2.2二次函数的图像与性质 同步测试
一．选择题
1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣7的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，7）
B．（﹣2，﹣7）
C．（2，﹣7）
D．（2，7）
2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（ ） A．y＝（x﹣3）2﹣3 C．y＝（x+3）2﹣3
B．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x+3）2+3
4．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（ ） A．函数图象开口朝下
B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．该函数图象的对称轴在y轴左侧 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，使y≥﹣1成立的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1
B．x≤﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3
6．下列抛物线的图象，开口最大的是（ ） A．y＝x2
B．y＝4x2
C．y＝﹣2x2
D．无法确定
7．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A．y＝2（x﹣1）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
B．y＝2（x+1）2﹣2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
8．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（6，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y2＞y3＞y1
B．y2＞y1＝y3
C．y1＝y3＞y2
D．y2＞y1＞y3
9．抛物线y＝﹣3x2﹣4的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A．向上，（0，4） C．向下，（0，﹣4）
B．向上，（0，﹣4） D．向下，（0，4）
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有以下结论： ①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0； ③2a+b＜0； ④abc＜0． 其中正确结论的个数有（ ）
A．①②③ 二．填空题
11．抛物线y＝2x2+6x的对称轴是直线 ．
12．已知点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2）在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1与y2
的大小关系为y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为 ． 14．已知二次函数y＝x2﹣2x+2，当x 时，y随x的增大而增大．
15．函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象如图，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是 ．
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
三．解答题
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝a2x2﹣2a2x+4（a≠0）． （1）抛物线G的对称轴为x＝ ；
（2）若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 ； （3）若抛物线G的顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，求a的取值范围．
17．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C． （1）求k的值； （2）求△ABC的面积．
18．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
参考答案
1．解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣7的顶点坐标是（2，﹣7）． 故选：C．
2．解：如图，抛物线的开口向下，则a＜0，．
抛物线的对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＜0． 综上所述，a＜0，b＜0． 故选：D．
3．解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3； 故选：B．
4．解：二次函数y＝x2+2x+3＝（x+2）2+1，对称轴为直线x＝﹣2． A、a＝＞0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，本选项不符合题意； C、该函数图象的对称轴在y轴左侧，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴，正半轴，本选项不符合题意； 故选：C．
5．解：由函数图象可知，当y≥﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c不在y＝﹣1下方部分的自变量x满足：﹣1≤x≤3， 故选：C．
6．解：∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大， 又∵||＜|﹣2|＜|4|，
∴抛物线y＝x2的图象开口最大， 故选：A．
7．解：∵把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°， ∴新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，
∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2． 故选：C．
8．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1， ∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1）， ∵2＜4＜6， ∴y2＞y1＞y3， 故选：D．
9．解：∵抛物线y＝﹣3x2﹣4中，a＝﹣3＜0， ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（0，﹣故选：C．
10．解：由图可知，当x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，故①正确； 当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故②正确； 抛物线开口向下，则a＜0，
而对称轴在y轴右侧，则a、b异号， 所以b＞0，
其与y轴的交点（0，c）位于y轴的正半轴，则c＞0， ∴abc＜0，故④正确； 由图象可知0＜﹣∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，故③正确； 故选：D．
4），
＜1，
11．解：∵抛物线y＝2x2+6x， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣故答案为：x＝﹣．
12．解：∵二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c＝﹣（x+1）2+1+c， ∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x＝﹣1．
∵点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2）在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，且﹣3＜﹣2＜﹣1， ∴y1＞y2． 故答案为＞．
13．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1， 故答案为：1．
14．解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＞1时，y随x增大而增大， 故答案为：＞1．
15．解：如图1所示，当m等于0时， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴A（0，﹣3）， 当x＝4时，y＝5， ∴C（4，5）， ∴当m＝0时， D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5； 如图2所示，当m＝1时， 此时最小值为﹣4，最大值为1，
＝﹣，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意； 综上所述：0≤m≤1， 故答案为0≤m≤1．
16．解：（1）抛物线G的对称轴为直线x＝﹣故答案为1；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0； 故答案为：m＞2或m＜0；
（3）y＝a2x2﹣2a2x+4＝a2（x﹣1）﹣a2+4， ∵顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3， ∴0＜﹣a2+4＜3， ∴1＜a2＜4，
∴﹣2＜a＜﹣1或1＜a＜2．
17．解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上， ∴
解得，k＝﹣3； （2）∵k＝﹣3， ∴抛物线为y＝x2+2x+1，
＝1，
＝0，且﹣＜0，
解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3， ∴B（﹣3，4），C（0，1），
由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0）， ∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2， ∴A（﹣1，0）， ∴AD＝2，
∴S△ABC＝×2×4﹣
＝3．
18．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2）， ∴﹣＝1，
＝2，
解得m＝﹣2，n＝3；
（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3， ∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2， ∴﹣2≤xQ≤2， 由图象可知，2≤yQ≤11 即2≤b≤11．
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n； 由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m， ∴若C1与C2的交点坐标为（1，3）， ∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，
把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n， ∴n＝0，
∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．
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