 求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(II) 将|AB表示为m的函数，并求 AB的最大值. (19)(共 14 分)
解：(I)由已知得a =2,b =1, 所以 c f：a2 -b2 - 6
所以椭圆G的焦点坐标为(-、.3,0),(..3,0) 离心率为e = C = —3.
a 2
（n）由题意知，|m|_1 .
当m =1时，切线 l的方程X =1，点A、B的坐标分别为
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此时 | AB | 3
当m=— 1时，同理可得| AB |二.、3
当|m|.1时，设切线I的方程为y二k（x「m）,
y k(x -m),
（x「yJM，y2），则
设A、 B两点的坐标分别为 由 Qx2
得(1+4k2)x2 _8k2mx + 4k2m2 -4 = 0
4k m 「4
2 2
x
8k2m
1 2
2 一[ 4k \"2 - i . 4疋
x
x
又由 I 与圆 x +y =1 相切，得
2
2
1 km 1 一 =1,即m2k2 = k2 +1.
64k4m -
(1 k
4(4k m -4)
1 4k
~2~
2 2
)[ (1 4k )
3
2~2\"
所以 | AB |=(X2 -X1)2 (y2 - yj2
4.3 | m | m2
由于当 m 时，| AB |= . 3,
|AB|= 4.3 | m |
因为
m2 3
|m|
-2,
|m|
所以|ABF^Fm 」_1]
(
[1, :>
且当m二_ ,3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2. （福建理）17.（本小题满分13分）
已知直线I: y=x+m, m € R。
（I） 若以点M （ 2,0）为圆心的圆与直线I相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的方程； （II） 若直线l关于x轴对称的直线为「，问直线「与抛物线C: x2=4y是否相切？说明理由。
17•本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化 归
与转化思想、分类与整合思想。满分 解法一：
13分。
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（I）依题意，点P的坐标为（0, m）
因为MP _1，所以匕卫1 = -1,
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2 —0
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解得m=2，即点P的坐标为（0, 2） 从而圆的半径
r =|MP|-（2一0）2 （0一2）2 =2 2,
故所求圆的方程为（x-2）2 ■ y2 =8. （II）因为直线I的方程为y = x m, 所以直线I'的方程为y - -x -m.
y' - -x -m.
2
由 2
得x =4y
x 4x 4m = 0
.■: =42 -4 4m = 16（1 -m）
（1 ）当m =1,即厶-0时，直线I'与抛物线C相切 （2）当m=1,那厶=0时，直线I'与抛物线C不相切。 综上，当m=1时，直线I'与抛物线C相切； 当m=1时，直线I'与抛物线C不相切。 解法二：
（I） 设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为（x-2）2 • y「二r2. 依题意，所求圆与直线I :x - y • m = 0相切于点P（0，m），
4 m2 二r2,
则 <|2—0+m| _
「m =2, 解得
r =2 .2.
所以所求圆的方程为（x -2）2 • y2 =8. （II） 同解法一。
（广东理）19.（本小题满分14分）
设圆C与两圆（x •、.5）2 • y2 =4,（x - .5）2 y^4中的一个内切，另一个外切。 （1 ）求C的圆心轨迹L的方程；
3^5 4 l
（2）已知点M（——,——）,F（J5,0），且P为L上动点，求|MP - FP|的最大值及此时点5 5
19 .（本小题满分14分）
（1）解：设C的圆心的坐标为（x, y），由题设条件知
P的坐标.
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| .(X 5)2 y2 一 ,(x— 5)2
化简得L的方程为
y2 1 = 4,
2
y2 =1.
4
（2）解：过M , F的直线|方程为y =「2（x -、、5），将其代入L的方程得
15x2 -32、、5X 84 =0.
鉀/曰 解得Xi
675
, X2 5
14応如—亠片％ 丁 6^5 2苗、丁 lW5 2,故l与L父点为Ti （ , 15 5
品、
）,T2（ , ）.
5 15 15
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故| M「| - | F% | =| MF |=2,
| MT2 I —I FT2 | <|MF |=2.，若P不在直线MF上，在也MFP中有 |MP|—|FP| <|MF | = 2.
