数学物理方法期末试题A

院（系）： 管理学院 专 业： 管理科学 年级： 2006级

注意：请将所有答案写在答题纸上；除第一题外其余各题均要求写出必要的求解步骤。

装

一、填空题（每小题5分，共40分。）

1、矩形脉冲f(t)hrect(t/2T)的复数形式的傅里叶变换为 。其中，矩形函数

订 1,(|x|1/2)。 rect(x)0,(|x|1/2)2、利用行波法（达朗贝尔公式）求解无限长弦振动问题的基本思想是 。

线

2u1u12u0,()，3、扇形区域内的拉普拉斯方程2利用分离变量法求解，

22()()0,令u(,)R()()，可得到本征值问题，其本征解为 。

()0,()0,4、利用冲量定理法求解弦的受迫振动问题，其物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用力引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。根据这一思想，单位长弦所受外力f(x,t)可以用函数表示出来，即f(x,t) 。

5、长为l的柱形管，一端封闭，另一端开放。管外空气中含有某种气体，其浓度为u0，向管内扩散。求解该气体在管内的扩散情况（初始浓度为零）。该定解问题为 。

12u1u12u0，6、球坐标系下的拉普拉斯方程为2rsinrrrr2sinr2sin22利用分离变量法求解，令u(r,,)R(r)()()，则其通解形式为 。

7、在圆形域内求解u0，使之满足边界条件u|0u0cos，则u 。 8、定解问题

utta2uxx0,(a2Y/u|x00,u|t0YSuxmutt|xl0，

mgx,ut|t00YS将上述定解问题分离变数，相应的本征值问题为 。这是关于杆的纵振动问题，对

第1页，共2页

应的物理问题是 。

二、（20分）求解扩散方程定解问题

uta2uxx0,ux|x00,ux|xl0,u|t0u0cos

(0xl)

xl装u1cos2x.l 订三、（20分）两端固定的均匀弦受谐变力f(t)f0sint作用而振动，求解振动情况。该定解问题为

线utta2uxxf0sint,u|x00,u|xl0,u|t00,ut|t00.（可能用到的公式sincos

(0xl)

11sin()sin()，sinsincos()cos()） 22四、（20分）在x0的邻域上求解埃尔米特方程y2xy(1)y0。取什么数值可使级数解退化为多项式？

第2页，共2页

北京师范大学2007 ～2008 学年第一学期期末考试试卷（A卷）

院（系）： 管理学院 专 业： 管理科学 年级： 2005级

注意：请将所有答案写在答题纸上；除第一题外其余各题均要求写出必要的求解步骤。

装

一、填空题（每小题6分，共30分。）

订XX01、本征值问题的本征解为 。

X(x)X(x2)2、长为l的弦在点xx0受到初始冲击，冲量为I，则弦的初始位移u|t0 ，初始速度ut|t0 。

3、设无限长弦的初始位移为(x)，初始速度为a(x)，则弦的自由振动u(x,t) 。 4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(12)，放手后自由振动，则杆的自由振动定解问题为 。

5、在铀块中，除了中子的扩散运动以外，还进行着中子的增殖过程，每秒钟单位体积内产生的中子数正比于该处的中子浓度u，从而可表为u，则中子浓度所遵循的方程为 。

二、（20分）求解热传导方程定解问题

线 uta2uxx0,ux|x00,ux|xl0,u|t0cos

三、（20分）在圆形区域内求解u0，使之满足边界条件u|0u0sin。

四、（20分）长为l的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力f0sin移为sin

五、（10分）长为a的柔软均质轻绳，一端固定在以匀速转动的竖直轴上。由于惯性离心力的

第3页，共2页

(0xl)

2x.lxlcost，初始位

xl，初始速度为零，求解杆的纵振动。

作用，这弦的平衡位置应是水平线。设初始位移为x/a，初始速度为零，求解此弦相对于水平线的横振动。该定解问题为

1uutt2a2x202xxu|x00,u|xa有限， u|t0x/a,ut|t00① 将上述定解问题中的泛定方程分离变数。 ② 在①的基础上，写出相应的本征值问题并求解。

2ddy2dy2dy（提示：l阶勒让德方程为(1x)l(l1)y0或(1x)22xl(l1)y0） dxdxdxdx装③ 在②的基础上，求出该定解问题的解。

订 线

第4页，共2页

北京师范大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷A

院（系）： 管理学院 专 业： 管理科学 年级： 2003级

说明：从下列题目中任选4题，每题25分，要求写出必要的求解步骤。

一、求解波动方程定解问题

utta2uxx0,ux|x00,ux|xl0,u|ux/l,u|0.tt0t00

二、在x00的邻域上求解yxy0.

(0xl)三、两端固定弦在点x0受谐变力f(x,t)f0sint(xx0)作用而振动, 求解弦的振动情况.

四、在以原点为心, 以1和2为半径的两个同心圆所围成的环域内求解u0，使满足边界条件u|1u0sin, u|20.

五、一矩形薄板(0xl1,0yl2), 边缘温度保持为零度, 初始温度为u0sin板内的温度分布.

六、求解热传导定解问题

xl1sin2y, 求l2uta2uxxu,u|x00,u|xl0, xu|t0u0sin.l

第5页，共2页

可能用到的公式

A 三角函数公式

sin()sincoscossin, cos()coscossinsin

sinsin2sin22cos22, coscos2cos2cos2

,

coscos2sinsinsinsin1cos()cos() 211coscoscos()cos(), sincossin()sin()

22

B 非齐次常系数微分方程的解法 二阶常系数微分方程

22nTnaTnfn(t) 2l2的解为

Tn(t)

lan0fn()sinan(t)antlant dTn(0)cosTn(0)sinllanl 第6页，共2页