高等代数(北大版)第4章习题参考答案

第四章 矩阵

311111abc1ac1.设1）A212，B2102）Acba，B1bb

1231011111ca计算AB，ABBA。

62240022200解 1）AB61 ，BA410ABBA20 434442812abca2b2c22acb22）ABabc3abcaaccbabc2ca22acb2a2b2c2BAaacc2bb2cabb

2ac2abcbbcccaca ABBA(aij)33， 其中

a11bac， a12a2b2c2babc， a13b22aca22c a21cbc， a222ac2b， a23a3b2c2abbc a313c22a， a32cbc， a33bab

2.计算

22115321)310 2)

4201211cos 3)4)01sinnsin cosn115)2,3,11，12,3,1 6)x,11a11y,1a21a31a12a22a32a13xa31y

a3311111111111111111，7)11111111111111112n1 / 23

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10n8)0100 211274解 1)3104943。

012334325 2)324248。

 3)采用数学归纳法，可证

1n1011n01 。

事实上，当n2时，有

21111201 0，

结论成立。

当nk1时，归纳假设结论成立，即

k111011k101

于是当nk时，有

11k11k1110101011k11110101011n即证1n0101成立。

4）采用数学归纳法，可证

cossinncosnsinnsincossinncosn

，

事实上，当n2时，有

cossin2cos2sin2cossinsincos2cossincos2sin2

 cos2sin2sin2cos2，

结论成立。

当nk1时，归纳假设结论成立，即

k1，

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cossin于是当nk时，有

sincosk1cos(k1)sin(k1)sin(k1)

cos(k1)，

k1cossinsincoscossinksincoscossinsincos

cos(k1)sin(k1)cossin sin(k1)cos(k1)sincosx1x3其中

x2 x4，

x1cos(k1)cossin(k1)sincosk ，

同理可得

x2sink， x3sink， x4cosk，

因而有

ncossinsincosncossinnsinn

cosn。

112315）2,3,110，12,3,1231

12311。6）x,a11y,1a12b1a12a22b2b1b2 cx (a11xa12yb1,a12xa22yb2,b1xb2yc)y

122 a11x2a12xya22y2b1x2b2yc。

7）注意到

111140111104111100111100这意味着，若令

200100202040004000100 010001，

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11111111 A11111111，

则A222E.下面对

11111111n A11111111分两种情形讨论

①n为偶数，即n2k，于是

nAnA2k(A2)k22kE2nE，

②n为奇数，即n2k1，于是

AnA2k1(A2)kA22kEA2nA，

故

2nE,An12A,nn2k

n2k1。

n(n1)n22n1n

n，(n1)(n2)n32n2(n1)

n1，

8）采用数学归纳法，可证

100100nn00nn1n0事实上，当n1时，结论显然成立，现在归纳假设

100100于是

n1n1n2(n1)0n100100100nn1n2(n1)0n100(n1)(n2)n3102(n1)n201n100，

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nnn1n(n1)2n20nnn1

00n，

即证结论成立。

3.设f()amm10a1am1am，A是一个nn矩阵，定义

f(A)a0Amam11Aam1AamE。

2111）f()21，A312；

1102）f()253，A2133，

试求f(A)。

2112211 解 1）f(A)312100110312110010

0018242111005112531201013803101110001212 。

2）f(A)212110753353330115121051515304.如果ABBA，矩阵B就称为A与可交换，设

11）A1101 2）A00012

3120103）A001

000求所有与A可交换的矩阵。

030000。

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解 1）若记AE01ab，并设B与A可交换，即

00cd01abab01EE

00cdcd00，于是

01abab01 00cdcd00，

所以

cd0a 0000，

故c0,ad,b任意，从而所有与A可交换的矩阵为Bab其中a,b为任意常数。 0a，

000a2）同理，记AE002并设Ba1321a2E000a002a1311a2bb1b2cac1a1c2a2bb1b2bb1b2cc1与A可交换，即 c2000002于是

311bb1b2c000c1002

c2311，

bb1b2cc1Ec2000a002a1311a2所以

cac1a1c2a202a23aaa12比较对应的(i,j)元，可得

02b23bb1b23c2c23c13cc1c23c20cc1c22bc2b1c1 2b2c2，

1ab1a1， b0， c0，

3211a2c1，b2c1，c2b1c1，

322于是所有与A可交换的矩阵为

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1b13a1Ba13c12其中a1,b1,c1为任意常数。

