第十二讲 求图形面积的几种常用方法
在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。
A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。
【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S
阴影=S圆－S正方形=π×4
2－4×4÷2×4=50.24－32=18.24(平
方厘米)
【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以
考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14×4×4÷2=25。12（平方厘米）
B、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。
60
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？ 【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积 －空白c的面积，而空白c的面积=正方形的面积－扇形的面积，即
S阴影=S扇－（S正－S扇）= S扇－S正＋S扇= S扇＋S扇－S正即S扇＋S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b= [(b＋c)＋(b＋a)]－(a ＋b＋c)阴影部分的面积，S阴=π×42÷4×2－4×4=25.12－16=9.12(平方厘米)。
【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？
b
a
【分析与解】如图，S阴影= S大扇－Sa= S大扇－(S长－S小扇) = S大扇＋S小扇－S
长=π×12
2÷4＋π×82÷4－12×8=163.28－96=67.28（平方厘米）
C、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求
B
的图形。
【例5】如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？
【分析与解】如图，由于E是梯形的中点，若以E为圆心，将三角形BEC绕反时针方向放置，使C点与D点重合，显然可得，阴影部分的面积 与三角形ABE的面积相等，所以阴影部分的面积
B A D E C A D E C B 61
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 =梯形面积的一半=（3＋4）×4÷2÷2=8（平方厘米）。
D、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。
【例6】将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。
【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角形的顶点A、B、C的三条边对六边形进行等分，
B A C 就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）
【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？
【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的12
，即甲的面积为180÷2÷2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的
4
一半的 ，即乙的面积=180÷2÷9×4=40（平方厘米）。
9
E、抓不变量：若甲比乙的面积大a，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面
62
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。
【例8】如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影①比阴影②面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC的长？
② ① 【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方厘米），又“阴影①比阴影②面积大57平方厘米”，若阴影①和阴影②都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是157－57=100（平方厘米），高BC为：100×2÷20=10（厘米）
F、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。
【例9】一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E是BC上一点，AE长10厘米，
A D AE和DF互相垂直，DF长是多少厘米？
【分析与解】如图，如果连接DE，则可得三角形ADE的面积是
F B C E
长方形面积的一半，由“AE和DF互相垂直”，可知DF是三角形ADE的高，则DF=12×8÷2×2÷10=9.6(厘米)
【例10】如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，
17 45
a b c 34 63 第十二讲 求图形面积的几种常用方法 已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的一半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，不妨用字母a、b、c来表示其余部分的面积。显然有a＋b＋c=a＋17＋45＋c＋34，所以阴影部分的面积b=17＋45＋34=96（平方厘米）
【另解】也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b是重叠面积，17、45、34都是外露面积，所以有b=17＋45＋34=96（平方厘米）
G、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。
【例11】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析与解】根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但是，如果我们连接BD，再仔细观察三角形ACD与三角形ABC，不难得出它们都是以小正方形的对角线AC为底，以梯形ABDC的高
为高，所以三角形ACD的面积=三角形ABC的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=6×6÷2=18（平方厘米）。
A
B
D
C 64
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 2
【例12】三角形ABC的面积为60平方厘米，AE=ED，BD= 3BC，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析与解】BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED”可
B A E F DC
得三角形ABE的面积=三角形BDE的面积。又以BD为底的三角形在图上有三角形BDE和三角形BDF，所以需要连接的线有EC或DF，如果连接EC，则会发现三角形AEF与三角形BED的联系不大；如果连接DF，则有三角形AEF与三角形EFD的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形BFD的面积。这时我们把三角形FDC的面积看作1份，三角形BDF的面积就是2份，三角形ABF的面积=三角形BDF的面积，所以三角形ABF的面积也为2份，三角形ABC的面积就被平分成了1＋2＋2=5（份），阴影部分的面积为：60÷5×2=24（平方厘米）。
H、构造法：就是根据已知数据的特殊性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。
【例13】一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？
【分析与解】如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成一个正方形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的4倍。所求直角三角形的面积是6×6÷4=9（平方厘米）。
【例14】一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘米，求它的面积？
65
6 6 6 第十二讲 求图形面积的几种常用方法 【分析与解】如果我们用四个同样的直角三角形就可以构造成一个空心正方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=（10－6×6）÷4=16（平方厘米）。
