高中数学实验课初探

高中数学实验课初探

HP图形计算器在高中数学教学中应用几例

海南华侨中学 赵涛

在教学过程中，我们发现不少学生对数学学习越学越没有兴趣，对一支笔一张纸的演算非常反感。相反对物理，化学等学科的实验课往往很有兴趣。动手操作多，参与性强，有利于提高对该学科的学习兴趣。为什么数学学科就不可以有一些实验课呢？为什么不能在相关学科的实验课中引入数学方法呢？这样是否能够更贴近实际，让学生对数学学习燃起兴趣。有鉴于此，我借助HP图形计算器在高中数学课中进行了一些初步的探索。 （一）数列中的应用

1、探索等差数列的通项公式（人教A版必修5 P39 探究题） 例1、写出数列an3n5的前几项，观察数列有何特点？

首先按APLET键，选择Sequence（数列），输入该数列，然后按NUM键观察数值变化，从数值上寻找对于这个数列各项之间有何规律。

学生不难发现这个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数3，将其推广，得到等差数列的定义：如果差为d(任意一个常数)，则这样子的数列称为等差数列。

师：请任意选取一些项，如观察a1，a10，a100等项，相互之间有何规律? 生：a10a193，a100a1993，

师：那么可以猜测，对于等差数列中的第n项和第一项之间有怎样的关系呢？ 生：ana1(n1)d 然后给予严格证明。

师：请任意挑选两项，观察二者之差与公差的关系。

学生自选两项分析，不难得出规律，师生共同归纳得出anam(nm)d，依据通项公式给出证明。 师：请作出数列图像,观察图像有何特点？ 生1：是阶梯图。 师：为什么？

生1：因为数列的n只能取整数。 师：再观察两相邻点间还有什么特点？ 生2：垂直距离都是3. 师：为什么？

生2：这个距离就是公差3

师：请同学们再画出函数y3x5的图像，与刚才数列的图像相比，有什么共同点吗？

学生不难发现，数列各点所在的直线即为函数y3x5的图像，直线的斜率即为数列的公差。在这一探究过程当中，

学生能够直观理解等差数列散化，对

等差数列的通项公式有更深刻的理解。 前n项和公式

例2、等差数列的前n项和公式（人教A版必修5 P45 例4）

其实就是一次函数的离

24，3，„的前n项为Sn，求使得Sn最大的序号n的值. 77540解：求得等差数列的通项公式为ann

77已知等差数列5，4按Shift MODES键，选择Fraction.运用分数格式。

在Sequence中输入这个数列U1(N)，按NUM键观察各项值的变化规律。不难得到数列单调递减。按Plot键，做出这个函数的阶梯图。易知a1至a7都在x轴上方，均为正。

a80，a9以后均为负。

所以易知Sn当n7或8时，Sn取到最大。

在Sequence中输入数列

75n5n2U2(N)，再NUM中观察这个数列各

14项的变化规律，易知，从U2(1)至U2(6)单调递增，U2(7)U2(8)20，然后再单调递减。易知最大值为20.作出

75x5x2这个数列的图像，观察这个图像易知，类似开口向下的二次函数图像。再作出函数y的图像。对比易知，

1475x5x2这个数列就是二次函数y的离散化。自然要求使得Sn的序号值还有第二种解法（配方法）：

14155151125，即当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值。这样有助于加深学生对等差Snn214256数列前n项和公式Sna1n2n(n1)dddn2(a1)nan2bn实际上是二次函数的离散化这一知识点的理222解，也进一步帮助学生从函数的角度来理解数列。

这个问题还可以进行推广，怎样的等差数列有最大值，怎样的等差数列有最小值？可以由学生自主探究。

另外，类似的，还可以在等比数列的前n项和的教学过程中渗透极限与积分的思想。例如

aaa1(1qn)11qnAAqn其前n项和是一个指数型函数的离散化模型。 Sn1q1q1q人教A版必修5P61 习题2.5A组第5题

一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下， （1） 当它第10次着地时，经过的路程共是多少？ （2） 当它第几次着地时，经过的路程共是293.75m？ （3） 至球落地不动为止，共经过路程多少？（自行补充）

解：从球第i次着地到第i+1次着地间的距离记为ai，则{an}为一首项是100，公比为

1的等比数列则第10次着地2时，经过的路程即为100S9，对于上述数列{Sn}，输入图形计算器，易得当它第10次着地时，经过的路程共是100+199.61=299.61m。若共为293.75m,则由图易知当球第5次落地时，总路程为293.75m.