0b11c12c1 1b1c12，

0a3）设Ba1a2bb1b2cc1与A可交换，即 c2010a001a1000a2bb1b2cac1a1c2a2bb1b2c010c1001

c2000，

于是

a1a20故得

b1b20c1a1c2a200b1b20c1c2 0，

a1a2b20,ab1c2,bc1。

所以所有与A可交换的矩阵为

abcB0ab

00a，

其中a,b,c为任意常数。 5.设

a100a2A00其中aiaj（当ij时）（i,j1,2,00 an，证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵。 ,n）

x11x21证 设Bxn1x12x22xn2x1nx2n与A可交换，于是由xnn

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a1x11a1x12axa2x22AB221axnn1anxn2有

a1x1na1x11a1x12a2x2naxa2x22BA221axanxnnnn1anxn2aixjajxij(i,j1,,n)a1x1na2x2n anxnn，

，

即(aiaj)xij0（当aiaj时）.有因为aiaj，所以xij0(ij)。于是，与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵

a11a226.设

 ann。 arEr，

a1E1a2E2A其中aiaj（当ij时）（i,j1,2,对角矩阵

，Ei是ni阶单位矩阵，证明：与A可交换的矩阵只能是准,r）

A1其中Ai是ni阶矩阵（i,j1,2,证 设

。 ,r）

A2 Ar，

B11BB21Br1B12B22Br2B1rB2r Brr与A可交换（其中Bij是ninj阶矩阵），则由ABBA，可得

aiEiBijBijaiEi(i,j1当ij时，由aiBijBijai及aiaj，因而必有Bij0。

于是，与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵

,r)

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B11其中Bii是ni阶矩阵（i,j1,2,。 ,r）

B22 Brr，

7.用Eij表示i行j列的元素（即(i,j)元）为1，而其余元素全为零的nn矩阵，而

A(aij)nn．证明：

1）如果AE12E12A，那么当k1时ak10，当k2时a2k0；

2）如果AEijEijA，那么当ki时aki0，当kj时ajk0，且aiiajj； 3）如果A与所有的n阶矩阵可交换，那么A一定是数量矩阵，即AaE。

证 1）因为

0a120a21AE120an1所以

0a21a22000E12A000a2n0，a21a31a2n0 0，

a21a23an10。

即当k1时ak10，当k2时a2k0。

2）因为

j列 0000AEij00a1ia2iani0000EijAaj1aj20000ajni行 0所以当ki时aki0，当kj时ajk0且aiiajj。

3）A与任何矩阵相乘可交换，必与Eij相乘可交换，于是由AEijEijA得

aiiajj（i,j1,2,因此A是数量矩阵。

，aij0(ij) ,n）

8.如果ABBA,ACCA，证明：A(BC)(BC)A,

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A(BC)(BC)A。

证 A(BC)ABACBACA(BC)A，

A(BC)(AB)C(BA)CB(AC)B(CA)(BC)A。

9.如果A1(BE)，证明：A2A当且仅当B2E。 2证 充分性.若B2E，因为

1111A2[(BE)]2(B22BE)(2B2E)(BE)A，所以A2A。

2442 必要性.若A2A，则

11111(2B2E)(BE)即B2EE即证B2E。 4242，，410.矩阵称A为对称的，如果AA.证明：如果A是实对称矩阵，且A20，那么A0。 证 设

a11a12a12a22Aan1an2则

22a11a12*A2*a1na2n ann，**2a12na2na12n*22a12a22*2a2n 2ann。

由A20有

2a12ia2i2aiiai2,i12ain0(i1,2,,n)，

因而必有

a1ia2i即证。

aiiai,i1ain0(i1,2,,n)

，

11.设A,B都是nn对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A,B可交换。 证 当ABBA时，有