故| MP | -1 FP |只在T1点取得最大值2。 （湖北理）20.（本小题满分14分）
平面内与两定点 A1（-a,0） , A2（a,0） （a 0）连续的斜率之积等于非零常数 点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.
m的点的轨迹，加上A、A两
（I）求曲线C的方程，并讨论 C的形状与m值得关系；
（n）当m - -1时，对应的曲线为 C1 ；对给定的m・（-1,0）U（0「：），对应的曲线为 C2，设F1、F2是C2的 两
个焦点。试问：在C1撒谎个，是否存在点 N，使得△ F1 N F2的面积S =|m|a2。若存在，求tan F1 N F2 的值；若不存在，请说明理由。
20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的 思想。（满分
14分）
解：（I）设动点为M，其坐标为（x, y）,
2
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当x = -a时，由条件可得kMA1 kMA2
-
-
欢迎下载 m,
x—a x 十a x -a
即 mx? -y2 二 ma2(x =二a),
又 A1( -a,0), A2(A,0)的坐标满足 mx2 -y2 二 ma2, 故依题意，曲线 C的方程为mx2—y2 =ma2.
2 2
当m ：：： _1时，曲线C的方程为 笃• —=1,C是焦点在y轴上的椭圆;
a -ma
当m=-1时，曲线C的方程为x2 y^ a2，C是圆心在原点的圆；
2 2
当-1 ： m :: 0时，曲线C的方程为 牛•丄，C是焦点在x轴上的椭圆;
a
2 2
—ma
当m -0时，曲线C的方程为 笃--^=1,c是焦点在x轴上的双曲线。
a ma
(II )由(I)知，当m=-1时，G的方程为x2 • y2 =a2; 当 m- (-1,0)|J(0,=)时,
C2的两个焦点分别为 F, (-a・1 m,0), F2(a. 1 m,0). 对于给定的m・(_1,0)U(0, r)，
” . 2
C1上存在点N(x°, y°)(y0 =0)使得S=|m|a的充要条件是
2 2
x y° 二 a , y° = 0, 1 ‘2aJ +m | y |=| m|a2.
②
由①得0 £| y° |兰a,由②得| y° 1= I m I a 寸1 + m
当 0」m|a 乞 a,即 ^^，m：0,
J1 +m 2
1 + 45
或 0 ：：： m \" '时，
、
2
存在点N，使S=|m|a2； 立 | m | a 当
1-5
a,即-1 、1 m 或m 5 欢迎下载 2 时, 2 学习好资料 欢迎下载 不存在满足条件的点 N, 当m —1 1 2 —t , ------- —I 由 NF— ( -a 1 m - 冷 - y0), NF2 =(a :1 m -心-y°), 可得 NR NF2 x：「(1 m)a2 y：二-ma2, 令 | NR 彳,| NF? |二 a,. FW 二 J 2 ma 则由NF! ・NF2 =・r2 cos v - -ma ,可得中2二 cos) 1 从而 S 2 ma2 si nv r^sinv 2cos v 1 2 ma tan 2, 2 于是由S -| m | a2， 可得-^ma'tan『-| m | a,即tan)- - 2 2 | m | 2 . m 综上可得： 「1-苗) 当m ：• ： | - :2 丿 —,0时，在C1上，存在点N ,使得 S =|m|a2,且 tan FNF2 =2; 当m・0,1 5 时，在C1上，存在点N ,使得 I 2」 S =|m|a2,且 tan F1NF^-2; X 2 (湖南理)21.(本小题满分13 分) 7,椭圆 C1 : —' 导o Jh1 a 如图 =1(a b 0)的离心率为 2 ,X轴被曲线C2：y=x -b截得的线段长等于 G的长半轴长。 (I)求G, C的方程； (H)设C2与y轴的焦点为 M，过坐标原点 O的直线I与C，相交于点A,B,直线MA,MB分别与G相交与D,E. (i)证明：MD丄ME; 学习好资料 MDE 欢迎下载 S 17 (“)2 \"ABA 的面积分别是魯2 .问：是否存在直线「使得厂护青说明理 由。 学习好资料 欢迎下载 c ：‘3 一 (I)由题意知e a 2 ',从而a = 2b,又2 _b = a,解得a = 2, b = 1. 2 故G, C2的方程分别为— y2=1,y=x -1. 