I、比例法：如果两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；如果两个三角形的底相等，则它们面积的比等于它们高的比；如果两个长方形的宽相等，则它们面积的比就等于长的比。
【例15】如图，在梯形ABCD，两条对角线相交于O，下底是上底的3倍，三角形AOD的面积是12平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？
【分析与解】在梯形ABCD中，容易得出三角形AOB的面积=三角形DOC的面积=12平方厘米；又AO：OC=OB：OD=AB：DC=1：3，12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：12＋12＋4＋36=64（平方厘米）。
【例16】如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积分别是：4、6、21平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？
【分析与解】设阴影部分的面积是x平方厘米，则有4：6=x：21，则阴影部分x的面积=21×4÷6=14（平方厘米）。
J、利用r2和r3代换：有解有关圆和圆柱的题目时，如果没有告诉半径以及没有给出
4 x
6 21
B B A 12 a ×10A 12 D O C D 12 O b C 66
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出r2和r3即可。
【例17】如图，阴影部分的面积为20平方厘米，求圆环的面积是多少？ 【分析与解】圆环的面积=大圆面积－小圆面积=πR2－πr2=π(R2－r2);而R2所表示的意义为大正方形的面积，r2所表示的意义为小正方形的面积，(R2－r2)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积=π(R2－r2)=3.14×20=62.8（平方厘米）。
【例18】一个正方体的体积50立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长都相等，求这个圆柱体的体积？
【分析与解】设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r，高为h，则有a3=50,r=h=a,V=∏r2h=∏a3=3.14×50=157（立方厘米）
解法练习题12
A、割补法：
67
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 图1—1
图1—20 4 24 图1一2
6
6 图1—5
图1—3
4
图4
1--6
68
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 6 图1--7
6
2 2 2
图1--10
小圆半径为3 图1--13 每个扇形的半径都为5 图1--16 4 图1--8
8
a b
图1--11
10
图1--14
图16
1--9
小圆半径为2 图1--12
每个扇形的半径都为2 图1--15 69
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
B、加减法：
2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 6 8 10 图2--1
600 3 图2--2 70
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
14 10 图2--3 10 图2--5 6 、
6
6
6
4
图2--4
3 4 450
5
6 图2--6
5
图2--8
71
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 8 8
图2--9
4 4
图2--10
5 4 图2--12
72
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 A
B
D AC=2
图2--13
C
乙 甲 图12 2--15
4 4
图2--14
A
O1 O2 AB=17 B O1 O2=10
=
图2--16
73
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
4 2 图2--17 2 求两阴影的面积之差
C、旋转法：
3、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
10
10
图3--1
2 3 450 2.4 图2--18 29 正方形 49 74
图3--2
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 13 2
12 13
图3--3
4 12 图3--4
D、等分法：
4、下列每个正六边形的面积都是36平方厘米，求图形中阴影部分的面积。
75
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
5、四个相同的正六边形，每个面积都是6平方厘米，求图形中三角形的面积。
6、如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积是5
平方厘米，求长方形的面积。
图4--1
图4--2
图4--3
76
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
7、E是长方形的中点，求阴影部分的面积与长方形的面积的比。
A 点，
9、正方形ABCD E 的面积是B 12平方厘米， E、F、G、H分别是中点，求阴影部分的面积。A D
F
B
8、长方形ABCD的长是15厘米，宽是8厘米，E、F是中
A
F D
D E C
E 求阴影部分的面积。 C
H D G F C
77
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
10、下面是两个等腰直角三角形组成的图形，求阴影部分的面积占整个图形的几分之几？
E、抓不变量：
11、正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ABE的面积大5平方厘米，求A D
C
E B
CE的长。 F 78
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
12、已知长方形ABCD，长是8厘米，宽是6厘米，阴影①比阴影②面积小10.5平方厘
D
13、在平行四边形BCDG中，BC长10厘米，直角三角形ABC的直角边AB的长是8厘米，已知阴影部E D A 分的面积比△AEF的面积大10平方厘米。求BF的长？ F G
A ② B 米，求线段CE的长？ F ① C E
C
B 14、已知半圆的半径是4，阴影部分①比阴影部分②面积大4.44平方厘米，求BC的
79
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 长？
②
C ①
A B 15、如图三角形ABC与三角形DEF是两个完全一样的三角形，已知AB=12，BE=5，DG=4，求阴影部分的面积？
A D G B
C F
E 16、如图，OB把半径为6厘米，圆心角为900的扇形分成两部分，扇形OBC的面积是扇
C 甲 形OAB面积的2倍。ODBE是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积B 少？ 乙 D A 大多E O
80
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
F、“一半”的应用：
17、已知长方形的长为8厘米，宽为6厘米，求阴影部分的面积？
18、已知平行四边形被分为4个三角形，已知其中3个三角形有面积分别为11、30、43平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
6
8
19、如图所示，已知平行四边形中的3个三角形的面积分别为7、2、9平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
11
43 30
9 7 7 2
81
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
20、如图所示，已知正方形图中的五块面积分别为65、20、50、15、70平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
20 65
50
70 15
21、在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为15，三角形PBC的面积为34，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
A P D
B C
22、ABCD是正方形，EDGF是长方形，CD=4厘米，DG=5厘米，求宽DE=？
A E D
F
B G C 82
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
