材料力学习题解答[第八章49-76]

8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为1:2:33:1:1；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa时发生塑性破坏。若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。 解： 令主应力分别为：

13，23脆性断裂时，由第一强度理论

所以，

r13=770MPa1257MPa塑性破坏时，由第三强度理论

3

r1323132626MPa 所以

313MPa故，试件将发生脆性断裂。破坏时

1770MPa，23257MPa

8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径d800mm，壁厚4mm，材料的[]120MPa，试根据强度理论确定容器的许可内压p。 解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。

'''

'pdpd50p ，\"100p 42'\" 其三个主应力为1100p， 250p，

30

据第三强度理论

题 8-50 图r13100p3120MPa3

所以 ，p31.2MPa，许可内压p31.2MPa 据第四强度理论

r4112223231286.6p4120MPa 2所以，p41.39MPa，许可内压p41.39MPa

8-51 空心薄壁钢球，其平均内径d200mm，承受内压p15MPa，钢的

[]160MPa。试根据第三强度理论确定钢球的壁厚。

解：钢球上任一点应力状态如图示

其三个主应力为：12，30 而

题 8-51 图pR22Rp2d2150.24MPa34MPa

据第三强度理论

r1333160MPa 4 所以

314.69103m4.69mm

4160

8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径d100mm，壁厚10mm，承受内压p5MPa，且在两端受压力F100kN和外扭矩T3kNm作用，材料的许用拉应力[]40MPa，许用压应力[]160MPa，泊松比0.25，试用莫尔强度理论校核其强度。

dFTT''Fp'图 8-77解：铸铁圆筒壁上任一点应力状态如图示：

题 8-52 图'F1d2d22425.37106Pa25.57MPa\"pd'100103451060.082240.10.0840.01

pd'51060.0820106Pa20MPa

220.01MxT3103161WP0.1310.84 34d10.81625.88106Pa25.88MPa其三个主应力为

1'\"2'\"25.372025.37202225.8822222

31.72MPa20，337.1MPa

由莫尔强度理论：

r15331.724037.141MPa40MPa 160

8-53 外伸梁如图8-78所示。设[]140MPa，试选择Ⅰ字钢型号。 解：

30kN45kN/m20kN.m1m2m2m1mF124.420+-30题 8-53 图F2M /kN.m-20由外伸梁的平衡，可得F1100KN，F220KN

由M图可知 , Mmax30KNm

由强度条件, max=

MmaxW

即

WMmax301034323 2.1410m2.1410cm6140103 据此可查表选工字钢型号20a, 其W237cm，满足要求。

8-54 圆杆如图8-79所示。已知d10mm，TFd/10，若材料为：（1）铸铁，（2）钢材，[]160MPa。试求两种情况的许可载荷F。 []30MPa；

TF图 8-79题 8-54 图解：圆杆外表面上各点是危险点，其右力状态相同，如图示

F4F4F3212.7310F2Ad0.01TFd/1016F5.093103F 21WPd3100.011633 其三个主应力为114.5210F，31.7810F，20

若

1)铸铁，据第一强度理论r1114.5210F330106Pa

即，F2.07103N2.07KN ，许可载荷F2.07KN

2）钢材，据第三强度理论r31316.310F16010Pa36

即，F9.82103N9.82KN ，许可载荷F9.82KN

F2F1bllh

8-55 悬臂梁受到水平平面内F1和垂直平面内F2的作用（图8-80）。已知F1=800N，F2=1650N，l=1m。（1）若截面为矩形，b=90mm，h=180mm，E=10Gpa,[σ]=10MPa,[w]=l/100,试校核该梁的强度和刚度。（2）若截面为圆形，d=130mm,试求最大正应力。 解：

yyF2F1xAzzBMzF2.lMy2F2.l题 8-55 图(1) 截面为矩形。

F1,F2所产生的最大弯矩为：

Mymax2F1l280011600Nm

MzmaxF2l165011650Nm

固定端截面为危险截面。

危险截面上A、B点为危险点, A点：

maxMzmax160016509.98106Pa11WyWz0.0920.180.090.182 6610MPaMymax B点：

maxMymaxWyMzmax9.98106Pa10MPa Wz

所以该梁满足强度要求。

显然，悬臂端挠度最大，其值为：

F12l80023wz19.5103m19.5mm13EIy3101090.180.0931235F2l35165013wy3.14103m3.14mm16EIz6101090.090.18312wmaxwywz19.523.14219.8mmw2211lm 100100所以该梁不满足刚度要求。