4 (n) (i)由题意知，直线I的斜率存在，设为 k，则直线I的方程为y=kx. y = kx 由」 y = x -1 2得 X2 - kx -1 = 0. 设A(X1, y1), B(X2,y2),则X1,X2是上述方程的两个实根，于是 x-i X2 二 k, XM2 - -1. 又点M的坐标为(0, — 1),所以 2 ,, k MA MB k % +1 y2+1 ' 化捲+1)(kx2+1) k X1X2 卄(为+x2)+1 X1 1 X2 %X2 ' X1 x2 1. -k2 k2 -1 故MA丄MB，即 MD丄ME. (ii)设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为y = \"y =k1X —1, —1，由」 2 解得 、=x -1 x =0 T」x=k, y=-1 或丿 2 畀=匕-1 则点A的坐标为(k^k； -1). 学习好资料 又直线MB的斜率为 欢迎下载 ki 1 i 同理可得点B的坐标为（…一，二-1）. ki ki2 1 | 1 ki2 1 一 K 2|如 'y =&x _1, x +4y -4 8k1 X -1 +4k； 解得| 4ki2 -1 1 4k1 - 2 2 2 (1 4k2)x2 得 X=0, 或 y =-1 24k, -1 则点D的坐标为（ 2). 1 4ki 1 +4k； 8ki21 又直线ME的斜率为 ，同理可得点 2 -8k1 E的坐标为（ 4一人 k 4 k； ' 4 k； 32(1 ki2) |ki | (1 ki2)(ki2 4) ). 1 于是S2 —IMDI 听| = 4 J\" 因此 4 17 1 2 2 由题意知， 一（4k； •飞 17）二一,解得k； =4,或k；二— 64 32 4 ki 又由点A、B的坐标可知, 2 1 2 1 ki2 =ki ki ki 故满足条件的直线I存在，且有两条，其方程分别为 （辽宁理）（20）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆 C-的中心在原点 O,长轴左、右端点 C2的短轴为MN，且C-, C2的离心率都为e,直线I丄MN , C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 3 3 y = — x禾口y =——x. 2 2 A, B, C, D . 学习好资料 欢迎下载 爪 M , N在x轴上，椭圆 （I） 设e=—，求BC与AD的比值； 2 （II） 当e变化时，是否存在直线I,使得BO // AN，并 学习好资料. 20.解：（I）因为Ci, C2的离心率相同，故依题意可设 *2 2 2 欢迎下载 匕2 2 *2 G : —2 a b = 1，C2: 红■ ~ = 1,(a b 0) a a 设直线丨：x =t (|t|：：：a)，分别与C1, C2的方程联立，求得 A(t, ..a2 -t2), B(t, ，a2 -t2). b a a b .................. 4 分 当e =—时，b = a,分别用yA, yB表示A , B的纵坐标，可知 |BC|:|AD| 2必| b2 2| yA T a2 l不符合题意.t=0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 (II) t=0 时的 a t -a 解得t二ab2 b \"—a. a2 -b2 1 -e2 因为 111 ：：： a,又0 ：： e ::: 所以当0 3空时，不存在直线 1,所以 2 <1,解得上e：1. 2 2 l，使得 BO//AN 当丄2：：：e：；1时，存在直线I BO//AN. 使得 12 2 （全国大纲理）21 .（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效 ） 2 已知O为坐标原点，F为椭圆C : X2 - 1在y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为-、2的直线I与C交 2 于A、B两点，点P满足OA OB OP -0. （I）证明：点 P在C上； （n）设点P关于点O的对称点为Q,证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 学习好资料 21.解: (I) F (0, 1), l 的方程为 y=—, 2 欢迎下载 代入X2 1 2 1并化简得 4x2 -2.2x -1=0. ................... 