浅谈将数学史融入勾股定理教学的设计

浅谈将数学史融入勾股定理教学的设计

数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育。数学史是数学的一个分支，数学史教育则是数学教育的一个部分；而数学史是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生认识数学、理解数学，感受数学文化。

在我国所颁布的《数学课程标准》，无论是义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的要求。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。而《普通高中数学课程标准(实验)》认为“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势”“应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。”同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题。

勾股定理是平面几何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中具有普遍的应用性。因此勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。从某种意义上说，勾股定理的教学是数学课程与教学改革的晴雨表。20世纪五六十年代数学课程的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”“告诉结论”“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。

“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化内涵，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理的内容出现在八年级，而八年级又是学生学习数学的一个重要发展阶段，由具体思维向形式化思维转变的重要时期，但勾股定理的教学却始终是一个难点，虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是真正能够让学生在思路上比较“自然地”想到的证明方法是困难的，而从让学生体验知识的发现过程的角度来讲，要让学生“再发现”勾股定理更是难上加难。

那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学更为合适。

1. 教学目标

（1）使学生在探索中“发现”勾股定理；

（2）使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股定理；

（3）使学生从不同文化对勾股定理不同的证明方法中感受数学证明的灵活和数学美，感受勾股定理的丰富文化内涵；

（4）使学生运用勾股定理解决实际问题；

2. 课时安排 本节安排三课时，第一课时讲到勾股定理的证明，第二课时讲授证明方法，第三课时讲授勾股定理的应用。

3. 教学过程

3.1 从文化传统入手使学生“发现”勾股定理： 教师在课前需要做好形式多样的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（为方便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数）。将全班学生分若干个小组，发给每个小组两个直角三角形和一个非直角三角形，

让每个小组同学利用直尺测量三角形的三边长，并记录数据（教师可利用几何画板进行集体演示）。然后，教师提出问题：

(1) 你手中的直角三角形的三边的平方之间有什么关系？ (2) 这种关系对于非直角三角形是否任然成立？

通过计算，和小组内讨论，每个小组选出一位“发言人”代表本小组陈述本组的结果。教师在一旁进行指导，并根据学生的回答，给出正确的结论：

问题(1)：任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是我们要学习的勾股定理的内容。这里的“勾、股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫做“弦”。

问题(2)：任意非直角三角形都不存在这种关系。 中国传统数学非常重视测量与计算，这是古人发现问题和解决问题的主要方法之一，同时也是学生很熟悉的学习方法。这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学生的学习积极性。

3.2 向学生介绍勾股定理的历史背景： 据史书记载，大禹治水与勾股定理有关。

大禹在治水的实践中总结出了运用勾股术(也就是勾股的计算方法)来确定两处水位的高低差。可以说，大禹是世界上有确切文字记载的第一位与勾股定理有关的人了。

《周髀算经》是中国历史上最早的一本算术类经书。周就是圆，髀就是股。上面记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的文字记录，即＂勾三股四弦五＂，亦被称作商高定理。卷上另外一处记述了周公后人荣方与陈子(约公元前6、7世纪)的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：

“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并几开方除之，得邪至日。” 可见，在我国西周时期已经开始利用勾股定理来测天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。

而在西方，人们认为勾股定理的第一个证明是毕得格拉斯给出的，因此将勾股定理又叫做“毕得格拉斯”定理。相传毕得格拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，一次就宰杀了一百头牛祭神庆贺，于是也把“毕得格拉斯”定理称为“百牛定理”，不过迄今为止还没有毕得格拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，而且宰牛庆贺一说也与毕得格拉斯学派的素食主义相违背。不过尽管如此，人们任然对毕得格拉斯证明勾股定理的方法给予了种种的猜测，其中最著名的是普鲁塔克(Plutarch,约46-120)所给出的面积分割法。从毕得格拉斯时代到现在，人们对勾股定理给出了各式各样不同的证明方法。在卢米斯(E·S·Loomis)的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了勾股定理的约370种不同的证明方法，并对它们进行了分类。

3.3 向学生展示历史上勾股定理的不同的证明方法： (1)赵爽(公元3世纪前期)的证明：

在我国第一个给出勾股定理证明的是赵爽，他在深入研究了《周髀算经》后，为该书些了序言，并做了详细注释，其中有一段约530余字的“勾股圆方图”注文，在数学史上极有极高的价值，并绘有勾股图，证明了勾股定理，并用朱黄两色涂于图上。（如图2）勾股形的面积= S△ABC=12ab，将其涂为红色，称为“朱实”。勾股差= b-a,差实=(b-a) 2，将其涂为黄色，称为“黄实”，SABCD =c2，称为“弦实”。由图可知，四个朱实(四个直角三角形)，加上中间的一个正方形黄实(勾股差的平方)，等于弦实(弦的平方)，即 4x12ab+(b-a) 2=c2即 a2+b2=c2。