（2）截面为圆形。

危险截面仍为固定端截面，其上弯矩为：

MmaxMymaxMzmax16002165022298Nm

最大正应力为：

22max

MmaxMmax229810.7106Pa10.7MPa 11Wd30.13332328-56 图8-81所示为一檀条，若h/b2，q1450N/m，[]12MPa，试选择截面尺寸。

qbq4m图 8-81h26.5°

题8-56图

解 ： 易知，檩条跨中截面为危险截面，其上弯矩为：

11Mzqcos26.5l821450cos26.54822.60103NmMy11qsin26.5l21450sin26.5421.29103Nm 88 A,B点为危险点.

yqB A点：

zA题 8-56 图3My6My6MzMzMz1212WyWz2b34b3bhbh6612My6Mz121.2910362.6010361210Pa334b4bmaxMy

所以，b86.510m86.5mm，h2b173mm

B点为压应力最大点，其分析同A点，略。 所以，截面尺寸b86.5mm，h173mm。

8-57 已知一悬臂梁的横截面为L16016的等边角钢，受力如图8-82所示，

（2）确定中性轴方程；（3）F15kN,l1m。(1)求固定端截面上ABC三点处的正应力；

求自由端挠度的大小和方向。

FFxAzOyl

题8-57图

解:

固定端截面上的弯矩为：

BC MyFcos45l15cos4517.52KNm

 MzFsin45l15sin4517.52KNm

 其上A,B,C三点处正应力分别为：

A点，

Mz7.521037.521036A205.210Pa2.502MPa

WyWz164.8910675.31106MyMz7.52103B点，B140.8MPa

Wz75.31106Mz7.521037.52103C点，C76.51MPa 66WyWz164.891075.3110My固定端截面上各点正应力：

MyIyMz7.521037.52103zyzy 88Iz1865.5710484.5910令0，则z+3.85y=0 即是中性轴方程。

Fcos45l315103cos4513wy3.648103m 983EIz320010484.5910Fsin45l315103sin45134wz9.47610m 983EIy3200101865.5710所以，自由端挠度

22wmaxwywz33.648109.476103242

3.7710m3.77mm 挠度方向，与y轴正向夹角

180arccoswyw18014.62194.62

8-58 一受拉杆原截面尺寸为405mm的矩形（图8-83），拉力F=12kN通过杆的轴线，现需在拉杆上开一切口，如不计应力集中影响，材料的[]100MPa，问切口的许可深度为多少？

40FF图 8-83题8-58图

解：设切口深度为hmm

切口处横截面上的内力分析，

FNF12KN, MF 危险点应力分析，

h6103hNm 2FNM121036103h103''40h10351031510340h1032AW 6964.8h109σ100MPa240hmax即，964.8h1040h