2分 设 A(X1, yj, B(X2, y2), P(X3, y3), 2 - .6 4 X) x2 = -一, y1 ,X2 = y _ -冷一(为 x2) 2=1, 2 由题意得 X3 - -(X1 - X2) 2 ,y3 - -(y1 y2^ -1. 2 2 所以点P的坐标为（一，T）. 2 J2 经验证，点P的坐标为（一一兰，一1）满足方程 2 2 y 2 X 1,故点P在椭圆C上。 Qf) 1 (II )由 P(- ,-1）和题设知, 2 PQ的垂直平分线11的方程为 7一 1 设AB的中点为M，则M （ ,—），AB的垂直平分线为l2的方程为 4 2 由①、②得「J的交点为 N( 学习好资料 欢迎下载 |NP|二 W七2 3,11 |AB=.,1 (一印 |X2 -捲 8 |NA|=；j| AM |2 | MN |2 3 11 8 | AM 故 |NP|=|NA|。 又 |NP|=|NQ|, |NA|=|NB| , 所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ| , （全国新课标理）（20）（本小题满分12 分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知点A（ 0,-1）, B点在直线 y = -3上，M 点满足 MB //OA，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 ................ 12分 M点的轨迹为曲线C. （I） 求C的方程； （II） P为C上动点，|为C在点P处的切线，求 O点到|距离的最小值. (I )设 M(x , y），由已知得B（x, -3）, A(0, -1). uuu uuu um 所以 MA = ( -x, -1-y), MB =(0, -3-y), AB =(x, -2). uuu uur um 再由题意可知（ MA + MB ) ? AB =0, 即(-x, -4-2y) ? (x, -2)=0. 所以曲线C的方程式为丫=丄乂24 -2. 1（n）设 P（x）为曲线 1 2 - °, y°C： ' 所以l的斜率为 y= 4 x -2 上一点，因为 y =2 x, 2 因此直线l的方程为 1 2 y—y0 x0(^x0)，即 x)x-2y 2y°-x =0 . 则O点到l的距离d」•又 2y° —x°丨 Jx：+4 y^^x^ -2，所 1x2 4 d = 2 = 2(,x~~4 -^)_2, xo 4 (20)解: 当x：=0时取等号，所以 O 点到I距离的最小值为2. （山东理）22.（本小题满分14 分） MAJA^ = MBJBA， 学习好资料 欢迎下载 S OPQ 已知动直线 I与椭圆 C: 1交于P Xi,yi ］、Q X2,y2 ］两不同点，且 △ OPQ的面积 =-，其 中O为坐标原点• 2 2 2 2 (n)设线段 (I)证明Xi - X2和y y均为定值; (川)椭圆C上是否存在点 PQ的中点为M，求| OM | | PQ |的最大值; 在，请说明理由• (I)解：(1)当直线I的斜率不存在时，D,E,G,P, 使得Q两点关于 S-ODE x轴对称, 所以 x2 =冷，y2 _ -y1. 因为P(Xi,yJ在椭圆上, 又因为S OPQ 所以 | Xi | | yi | 6 .② ,| yi i . 2 由①、②得 此时 x； - x； =3,yi2 • y； =2, (2)当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y = kx • m, 2 2 由题意知m = 0，将其代入 — — i，得 3 2 (2 3k2)x2 6kmx 3(m2 -2) = 0 , 其中• ；. =36k2m2 -12(2 3k2)(m2 -2) 0, 即 3k2 2 m2 .................. ( *) △ DEG的形状；若不存 学习好资料 6km 2 3k 3(m -2) 2 3k 2 2 欢迎下载 又 x-i x2 = , X1X2 厂 学习好资料 所以 | PQ | = •. 1 k . (x-i x2) -4x1x2 = 1 k 2 2 2 欢迎下载 26 3k' f 一 m 因为点O到直线l的距离为d = _|m|_ 1k2, 2 +3k \" 所以SOPQ 1 —II PQ 2^6 3k2 2匚m2 2+3k2 |m|_ 1 k2 .6 |m | 3k2 2 +3k2 2 -m2 又 S.OPQ 整理得3k2 2 =2m2,且符合（*）式, 2 3(m -2) 2 2 6km )2 2 3k2 y；二（3-斤）（3-x；）=4-（x2 x；）=2. 