该种证明方法的特征：使用数形结合，建立在一种不证自明，形象直观的基础上，证明过程可以借助实物进行操作，使现实问题数学化，也可直接利用几何画板进行动态演示。

(2)欧几里得的证明：

欧几里得在其传世著作《几何原本》中给出了勾股定理的如下证明方法： 该种证明方法的特点：有严谨的逻辑推理过程，充分展示了对数学美和数学理性的追求。

(3)毕得格拉斯的证明：

如图4所示，设直角三角形的两直角边与斜边分别为 a,b,c，以此直角三角形为基础作两个边长为 a+b的正方形，由于这两个正方形内各含有四个与原来直角三角形全等的三角形，除去这些三角形后，两个图形剩余部分的面积显然相等，即 2ab+a2+b2=4x12+c2。

该种证明方法特点：文字叙述，缺乏代数表达式。 (4)刘徽(公元263年左右)的证明：

刘徽巧妙的利用了“出入相补法”原理证明了勾股定理，“出入相补”记载于刘徽为《九章算术》勾股数——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所做的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”但是如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽并未具体提示，数学界比较常见的推测是如下图5：

该种证明方法特点：巧妙地利用了“出入相补”原理，蕴含“动态思想”。 (5)婆什迦罗的证明：

婆什迦罗给出了两种勾股定理的证明方法。一种与赵爽的证明方法类似，所以不再重复；另一种方法是利用了相似三角形的性质。

设a=BC,b=AC,c=BA,d=BD,e=DA ，则由三角形△CDB,△ADC,△ACB相似，可以得到：

从而可以得到 c2=a2+b2

该种证明方法特点：使用了数形结合的证明方法，利用了三角形的相似性。 3.4 勾股定理的应用举例： 设 a,b,c,d都是正数，证明：存在这样的三角形，其三边分别为b2+c2，a2+(c+d) 2，(a+b) 2+d2，请计算这个三角形的面积。

题目分析：如果利用三条线段构成三角形三边的充要条件来判断符合题设的三角形的存在性，是比较困难的。如果利用海伦公式根据三边来计算该三角形的面积就更使人望而生畏了。但如果注意到三边在数值上的特征b2+c2，a2+(c+d) 2，(a+b) 2+d2 ，不难发现有奥妙在其中，考虑利用勾股定理把这三条线段构造出来，如下图7：

图7分别以a+b,c+d 为边画矩形，从而满足题设条件的三角形便跃然纸上了，显然这样的三角形是存在的，而三角形的面积为：

(a+b)(c+d)-12bc-12d(a+b)-12a(c+d)=12(ac+bc+bd) 通过以上的解答，学生自然可以体会到勾股定理的效用，从而产生学习后续知识的热情。

3.5 练习题：

美国学者史韦兹认为，用历史来丰富数学和数学学习，一个最直接的方法是让学生去解一些早期数学家们感兴趣的问题。这些问题会让学生回到问题提出的时代，反映了当时人们所关心的数学主体。学生在解决源于数个世纪之前的问题

时，会经历某种激动和满足。史韦兹认为，教师可以主动的收集历史上不同时期，不同文化背景下的数学问题，并布置给学生去解决、去比较。基于史韦兹的观点，教师可以让学生在完成学习后在课下完成以下的历史上的勾股定理应用问题。

(1)中国(《九章算术》卷九 公元一世纪)。今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地。问木长几何？如图8

图8略解： b=10尺， c-a=1尺， c2=(c-1)2+b2推出c=1+b22=50.5尺， 答案：5丈5寸。

(2)巴比伦(公元前1600-1800)。 如图9所示，长30英尺的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移6英寸的距离时，下端沿墙移动多远？

图9略解：设直角三角形三边为a，b，c ，其中a=30-6=24，c=30 ，那么 b=c2-a2=324=18英寸

答案：18英寸。

(3)意大利(公元1300年)。

矛长20英尺，依塔而立。若将末端外移12英尺，则尖端低塔多高？

图10略解：设直角三角形三边为a，b，c ，其中a=12，c=20 ，那么 b=c2-a2=256=16英寸

答案：16英寸。

3.6 小结。在整个的发现和理解勾股定理的过程中，学生始终站在历史背景的条件下，给他们展现历史上不同文化中的勾股定理的各种巧妙的证明方法，能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生的视野。这样既能让学生掌握勾股定理，又能让他们学习数学史，理解巧妙的数学思想方法。通过类似的课，教师应该给学生强调：证明的目的不只是证实命题成立，还要加深理解。通过老师的讲解，学生还可以理解各种不同证明方法背后的社会文化意义。

课堂上教师要融入数学史，适当地讲解不同文化对数学的贡献，与学生共同体会数学中的多元文化特征。将数学史的知识融入数学教学，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力措施，相信数学史知识的应用必然会推动数学教育的巨大发展。