ABAB(BA)(AB)，

所以AB是对称矩阵。

反之，当AB(AB)时，有

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AB(AB)BABA。

12.矩阵A称为反对称的，如果AA，证明：任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。

证 设A是任一nn矩阵，因为A111111AAAA(AA)(AA) 222222，

且

11(AA)是对称矩阵，(AA)是反对称矩阵，所以结论成立。 22kk13.设skx1x2kxn(k0,1,2)aijsij2(i,j1,2,n).证明：

证 由题设知

aijs0s1sn1x1x1n11x1x1n1s1s2snnxnn1xnsn1sns2n2

x1x12x1nxn2xnnxnx1n1x1nx12n2x1n1n1x2n1xn2n1xnnxn

2nnxn 1x2n1x211x1xn1x2n1xn1xn

(xjxi)(xjxi)(xixj)。

ijijij14.设A是nn矩阵，证明：存在一个nn非零矩阵B使AB0的充分必要条件是A0。 证 充分性.若A0，则齐次方程组AX0有非零解

X(b1,b2,只要取

,bn)，

b1b2Bbn即可。

必要性.设B(B1,B2,设B10，则由AB0，得

000000 0,Bn是B的列向量。不失一般性，

,Bn)0，使AB0，这里B1,B2,

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(AB1,AB2,因此，AB10，即AX0有非零解，从而

,ABn)0。

A0

。

15.设A是nn矩阵，如果对任一n维向量X(x1,x2,,xn)都有AX0，那么A0。

证 证法1 由题设知，n维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组AX0的解，故方程组的基础解系含有n个线性无关的解向量，所以rank(A)0，即证A0。

16设B为一rr矩阵，C为rn矩阵，且rank(C)r.证明： 1） 如果BC0，那么B0； 2） 如果BCC，那么BE。

证 1）若BC0，设B(bij)rr，C(cij)rn，因rank(C)r，不失一般性，可设

c11cr1由BC0，得

c1r0crr。

bi1c11bi2c21bcbci112i222bi1c1rbi2c2rbi1bi2因而B0。

2） 若BCC，则

bircr10bircr20(i1,2,bircrr0bir0(i1,2,r)

,r)

因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即

，

BCEC(BE)C0，

由1）知BE0，因此BE。 17.证明：

rank(AB)rank(A)rank(B)。

证 设A(A1,A2,,An)，B(B1,B2,,Bn)，则

,AnBn)。

(AB)(A1B1,A2B2,若Ai1,Ai2,,Air与Bj1,Bj2,1,Bjr分别是A与B的列向量组的极大线性无关组，则有

2

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Atkt1Ai1kt2Ai2Btlt1Bj1lt2Bj2于是

ktrAir11ltrBjr2 (t1,2,,n)

2AtBtkt1Ai1即AB的列向量组可由Ai1,1ktrAirlt1Bj1112ltrBjr(i,j1,2,22,n) ，

,Air,Bj1,,Bjr线性表出，故

rank(AB)rank(A)rank(B)。

18.设A,B为nn矩阵，证明：如果AB0，那么

rank(A)rank(B)n。

证 设B的列向量组为B1,B2,,Bn，则

,Bn)(AB1,AB2,,ABn)0，

ABA(B1,B2,故有

AB1AB2即方程组AX0有n组解B1,B2,若rank(A)r，则B1,B2,因此

ABn0。

,Bn。

,Bn可由nr个线性无关的解向量线性表出，于是rank(B)nr。

rank(A)rank(B)r(nr)n。

19.证明：如果A0，那么

k(EA)1EAA2证

Ak1。

(EAA2Ak1)(EA)

EAA2Ak1AA2Ak

E(AA)(A2A2)(Ak1Ak1)Ak

E。

即证

(EA)1EAA220.求A，设

1Ak1。

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1)Aabcd，adbc1 2)A111210110

12343)A2230231211121 4)A1111 1026111133435)A1111611 6)A011115421

1111233213577)A0123212000012320 8)A05718 0001131600112100021009)A031402761 10)A00210122100021

00002解 1）A1dbca。

2）对(A|E)作行初等变换，有

1111002100101111110001012202111000111011103301221010100003321313 02011313，

所以

001001 传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

0A1013）对(A|E)作行初等变换，可得

131323131 313。

223100043120110010110010 121001011011101021100143011011010153 001164001164，

所以

143A1153

164。

4）对(A|E)作行初等变换，可得

121110001000所以

1000111131201000125011411100100135026000101610223401010 01200011001010062441125101001053552 00014553031111000101021010102100001000122146165012025100171713 13，

