期期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，1）
2．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a7 C．（﹣3a）2＝﹣9a2
D．a4÷a＝a3
4．（3分）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25° B．30° C．50° D．130°
5．（3分）下列添括号运算错误的是（ ） A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） B．a﹣b+c＝a﹣（b+c） C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
D．a+b+c＝a+（b+c）
6．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（ ） A．3
B．6
C．3，6
D．9
7．（3分）下列因式分解错误的是（ ） A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）
B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2） C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y） D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）
）
8．（3分）长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（ ） A．5x3y4
B．6x2y3
C．6x3y4
D．
9．（3分）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
10．（3分）不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（ ） A．x＞4
B．x＞﹣2
C．x＞2
D．x＜2
11．（3分）若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（ ） A．10
B．﹣10
C．±5
D．±10
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共4小题）
13．（3分）因式分解：a2﹣4＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为 ．
16．（3分）已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝ ．
三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17．（6分）计算：
．
，b＝﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS （2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值： （1）xy； （2）x3y+xy3．
21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购
买多少件？
22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）求证：△DOE≌△FOC； （3）若AC＝7，FC＝3，求OC．
23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE． ∵∠ADE＞∠B（想一想为什么）， ∴∠C＞∠B．
（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．
如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9． （1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；
（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P． 25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M． （1）求证∠ABO＝∠CAM；
（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数； （3）如图3，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，1）
解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）， 故选：A．
2．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝AB， ∵AB＝4， ∴AC＝2， 故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a7 C．（﹣3a）2＝﹣9a2
D．a4÷a＝a3
解：a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意； （a3）4＝a12，因此选项B不符合题意； （﹣3a）2＝9a2，因此选项C不符合题意； a4÷a＝a4﹣1＝a3，因此选项D符合题意； 故选：D．
4．（3分）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
）
A．25° B．30° C．50° D．130°
解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°， ∴∠EHD＝∠EGB＝50°， ∴∠CHF＝∠EHD＝50°． 故选：C．
5．（3分）下列添括号运算错误的是（ ） A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
B．a﹣b+c＝a﹣（b+c） D．a+b+c＝a+（b+c）
解：A、a+b﹣c＝a+（b﹣c），正确，不合题意； B、a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），原式错误，符合题意； C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），正确，不合题意； D、a+b+c＝a+（b+c），正确，不合题意； 故选：B．
6．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（ ） A．3
B．6
C．3，6
D．9
解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立， 故第三边长是6， 故选：B．
7．（3分）下列因式分解错误的是（ ） A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）
B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2） C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y） D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）
解：A、原式＝3a（b﹣2c），不符合题意； B、原式＝（m﹣n）（x2+y2），不符合题意；
C、原式＝（3x+2y）（3x﹣2y），不符合题意； D、原式＝（a﹣2）2，符合题意． 故选：D．
8．（3分）长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（ ） A．5x3y4
B．6x2y3
C．6x3y4
D．
解：3x2y•2xy3＝6x3y4， 故选：C．
9．（3分）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
解：∵（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣x﹣6，
又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6， ∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6． ∴m＝﹣1． 故选：C．
10．（3分）不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（ ） A．x＞4
B．x＞﹣2
C．x＞2
D．x＜2
解：x（x+2）﹣4＞x2， x2+2x﹣4＞x2， x2+2x﹣x2＞4， 2x＞4， x＞2， 故选：C．
11．（3分）若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（ ） A．10
B．﹣10
C．±5
D．±10
解：∵x2+nx+25是完全平方式， ∴n＝±2×1×5＝±10． 故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的
周长是9，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵AC＝5， ∴BD+CD＝5． ∵△BCD的周长为9， ∴BC＝4． 故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ． 解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）． 故答案为：（a+2）（a﹣2）．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝ 6 ．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是底边BC上的中线， ∴BC＝2BD， ∵BD＝3， ∴BC＝2×3＝6． 故答案为：6．
15．（3分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，
OD＝8，则△OPD的面积为 8 ．
解：过P作PE⊥OD于E，
∵OP平分∠DOC，∠C＝90°，PC＝2， ∴PE＝PC＝2， ∵OD＝8， ∴△OPD的面积是故答案为：8．
16．（3分）已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝ 9 ． 解：9a÷27b ＝（32）a÷（33）b ＝（3）2a﹣3b，
∵ka＝4，kb＝6，kc＝9， ∴ka•kc＝kb•kb， ∴ka+c＝k2b， ∴a+c＝2b①；
﹣
∵2b+c•3b+c＝6a2，
＝＝8，