23、在长方形ABCD中，三角形ABP的面积为12，三角形PBC的面积为21，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
A
B P D
C
24、平行四边形ABCD中，被两条直线分成四个平行四边形，已知平行四边形PFBG=26平方厘米，平行四边形DHPE=16平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
E A P G F C B D
H 25、正方形外面有A、B两点，图形内所标数据分别为各小三角形的面积，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
A
0.6 2
1.5 B
0.8 3
0.5
83
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
26、如图，ABCD为平行四边形，三角形DCE的面积是97平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
D
A E C B F 27、如图，在四边形ABCD中，DCFG为正方形，ADEB为梯形，DE=30厘米，DG=24厘米，D A
C AB=39厘米，求梯形ABED的面积？
E F
G B
28、如图，长方形被分成四个小三角形，其中一个三角形占长方形面积的21%，另一个
21%
面积为87平方厘米，求长方形的面积？
A 87
29、在四边形ABCD中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD的长？ E 84
D
B C
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
30、在正方形ABCD中，AB=8厘米，AF=10厘米，求DE的长？ A D
B E F C 31、BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是
A
F 绿色
红色 黄色 E D
6平方厘米，绿色四边形的面积是多少平方厘米？
B C
85
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
32、AED和BFC是两个相等的等腰直角三角形，面积都是2003平方厘米，求平行四边形
A B F ABCD的面积？ E D C
33、AE：ED=9：5，BF：FC=7：4。比较红色与蓝色面积的大小。
A E D
蓝
红 红
蓝 B
F C
G、等积变换：
34、2
A 三角形ABC的面积为1，AE=ED，BD=3 BC，求阴影部分的面积。
E F B D C
86
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
2
35、如图所示，BD= BC，AE=ED，若三角形ABC的面积是14平方
3F D 米，求阴影部分的面积。 C A 厘
B E
36、三角形ABC的面积是40平方厘米，AE=ED，DC=2DB，则阴影部分的面积是
A 多少平F 方厘米？ E D C
B
37、三角形ABC的面积是12平方厘米， EC=2AE，F是中点，则阴影部分的面积是多少
F B D A E 平方厘米？
C
38、由大小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，则阴影部分的面积
87
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 是多少平方厘米？
39、由大小两个正方形的边长分别是10厘米、6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
40、已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米，四边形EFGH的面积是12平方厘米，求空白
A
E B
F 12 H G
D
部分的面积？
C
41、已知长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积？ A
F
G H E D
B
C
88
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
H、构造法：
42、如图，求四边形的面积是多少？（单位：厘米）
450 7
3 43、一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？
44、一个正方形的对角线长5厘米，求这个正方形的面积。
45、一个直角三角形的斜边长是10厘米，两直角边的差是3厘米，求这个直角三角形
89
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 的面积？
46、一个直角三角形的斜边长是15厘米，两直角边的差是4厘米，求这个直角三角形的面积？
47、如图，小正方形的边长是3厘米，大正方形的边长是5厘米，求阴影部分的面积是多少？
I、比例法：
48、四边形的两条对角线，将四边形分为四个小三角形，已知其中三个三角形的面积分别是15平方米、75平方米、65平方米，求阴影部分的面积？
15 65 75 90
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
49、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米、30平方米，求阴影部分的面积？
25 20 30
50、一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是1、2、3、4、51 2 3 4 5 平方厘米，求阴影部分的面积？
51、如图所示，图形内所标数据分别为各小长方形的面积，那么大长方形的面积是多少？
20 30 36 16
12
91
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 52、如图所示，已知梯形中的两个小三角形的面积为3、9平方厘米，那么梯形的面积是多少？
9
3 53、如图所示，已知梯形ABCD中，三角形CDE的面积为20平方厘米，AE：ED=2：5，那
A E 20
C
B 么梯形的面积是多少？
D
54、如图所示，已知梯形ABCD中，三角形ADE的面积为60平方厘米，AB：CD=1：3，那么
A 60 E B 梯形的面积是多少？
D C
55、如图，在正方形中，放了三个同样大的小正方形，已知绿色部分的面积是20，蓝色部分的面积是14，红色部分的面积是10，求大正方形的面积？
蓝 绿 红 92
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
56、如图所示，图中的数据为该三角形的面积，求阴影部分的面积？
5 8 10
57、如图所示，图中的数据为该三角形的面积，求阴影部分的面积？
2 3 4
58、如图所示，图中的数据为该三角形的面积，求阴影部分的面积？
7 5 8
6
93
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 59、如图所示，图中的数据为所在小三角形的面积，求大三角形的面积？
40 84
35 30
J、利用r2和r3代换
60、正方形中，最大圆的面积占正方形面积的（—）≈（ ）%；圆中，最大正方形的面积占圆面积的（—）。
61、下图中，已知正方形的面积是20平方厘米，求图中阴影部分的面积。
62、如图，扇形的面积是157平方厘米，求图中阴影部分的面积。
63、如图，等腰直角三角形的面积是10平方厘米，求图中阴影部分的面积。
94
第十二讲 求图形面积的几种常用方法 64、图中三角形ABC的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。 A
C B
65、下图中，AOB是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。
O
A
B
66、下图中，AOB是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
A O B 95
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
67、下图中，已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
68、下图中，等腰直角三角形的面积20平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
69、正方体的棱长与圆柱的底面半径、高都相等。已知正方体的体积是50立方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？
70、正方体的棱长与圆柱的底面半径、高都相等。已知圆柱的体积是157立方厘米，那么正方体的体积是多少立方厘米？
96
第十二讲 求图形面积的几种常用方法
71、正方体的棱长与圆锥的底面半径、高都相等。已知正方体的体积是20立方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？
97
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