22得，h的合理解范围，h5.21mm 所以切口许可深度为5.21mm。

8-59 钩头螺栓的直径d20mm，当拧紧螺母时承受偏心力F的作用（图8-84），若

[]120MPa，试求许可载荷F。

题8-59图

解：螺栓横截面上的内力分析，

FNF ，M0.02FNm

所以螺栓在F作用下会产生弯曲，拉伸组合变形。 横截面上危险点的应力分析

10.02F0.02FFNMFF0.028σ max1113AWd2d30.02 4323228.65103Fσ100MPa所以，F3.49KN

即 F许可值为3.49KN。

8-60 图8-85所示为一钻床，若F15kN，许用拉应力[]35MPa，试计算铸铁立柱所需的直径d。

题8-60图

解：立柱横截面内力分析，

FNF15KN，MF0.4150.46KNm

危险点应力分析，

σmaxFNMFNM4FNd32M415103d326103AW1d21d3d3d3

432σ35106Pa43即 d5.4610d1.751030

解得，d122103m122mm

所以，立柱所需的直径d=122mm。

8-61 如图8-86所示电动机的功率p8.8kW，转速n800r/min，皮带轮的直径

D250mm，重量W700N，轴可看成长为l120mm的悬臂梁，轴材料的许用应力

[]100MPa，试按第四强度理论设计轴的直径d。

lDd45°W题8-61图 图 8-86F2F解：

将载荷向轴简化后，可知，轴属于弯扭组合变形。

P8.89549105Nm n800D11又，T2FFFD0.25F105

222 T9549F840N

Fz2FFcos453840cos45126021782N

Fy2FFsin45W3840sin457002482N

yTxFz105 N.mFyMxMz297.8 N.mMy213.8 N.m题 8-61 图由内力图可知固定端截面是危险截面，其上内力分别为：

Mx105Nm，My213.8Nm，Mz297.8Nm

MMyMz366.6Nm

按第四强度理论

22σr413238472M20.75Mx3366.620.7510523Wdd σ100106Pa即，d338473.847105m610010 d33.8mm

所以，轴的直径

d33.8mm

8-62 轴上装有一斜齿轮，其受力简图如图8-87所示。F1=650N，F2=650N，F3=1730N。

若轴的[]90MPa，试按第三强度理论选择轴的直径。

MxF1100F2100图 8-87题8-62图

Ø50F3F2解：将载荷向轴简化，如图示，可得，轴属拉伸、弯曲、扭转组合变形。

FxF1650N，MF10.0256500.02516.25Nm FyF2650N

FzF31730N，TF30.02517300.02543.25Nm

.

yFyFxzTMFN/NxFz-650Mx/N.m43.2586.5My/N.mMz/N.m24.37540.625题 8-62 图由内力图可见，危险截面为跨中截面，其上内力大小为：

FN650N压，Mx43.25Nm My86.5Nm，Mz40.625Nm 合成弯矩

MMyMz86.5240.625295.56Nm 危险点应力状态如图示，为二向应力状态，其中，

22

FNM4FN32M46503295.56827.6973.4AWd2d3d2d3d2d3

Mx16Mx1643.25220.3WPd3d3d3

据第三强度理论，

827.6973.4220.3σr3σ24τ22334σddd

22可求得，d23mm

所以，轴的直径d23mm

8-63 图8-88所示飞机起落架的折轴为管状截面，内径d=70mm，外径D=80mm，承受载

荷F1=1kN，F2=4kN，材料的许用应力[]100MPa，试按第三强度理论校核折轴的强度。

题8-63图

解：折轴在载荷作用下产生压缩、弯曲、扭转组合变形，固定端截面为危险截面，

其上内力为，FNF24004002502240.8483.39KN压

MyF225015010341034001031600Nm

MzF10.420.4211030.424002Nm

MxF10.150.40.40.252210.150.40.40.2522127.2Nm

合成弯矩

MMyMz16002(4002)21697Nm危险点应力状态如图示，为二向应力状态 22

FNM4FN32M43.39103σAWD2d2D3140.0820.072

3216977430.081884.5106Pa84.5MPa题 8-63 图

Mx127.22.88106Pa2.88MPa222R237.51035103据第三强度理论

σrσ24τ2384.51042.8810626284.7106Pa

σ100106Pa 所以折轴满足强度要求。

8-64 作用于曲柄上的力F垂直于低面，指向向前，F=20kN，其它尺寸如图8-89所示。

若曲柄材料的[]80MPa，试按第四强度理论校核强度。

题8-64图

解： 截面A-A,C-C为危险截面.

A-A截面,内力分析,

MF0.4201030.48103Nm

MXF0.320100.3610Nm据第四强度理论

33

1WM20.75Mx32328100.75(6103)230.125 49.7106Paσ80MPa2C-C 截面,内力分析

MF0.3201030.36103Nm

MxF0.15201030.153103Nm

C-C截面上c,d二点为危险点

c点，应力状态如图示,

'