3 3 3 此时 x； x| =(为• x2)2 -2xx2 =( 2 2 ) 2 3k yi • =3, 综上所述，x2 x| =3; y12 yf =2,结论成立。 （II）解法一： 刍 PQ|=2|yZ 由（I）知|OM |=|捲卜 （1）当直线l的斜率存在时， .6 因此 |0M | | PQ | = ---- X 2 （2）当直线l的斜率存在时，由（I）知 x1 x2 3k 2 2m 2m2 出血=k(^ % m—磴 mJ3，2 2 2 2m , 加=（宁）2（宁）一 |PQ | -(1 k ) 24(3k2 • 2 - m2) 2 2 1 2 2 (2 3k2)2 1 2 (3 m 2m 9k2 1 6 m2 「歩』）， 4m2 m2 4m2 2(2 m2 1) = 2(2 丄), 2 m m 2 3 所以 |0M |2 | PQ |2 2) 2 (2 1 2) m 学习好资料 欢迎下载 1 =（3-一2）（2 -r） m m 3一丄2丄 m m ）2 1 25 ~4 5 1 1 … 证明：假设存在 所以| OM | | PQ | ，当且仅当3 2 =2 2，即卩m=72时，等号成立 2 mm 5 综合（2 1） （ 2）得|OM| • |PQ|的最大值为—. 解法二： 2 2 2 2 2 2 因为 4 | OM | | PQ | = （Xi X2） ■ （yi y2） （x? - xj - （y^ yi） =2［（x2 x；） （y； y；）］ 4 | OM | 2 2 | PQ | 所以 2 |OM | | PQ |< 2 —5. = 10. 即| OM | | PQ匸5,当且仅当2 2 |OM |=| PQ戶 亦时等号成立。 5 因此|OM| • |PQ|的最大值为 一. 2 （III）椭圆C上不存在三点D, E, G,使得 S ODE = S ODG .6 D（U , v）, E （x1 , y1 ）, G（x2 , y2 ） 满足 S ODE - S ODG 由（I）得 u2 x2 =3,u2 x2 =3,x2 x2 =3;v2 yf =2,v2 £=2,Q 、；=2, 解得 u2 = x； = x2 = 3; v2 = y； = y； = 1. 2 因此u, x-i, x2只能从 5 中选取,v, y-i, y2只能从二1中选取, 72 6 因此D, E, G 只能在（ —，士1）这四点中选取三个不同点, 2 与S.O =SDE .OEG 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 所以椭圆C上不存在满足条件的三点 D, E, G. （陕西理）17.（本小题满分12分） 2 4 一 PD 5 学习好资料 欢迎下载 如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且 MD 学习好资料 ___________ 欢迎下载 (I)当P在圆上运动时，求点 M的轨迹C的方程； (n)求过点(3, 0)且斜率为4 的直线被C所截线段的长度 5 17.解：(I)设M的坐标为(x,y) P的坐标为(xp,yp) xp =x, 由已知得 5 yp =4 y， =25，即C的方程为—••• P在圆 y 125 16 4 (n)过点(3, 0)且斜率为一的直线方程为 y x-3 4 ,5 5 设直线与C的交点为A x1, y1 , B x2, y2 4 将直线方程y x -3代入C的方程，得 5 x2 -3x -8=0 25 25 线段AB的长度为 41 AB 16 一 |1 + 二 * —X2 )= 注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。 (上海理)23. (18分)已知平面上的线段I及点P，在I上任取一点Q , 线段PQ长度的最小值称为点 的距离，记作d(P,l)。 (1)求点 P(1,1)到线段 l : x - y-3=0(3 _x _5)的距离 d(P,l); (2)设I是长为2的线段，求点集 D二｛P|d(P,I)岂1｝所表示图形的面积; (3)写出到两条线段h,l2距离相等的点的集合 门二｛P|d(P,h) \"(Pt)｝，其中 h =AB,l2 二CD , 代B,C,D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是① 2分，② 到线段l P 学习好资料 欢迎下载 6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3),B(1,0),C(_1,3),D(_1,0)。 ② ② A(1,3),B(1,0),C(_1,3), D(_1,d)。 ' y 1 AJ ③ A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)。 23•解：⑴ 设Q(x, x_3)是线段l :x _y _3=0(3兰x兰5)上一点，贝U | PQ 匸 J(x —1)2 +(x —4)2 =』2(x —舟)2 +|(3 兰 x 兰 5)，当 x = 3时，d(P,l^| PQ U = 45。⑵ 设线段|的端点分别为 代B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系， 则A(_1,0), B(1,0)，点集D由如下曲线围成 2 2 2 2 Il ： y =1(|x#1),l2： y =—1(|xQ)，G：(X 1) y =1(x _-1),C2 ：(x-1) y =1(x_1) 其面积为S = 4 •二。 ⑶① 选择 A(1,3),B(1,0),C(—1,3),D(—1,0)，-二{(x,y)|x = 0} ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( -1,3), D( V,②。 以二{(x, y)|x = 0, y —0} U{(x, y)| y2 =4x,-2 乞 y ：： 0}U{( x, y) |x y 1 = 0,x 1} ③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)。 x -{(x, y)|x 一0, y —0}U{(x, y) | y =x,0 ：：x _1} Q(x, y)|x2 =2y-1,1 ：：xE2}U{(x,y)|4x-2y-3=0,x 2} 。 x -1 y C __ 3 A D B 1 9 1 x 4- *■H (四川理)21.(本小题共l2分) 椭圆有两顶点 A -1 , 0)、B (1 , 0),过其焦点F 0, 1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于 (( 学习好资料 ___________ 欢迎下载 点P.直线AC与直线BD交于点Q. (I) 当 |CD | = 时，求直线I的方程； 2 (II) 当点P异于A、B两点时，求证：OP OQ 为定值。 F C Q O B P 2 - X2 =1，设I的方程为y-1二k(x-O),k为I的斜率。 2 21.解析：由已知可得椭圆方程为 2k y 4 1 y2 y = kx 1 则 y 2 k2)x2 2 2 = (2 2kx 一1 = 0 = 」 为 +X2 __2 + k2 1 x =1 2 x1x2 2 2 -1 2疋 yy -2k2 +2 — 2 k2 2 (2 k) (Xi - X2) (yi - y2) (2 k) 2 8k2 8 2 ~2 + 8k4 8k2 9 2 2 ~~ — —k — 2 I的方程为y --・、2x • 1 (天津理)18.(本小题满分13分)在平面直角坐标系 xOy中，点P(a,b) (a Ab>0)为动点，F1, F2分别为椭圆 2 2 笃y^ =1的左右焦点.已知△ EPF?为等腰三角形. a b (I)求椭圆的离心率 e ； (H) 设直线PF2与椭圆相交于 代B两点，M是直线PF2上的点，满足AM BM 2，求点M的轨迹方程. 18 •本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力 (I) 解：设 F1(-c,0), F2(c,0)(c 由题意，可得IPF2H F1F2I， 即(a「c)2 b2 二 2c. 整理得 2(c)2 ' c -1 =0,得---1 (舍), •满分13分. 0) a a a 或c =1.所以e =丄. a 2 2 学习好资料 (II)解：由(I)知 a = 2c, b = ..3c, 可得椭圆方程为3x2 欢迎下载 4 y2 =12c2, 直线PF2方程为y =、、3(x _c). I3x +4y =12c , A, B两点的坐标满足方程组 2 2 2 _ y = x/3(x -c). 消去y并整理，得5x2 _8cx =0. 8 解得 x = 0, x2 c. 8 5c, 得方程组的解 3 3 . c 5 不妨设A(8 c, ^C), B(0,- 5 设点 M的坐标为(x, y),则AM =(x c, y c), BM 8 3 ”35 5 于是 AM=(理y 3 8 3.3、 5x ,5^Vx) , BM (x,、、3x).