前两问利用图形计算器同学们很快给出了解答。但是对第三问学生会有困惑，如果按照理想状态，这个球将永远弹下去，则距离将不断增大？可是这明显与事实相违。

继续观察数组，在第22项以后其值就固定在200不再增大了，为何出现这种情况？是不是意味着这个球到停止

(1弹跳共经过300米的路程。观察U3(N)200的时候，则

11)，当N越来越大时，越来越小越趋近于零，当N非常大NN221可以忽略不计。即这个数列所有项的和为200，所以总路程为300。 N2那怎样的等比数列可以求所有项的和呢？国际象棋发明者向国王要麦子的问题能不能求所有项的和？可以交给学生自主探究。

不等式中的应用（有关高次不等式的解法）

在教学中，我们常常会遇到一些高次不等式的求解问题，对于这些不等式，我们要求学生化为

(xx1)(xx2)(xxn)0（或＜0）利用数轴标根法来求解。

传统的教学过程中通过例题归纳步骤是这样的

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x2xx20化为(x2)(x1)(x1)0

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第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x2)(x1)(x1)0的根为：x12，x21，x31 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2

-1 0 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 -1 0 1 2

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

解得：-12。

另外、如果x的次数是偶数，则线不能穿过去继续在同一侧过！

为了学生便于记忆，我还归纳了如下口诀：从右往左，自上而下，穿针引线，奇穿偶回。

但是在教学实践过程当中，学生虽然兴趣高涨，但是由于不理解这种解法的实质，所以虽然有口诀，仍旧无法记住解法要点，灵活运用。

其实这类不等式解集的实质就是函数y(xx1)(xx2)(xxn)当y0或0时对应的自变量x的取值范围。问题是在教学中三次或更高次的函数图像就很难做出了，因此学生理解自然也就存在困难。而如果我们借助HP图形计算器强大的函数作图功能，数轴标根法的教学难点就迎刃而解了。

案例一、求不等式(x2)(x1)(x1)0的解集

师：请问方程(x2)(x1)(x1)0有几个根呢？那么函数y(x2)(x1)(x1)与x轴有几个交点呢？ 生：三个

师：请借助HP图形计算器做出这个函数的图像，并根据图像归纳出不等式的解集。

生：根据图像，这个函数与x轴有三个交点，将x轴分成了四个区间，从右到左正负相间。则原不等式的解集是{x|1x1或x2}

师：如果是(2x)(x1)(x1)0呢？

生：最右区间函数图像在x轴下边。

师：因此数轴标根法的关键在于先要把x的系数化为正，只有这样口诀“从右往左，自上而下”才可以。 例2 解不等式（1）(x2)(x1)2(x1)0 （2）(x2)(x1)(x1)40 师：从图像上，大家能发现什么特点，怎样影响我们不等式的解集呢？ 生：对与方程的偶次根处，函数图形不穿过x轴而是折回继续穿过下一根。

例3、解不等式（1）(x2)(x1)3(x1)0 （2）(x2)(x1)(x1)30

师：从图像上，大家能发现什么特点，怎样影响我们不等式的解集呢？ 生：对与方程的奇次根处，函数图形穿过x轴进而折回继续穿过下一根。

综上，口诀“奇穿偶回”其实就是解决了重根的问题。

总之，其实数轴标根法的实质其实就是画出高次函数的草图然后“看图说话”，加深了学生对于函数，方程，不等式三者关系的理解。而图形计算器在这一过程当中发挥了非常重要的作用，为学生发现规律，探索问题提供了实验平台。真正发挥了其“学具”的作用。

高中数学为每一位学生打开了一扇数学王国的魔幻大门，如果景色奇丽，也许就能影响他们一生的方向，但是如果消磨了他们的兴趣，那么相当于我们将他们关在了数学大门之外。数学实验课也许是我们向他们展示数学奥妙的一条捷径，作为老师，我们有责任来不断探索，发现，我们可以借助图形计算器，借助其他一切技术手段让学生认为数学是充满理性美，充满艺术美的科学桂冠。