cM610362.62106Pa26.2MPa2W0.070.14

Mx3103τv20.79614.2106Pa2 αbh0.2460.070.1414.2MPa'据第四强度理论

23'26.22314.2235.9MPa80MPa2

d点，应力状态如图示，

''dMx3103τ217.8MPa

αbh0.2460.0720.14''据第四强度理论

σ23τ''2317.8230.8MPaσ80MPa

所以曲轴满足强度要求。

8-65 截面为正方形44mm的弹簧垫圈，承受两个可视为共线的F力(图8-90)，垫圈材料的[]600MPa，试按第三强度理论求许可载荷F。

题8-65图

解：截面A-A，B-B为危险截面。

A ABB'FF

A-A截面,内力分析,

MXF0.0240.024FNm

危险点应力分析，应力状态如图示,

τ

Mx0.024F1.8FMPa323αbh0.208410

据第三强度理论

σ24τ241.8F3.6FMPaσ600MPa2即，F166.7N B-B截面,内力分析,

MXF0.0120.012FNm

MF0.0120.012FNm 危险点上应力分析，应力状态如图所示

τ'Mx0.012F0.9FMPa

αb2h0.20841033σM0.012F1.125FMPa W1410336据第三强度理论

σ24τ'21.125F240.9F22.12FMPaσ600MPa

即，F283N

所以，弹簧垫圈许可载荷F166.7N。

8-66 图8-91所示结构中，BD和CE均为圆截面杆，直径d=10mm，AC和DF均为矩形截面梁，宽度b=12mm，高度h=24mm。杆和梁的材料相同，其[]160MPa。已知

l200mm，试求该结构的许可载荷F。

lBF/2DlElCF/2l 图 8-91 题8-66图

解：由AC，DF梁的平衡及BD杆为二力杆，CE杆的平衡，可得，

FCF压, FE4F压， 3322FBF拉， FDF拉

33max CE杆，轴向压缩变形，其轴力最大值 FN由强度条件，

4F 344FFFNmax3=316.98103FPaσ160106Pa

2121Aπdπ10244即F9423N

AC梁，弯曲变形，

ABCFAMmaxFClF10.2F 315FBFC由强度条件,

maxMmax10.0120.02426即F2763N

W1F1557.9103FPa160106Pa

DF梁，弯曲变形，

DEFFD

FE22F0.2F 315FFMmaxFDl由强度条件,

Mmax115.7103FPa160106Pa1W0.0120.02426 即F1383N

所以，该结构许可载荷F1383N

max2F15

8-67 图8-92所示结构的材料为Q235钢。横梁AB为I14号Ⅰ字钢，竖杆CD为圆截面，直径d=20mm。已知a1.25m,l0.55m,30°，F25kN，[]160MPa。试问该结构是否安全。

ACaDBlaF图 8-92解：由AB梁的平衡,

题8-67图

MFA0，FCDaFsin2a0

FCD2Fsin30225sin3025KN

x0，FcosFAx0,

FAxFcos2cos3021.65KN

MB0，FAy2FCDa0,

FAy1FCD12.5KN 2B

FAxACFAyFCD+F21.65FN/kNM/kN.m15.63maxAB梁危险截面为C截面，其内力大小为：

FN21.65KN，M15.63KNm

C截面上危险点的应力状态如图示,

maxFNM21.6510315.63103163.3106Pa160MPa 46AW21.51010210 超过σ5%以内，可认为AB梁的强度满足要求，则该结构安全。

8-68 在图8-93所示杆系中，BC和BD两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]。为试杆系使用的材料最省，试求夹角的值（压杆不考虑稳定性）。

Fl

题8-68图图 8-93解：由B节点平衡，可得 ，FBC BC 杆，F拉，FBDFcot压 sinFBCFF ，即A1sinA1A1sin BD 杆，

FBDFcotFcot ，即A2A2A2 杆系使用材料数量与LBCA1LBDA2成正比。材料最省时，A1,A2取最小值,

1FFALBCA1LBDA2LBD1A2LBDcotαcosασsinαcosασFlBD1FlBD1cosαFlBDcos2α3cotασsinαcosασsinαcosασsin2α132

求得，cos2，即54.7时，LBCA1LBDA2取得最小值，材料最省。

8-69 像矿山升降机钢缆这类很长的拉杆，应考虑其自重的影响。设材料单位体积的自重为r,许用应力为[]。钢缆下端受拉力F，试求钢缆的允许长度及其总伸长。

解：钢缆下x截面内力为：FNFγdxAFγAl

0l FNFrl AA FNσFσA 即，lγγ总伸长Δldxll0FAσF AγγAlFFNxdtγAxdx1γA2Fll0EAEAEA221AσFγAA2σF22FAσF22EAγA2γA

