基本不等式训练答案

基本不等式训练

1．（2012福建理）下列不等式一定成立的是

1lg(x2)lgx(x0)4A．

（ ）

B．

sinx12(xk,kZ)sinx

C．x12|x|(xR)

211(xR)2x1D．

【答案】C

2x【解析】由基本不等式得12|x|(xR),答案C正确.

2．(2012·杭州模拟)若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )

11

A.＋有最大值4

ab

1

B．ab有最小值

4

C.a＋b有最大值2 D．a2＋b2有最小值

2 2

解析：由基本不等式，得ab≤

a2＋b2

2

＝

a＋b2

2－2ab111

，所以ab≤，故B错；＋

4ab＝

a＋bab＝1

ab≥4，故A错；由基本不等式得

a＋b2

≤ a＋b2

＝

12

，即a＋b 1

≤2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×

11

＝，故D错． 42

答案：C

1

3．(2012·兰州质检)已知p＝a＋(a>2)，q＝()x2－2(x∈R)，则p、q的大小关

a－22系为( )

1

A．p≥q B．p>q C．p解析：选A.p＝a＋

1

a－2

＝(a－2)＋

1

a－2

＋2≥4，当且仅当a＝3时等号成立；

11

2q＝()x－2≤()－2＝4，当且仅当x＝0时等号成立． 22

显然，p≥q.

4．(2012·宜昌调研)函数f(x)＝

xx＋1

的最大值为( )

212A. B. C. D．1 522

解析：选B.∵x≥0，(1)当x＝0时，f(0)＝0；

2

(2)当x>0时，f(x)＝

1

x＋

11≤，当且仅当x＝， 12xx即x＝1时取等号，故选B.

5.（2012浙江）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 （ ）

24A．5

28B．5

C．5 D．6

【答案】C

135yx【解析】x+3y=5xy,,

11313x12y13(3x4y)()()12361355yx5yx5 55.

6（2010四川）（11）设a＞b＞0，则

a211abaab的最小值是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

答案：D

11abaab解析：

a2＝

a2abab1111aba(ab)aba(ab)＝aba(ab)≥2＋2＝4

3

2当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立如取a＝2,b＝2满足条件.

21m7 . 已知a0,b0，若不等式ab2ab恒成立，则m的最大值等于（ ）

A.10 B.9 C.8 D.7

答案 B.

8．(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到

8每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

xA．60件 B．80件 C．100件 D．120件

解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，由题意得

800xy＝＋≥2

x8800x800x·＝20.当且仅当＝(x>0)， x8x8

即x＝80时“＝”成立，故选B.

二、填空题

4

9.(2010·山东)若对任意x＞0，

xx2＋3x＋1

≤a恒成立，则a的取值范围是________

[审题视点] 先求

xx2＋3x＋1

(x＞0)的最大值，要使得

xx2＋3x＋1

≤a(x＞0)恒成立，只要

xx2＋3x＋1

(x＞0)的最大值小于等于a即可．

解析 若对任意x＞0，因为x＞0，所以y＝

x1

x2＋3x＋1

＝

≤a恒成立，只需求得y＝

1

xx2＋3x＋1

的最大值即可，xx2＋3x＋1

≤1

x＋＋32

x1

＝，当且仅当x＝1时取等号，所以15x·

x1

a的取值范围是，＋∞

5

1

答案 ，＋∞

5

10.函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny10上

12其中mn0,则mn的最小值为 8

11.对于使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界．若a＞0，b＞0且a+b=1，

5

129则2ab的上确界为 。2 12..设

0m121k2，若m12m恒成立，则k的最大值为

【答案】8

12【解析】由题可知k的最大值即为m12m的最小值。

122212m2m()[2m(12m)]22()28， m12m2m12m2m12m又

取等号的条件当且仅当2m12m，即

m14。故kmax8。

13.．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)2

＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

x解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m、n)为第一象限中的点，则m＞0，n＞0，n＝

4

2

m，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋

4

m2

)≥16，(当且仅当

m2＝2，即m＝2时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.

m答案：4

6

14.若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________

4x2＋9y2

解析：由4x2＋9y2≥2kxy，且x，y>0得2k≤，

xy4x2＋9y24x2＋9y2要使2k≤对一切正数x，y恒成立，只要2k小于或等于

xyxy的最小值即可．

4x2＋9y22×2x×3y∵≥＝12，∴2k≤12＝2log212.∴k≤log212＝2＋log23.

xyxy∴整数k的最大值为3.

三、解答题

3815．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3

11

(2)当022

x23x1yx1的最小值。 (3)x>-1,则求

7

183

解：(1)y＝(2x－3)＋＋ 22x－32

3－2x38＋＝－＋. 23－2x2

3

当x<时，有3－2x>0，

2

3－2x8∴＋≥2

23－2x3－2x8

·＝4， 23－2x3－2x81

当且仅当＝，即x＝－时取等号．

23－2x2

355

于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－. 222

1

(2)∵00，

2

2x＋1－2x1121

则y＝·2x(1－2x)≤＝， 24416

1

当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取到等号，

4

8

∴ymax＝.

16

1

16．(1)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值；

111

(2)已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1求＋＋的最小值．

abc

（3）已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值

y2（4）已知x,y,z>0,x-2y+3z=0,求xz的最小值。

9