226161717520131A10214153。

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5）对(A|E)作行初等变换，有

1111111111111111100011111010000221001002021000102201000100

010001101010010201210010110011201201210011011121200020011001212000212100011114444010011441414 001011141444100011414144，

所以

11114444111441A144111441 4411144144。

6）对(A|E)作行初等变换，有

3443100000075120611010011003255421001000010413069233200010001594399所以

1120201201200112212198111158，

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751219A13258413069111 594399159。

7）因为A1，所以

13338A1A*01270012 0001。

8）对(A|E)作行初等变换，有

000212100100013200010001003257180010001057131600010001222100320A105734

112222。

9）因为

A111A213A317A4120A127A223A325A4210A139A233A

333A436A143A243A343A446且A6，所以

116276103715A16265331 122121122121。

10）因为

0000341122传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

10000121148116210001000001000010210001000211480021000100 00100001000210001021400002000010001000012000010000所以

1111124816321102148116A100111248

1000214000012。

21.设

X0AC0 ，

已知A1,C1存在，求X1。

解 设X1B11B12B，则0AB11B12AB22021B22C0B21BAB2122CB11CBE120E 。

因此

AB21E， AB220

左乘A1，得

B21A1， B220，

又由于

CB110， CB12E，

左乘C1得

13211618， 1412传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

B110， B12C1，

故

X22.设

10C11

0。Aa100a2000000 an10，

00X0an其中ai0(i1,2,,n)，求A1。

0解 记XanA，其中 0a100a2A00则

00 an1X而

110an1

A0。

a11010a21A00故

00 1an1，

1an000。

01a1X10000000001an1

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23.求矩阵X，设

1)25413X6 21，

11112)11022X11010 1211，

1000111120011112103)00001112 X000010002100012，

111114)X0221110

110211。

251解 1）X4635462231321122108

。

11121111113632）X2111111602110111021136131101161121113332310001111122100011113）X120000110 000100021000122100011000210011100110011200111111000001000210000000120000

121102

10。

00001112。

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11111111111122110004）X110022111102110121211121123241 4。

24.证明：1）如果A可逆对称（反对称），那么A1也对称（反对称）；2）不存在奇数阶的可逆反对称矩阵。

证 1)若AA，则

A1(A)1(A1)。

2）由AA，知

A(1)nA(1)nA所以当n为奇数时，有

，

AAA0

，

故A不可逆。

25.矩阵A(aij)称为上（下）三角矩阵，如果当ij(ij)时有aij0。证明： 1）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵； 2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。 证 1）设

a11a12a22A假定

a1nb11b12a2nb22，Bannc1nc2n cnn，

b1nb2n， bnnc11c12c21c22ABcn1cn2其中

cijai1b1jai,i1bi1,jaiibijai,i1bi1,jbinbnj，

当ij时aijbij0，显然cij中各项均有因子为零，故cij0，所以AB是上三角矩阵。

对于A,B是下三角阵情形同法可证。

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a112）令A第一列元素，有

a1nb11b12，设Bbbannn1n2b1n是A的逆，即ABE，比较E和AB的bnn1a11b11a12b21a1nbn10a22b21a2nbn1 0aan1,nbn1n1,n1bn1,10annbn1，

因为A0，故a110,a220,,ann0，因而得 bn1bn1,1b210。

同理可得：当ij时bjj0，因而B是上三角阵。

A是下三角阵的情形同理可证。

26.证明：AA**n1，其中A是nn矩阵(n2)。

***证 因为AAA， AAAA，所以当A0时有AnAnA

An1 。

当A0时ⅰ)rank(A)0,有A0,A0，于是AA***n1。

ⅱ）rank(A)0，由于AAAE0于是A*A0有非零解，故rank(A)n，于是A*0，

，所以此时也有，AA*n1，

即证。

27.证明：如果A是nn矩阵(n2)，那么

n,rank(A*)1,0,当rank(A)n当rank(A)n1 当rank(A)n1*n1证 当rank(A)n时，故AA0，所以

rank(A*)n。

当rank(A)n1时，A至少有一个n1阶子式不为0，所以

rank(A*)1。

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另一方面，由A0，有

A*AAE0

。

于是

rank(A)rank(A*)n，

所以，rank(A)1.故rank(A)1。

当rank(A)n1时，A的一切n1阶子式全为0，所以，因而rank(A)0，即证。

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