A2σF2γAσγF222EγA2EγA21222x2F

题8-69图

8-70 如图8-94所示T字形薄壁截面杆长l2m,材料的G80GPa，承受扭矩

Mx400Nm，允许切应力[]60MPa，两端相对允许扭转角为5°，试校核该杆的

强度和刚度，并画出切应力沿周边和厚度的分布情况。

12012010

图 8-94 题8-70图

解： 强度校核，

maxMxmax4001010350106Pa50MPa60MPa1In0.120.01323

满足强度要求。 刚度校核，

10MxlGIn40020.125rad7.1651801090.120.01323 不满足刚度要求。

8-71 若图8-95中1、2两根弹簧的簧圈平均半径、材料和簧丝横截面的直径都相同，如要求两根弹簧的受力相等，试求两根弹簧的圈数之比。设横梁为刚体。（计算弹簧变形的公式为8FD3n/(Gd4)）。

12llF 题8-71图

解：由变形协调关系易知221

已知F2F1

两根弹簧变形量分别为

图 8-958F1D3n18F2D3n11，2 44GdGd得

1F1n12F2n2所以

n111 n222

题8-72图

8-72 用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图8-96所示，每块木板的横截面皆为15025mm。若每一螺钉的许可剪力为1.1kN,试确定螺钉的间距S。设F5.5kN。 解：

3F/4+-FQF/4由内力图可知，FQmax33F5.54.125KN 44横截面上接缝处各点切应力的大小

τ*FQmaxSZIZb4.1251030.0150.0250.0750.0125113320.0250.1520.150.0250.150.0250.08752121214.1251033.2811053376.610Pa 520.0257.1881020.025

单条接缝所受剪力 Fτ0.025437.6610N 单条接缝需螺钉数n螺钉间距S

8-73 以 F力将放置于地面的钢筋提起（图8-97）。若钢筋单位长度的重量为q，当l12l2时，试求所需的F力。

3F34.24个 31.11040.117m117mm n

题8-73图

解：

Fql2l1B

wCql1l28EI4242Fl23l13l2l2

6EI6q3l18F4l13l14l1486Fl12224Fl10

48EI48EI3即 224Fl1486ql10 所以，F2.17ql1

8-74 图8-98所示端截面密封的曲管外径为100mm，壁厚δ=5mm，内压p=8MPa ，集中力F=3kN，[σ]=160MPa。A、B两点在管的外表面上，一为截面垂直直径的端点，一为水平直径的端点。试用第三强度理论校核这两点的强度。

34y1m1mAB1mFozx

解：AB二点所在截面内力：

MXF1310313103Nm MZF13103Nm

A点应力状态如图示 ''A'p0.1MZ81060.13103σ'128.9016Pa14δWZ40.005π0.1310.9432

p0.181060.1σ\"80106Pa

2δ20.005MX3103638.201Pa2220.0520.050.005

主应力为：σ1149.8MPa，σ259.1MPa，σ30

据第三强度理论，r313149.8MPa160MPa，满足强度要求 B点应力状态如图示

''p0.181060.1σ'40106Pa

4δ40.005σ\"'Bp0.180.180106Pa 2δ20.005τ38.2106Pa

主应力为：σ1103.1MPa，σ20，σ316.88MPa

据第三强度理论，r313103MPa160MPa，满足强度要求

8-75 铝合金2219-T851的抗拉强度极限为b454MPa，断裂韧性kIC32MPam。合金钢AISI4340的b1827MPa，kIC59MPam。若由两种材料制成的尺寸相同的平板都有2a2mm的穿透裂纹，且设这两种材料都可近似的作为线弹性材料，试求使裂纹失稳扩展的应力，并分析是否会发生裂纹扩展现象。 解：

铝合金：K1即

a103KIC32MPam

570.9MPa时，裂纹失稳扩展。

570.9MPab454MPa

所以会发生裂纹扩展现象。 合金钢：K1即

a103KIC59MPam

1052.6MPa时，裂纹失稳扩展

σ1052.6MPaσb1827MPa

所以不会发生裂纹扩展现象。

8-76 如图8-99所示承受内压的薄壁圆筒上有一长为2a3.8mm的穿透裂纹，容器内径

d100mm，壁厚5mm，材料的kIC37MPam，试求断裂时的临界内压p。

题8-76图

解： pdp0.110p 220.005K1a10p1.9103KIC37MPam

即 p47.9MPa为断裂时临界内压。