由 AM 即(^y -?x) x (8y 汁亠-2 15 5 5 5 BM y2 = 由 y = ■ 3(x -c),得 c = x =(x, y 、、 0. 学习好资料 化简得 18x2 -16.3xy —15 =0. 欢迎下载 18x2二 15 16.3x 所以x 0. 10x2 5 16x 因此，点 M的轨迹方程是18x2 -16、3xy-15 =0(x 0). (浙江理)21.(本题满分15分) 已知抛物线 C1 :x3 = y，圆C2:x2 • (y -4)2 = 1的圆心为点 M 0. 学习好资料 欢迎下载 (I)求点 M到抛物线c1的准线的距离; (n)已知点P是抛物线q上一点(异于原点)，过点P作圆c2的两条切线, P两点的直线I垂直于AB，求直线I的方程 交抛物线G于A , B两点，若过M , (921 21 •本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方 法 和综合解题能力。满分 15分。 1 (I)解：由题意可知，抛物线的准线方程为： y , 4 17 所以圆心M ( 0, 4)到准线的距离是 — 4 2 2 2 (II )解：设 P(Xo, Xo), A(X1,X1 ), B(X2, X2), 则题意得 Xo = 0, X0 =二1,X1 = X2 , 设过点P的圆C2的切线方程为y-x：二k(x-X()), 2 即 y = kX -kx0 X0 ① 则 J1 +k2 ， 即 (Xo —1)k2 2xo(4-x；)k (x2 -4)2 —1=0, 设PA, PB的斜率为&*2(心=k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以 2x。(x： - 4) ,k1k2 x： -1 (x2 -4)2-1 x： -1 将①代入 y 二 x2得x2 -kx ■ kx0 -x：二 0, 由于X0是此方程的根, 故人二 & -X0, X：二 k： -X。，所以 X1 ' = X1 X2 二人 k： - 2X0 二 2X 一4) - 2X0, kMP % -x2 0x： -4 X0 x0 -1 学习好资料 欢迎下载 2 2 0(由( 2x(x： 一4) ，得 kAB MP _ AB2- X10 — 解得x2 =23 Ui 4 2 学习好资料 欢迎下载 = 一1) 2x0 X 5 即点P的坐标为（ 23 所以直线|的方程为y • 4 ，-115 （重庆理）20.（本小题满分12分， ）小问 如题（20）图，椭圆的中心为原点 4分，（n）小问8分.） O,离心率e =——，—条准线的方程为 2 x = 1 二 I）求该椭圆的标准方程； um uuu uuu 二ON，其中M ,N是椭圆上的点，直线 OM与ON的斜率之积为一二，问 n）设动点P满足：OP=OM 2 是否存在两个定点 F,F 使得 PF PF、为定值？若存在，求 F・,F、的坐标；若不存在，说明理由 P N 0 x §(20)图 20 .(本题12分) c 解 由e 2 2 a 2 2 2 _ a 解得a =2,c 2 c a 2 c 2，故椭圆的标准方程为 学习好资料 欢迎下载 (II)设 P(x, y), M (Xi, yj ，则由 OP =OM 2ON (x, y)=以，％) 2(X2, y?)=(人 2x2，% 2y2), 即 x = x 2x2, y = % 2y2. 因为点M , N在椭圆x2・2y2 =4上，所以 xi2 2y； =4,x； 2y； =4， 2 2 2 2 2 2 故 x 2y (x1 4x2 4x1x2) 2( y1 4y2 4y1 y2) 2 2 2 2 = (Xi 2yi) 4(X2 2y2)4(XiX2 2y』2) =20 4(x1x2 2y1 y2). 设koM , koN分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 yiy2 1 X1X，因此 X1X2 2y°2 二 0, 2 所以 x2 2y2 =20. 2 2 2所以P点是椭圆 (2^) (TO)2T 上的点， 设该椭圆的左、右焦点为 为定值，又因c= .（2二5）2 -CIO）? =..10，因此两焦点的坐标为 Fi，F2,则由椭圆的定义|PFi|+|PF 2| 学习好资料 欢迎下载 Fi（“i0,o）,卩2（、而0）. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容