∴（2×3）b+c＝6a﹣2， ∴b+c＝a﹣2②； 联立①②得：∴
，
，
∴2b﹣a＝a﹣2﹣b， ∴2a﹣3b＝2，
∴9a÷27b
﹣
＝（3）2a3b
＝32 ＝9． 故答案为：9．
三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17．（6分）计算：解：原式＝4﹣1﹣3+3﹣＝3﹣
．
，b＝﹣1．
．
18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中解：原式＝（4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b ＝（2b2﹣4ab）÷2b ＝b﹣2a，
当a＝，b＝﹣1时，原式＝﹣1﹣2×＝﹣1﹣1＝﹣2．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS （2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
解：（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS； 故选D．
（2）证明：根据作图过程可知：
OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′， 在△ODC和△O′D′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS）， ∴∠DOC＝∠D′O′C′， ∴∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值： （1）xy； （2）x3y+xy3．
解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②， ∴由①﹣②得：4xy＝4， ∴xy＝1；
（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20， ∴x2+y2＝10，
∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．
21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？
解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元， 依题意得：解得：
．
，
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件， 依题意得：16m+4（100﹣m）≤1100， 解得：m≤58， 又∵m为非负整数， ∴m的最大值为58．
答：最多可以购买甲种工具58件．
22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）求证：△DOE≌△FOC； （3）若AC＝7，FC＝3，求OC．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB， ∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB， ∴∠B＝∠BDE＝∠DEB， ∴△BDE是等边三角形； （2）∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠CFO， 在△DOE和△FOC中，
，
∴△DOE≌△FOC（ASA）； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC＝7，
由（1）（2）得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO， ∴EC＝BC﹣BE＝4， ∴OC＝EC＝2．
23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE． ∵∠ADE＞∠B（想一想为什么）， ∴∠C＞∠B．
（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED， ∴∠ADE＞∠B；
（2）证明：由折叠知，BF＝CF， 在△ACF中，AF+FC＞AC， ∴AF+BF＞AC， ∴AB＞AC；
（3）由折叠知，∠MAE＝∠EAC，∠ADE＝∠C， ∵∠C＝2∠B， ∴∠ADE＝2∠B， ∵∠ADE＝∠B+∠BED， ∴∠B＝∠BED， ∵ME∥AC， ∴∠MEA＝∠EAC， ∵∠MAE＝∠EAC， ∴∠MAE＝∠MEA， ∵∠BEA＝110°，
∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，
∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．
如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9． （1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；
（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．
解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1） ＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2） ＝1，
∴C是否为D的“雅常式”，“雅常值”为1； （2）∵M是N的“雅常式”， ∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b） ＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b） ＝（﹣2a+2）x+a2﹣b， ∴﹣2a+2＝0， ∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b， 且当x为实数时，N的最小值为﹣2， ∴﹣1+b＝﹣2， ∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2；
（3）∵多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”， ∴b1＝b2．
∵b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数，
∴进行因式分解时（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）的部分可以两两组合，分三种情况： ①[（x+1）（x+2）][（x+5）（x+k）]， 则1+2＝5+k，解得k＝﹣2，
此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+3x）2﹣8（x2+3x）﹣24，不合题意舍去；
②[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+k）]， 则1+5＝2+k，解得k＝4，
此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4 ＝[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+4）]﹣4 ＝（x2+6x+5）（x2+6x+8）﹣4 ＝（x2+6x）2+13（x2+6x）+36
＝（x2+6x+4）（x2+6x+9），符合题意， ∵P﹣Q＞0， ∴P＝x2+6x+9；
③[（x+1）（x+k）][（x+5）（x+2）]， 则1+k＝5+2，解得k＝6，
此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+7x）2+16（x2+7x）+56，不合题意舍去；
综上，存在常数k＝4，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，此时对应的多项式P＝x2+6x+9．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M． （1）求证∠ABO＝∠CAM；
（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数； （3）如图3，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．
【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°， ∴∠BAO+∠ABO＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°， ∴∠ABO＝∠CAM； （2）解：∵CM⊥y轴， ∴∠AMC＝∠BOA＝90°，
∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM， ∴△AMC≌△BOA（AAS）， ∴CM＝AO，AM＝BO， ∵BD＝BE，BD⊥BE， ∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO＝∠DBE＝45°， ∴∠EBO＝∠BEO， ∴BO＝EO＝AM， ∴EO﹣OM＝AM﹣OM， ∴EM＝AO＝CM，
∴△CME是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°；
（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°，
∵△PAQ是等腰直角三角形， ∴PA＝QA，∠PAQ＝∠CAB＝90°， ∴∠PAQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC， 即∠PAC＝∠QAB， ∵AC＝AB，
∴△PAC≌△QAB（SAS）， ∴∠APC＝∠AQB， ∵∠AKP＝∠QKN， ∴∠QNK＝∠PAK＝90°， ∵CM⊥y轴， ∴CM∥NO，
∴∠NCM＝∠KNO＝90°，
在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：
∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°， ∴△CNI≌△CMH（SAS）， ∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，
∴∠NCG+∠NCI＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，
∴△GCI≌△GCH（SAS）， ∴GI＝GH，
∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5， ∴GH＝5．
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