1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值； （3）若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（4）若点E为抛物线的顶点，点F（3，a）是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上分别找点M、N使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），即﹣5a＝5，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
5𝑘+𝑏=0𝑘=−1（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：{，解得：{，
𝑏=5𝑏=5故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5， 过点P作PH∥y轴交BC于点H，
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设点P（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+5）， S△BPC=
1515125
×PH×OB=（﹣x2+4x+5+x﹣5）=（x−）2+， 22228521258
故：当x=时，S△BPC的最大值为；
（3）B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况， △ABC∽△DCB或△ABC∽△BCD，
𝐴𝐵𝐶𝐷
=
𝐵𝐶𝐵𝐶
或
𝐴𝐵𝐵𝐶
=
𝐵𝐶𝐶𝐷
，
其中，AB＝6，BC＝5√2， 解得：CD＝6或
253
，
10
则点D（0，﹣1）或（0，−3）；
（4）作E点轴的对称点E′（﹣2，9），作点F（3，8）关于x轴的对称点F′（3，﹣8）， 连接E′、F′分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形EFMN的周长最小，
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𝑚=−9=−2𝑚+𝑛5，将点E′、F′的坐标代入一次函数y＝mx+n的表达式得：{，解得：{
11−8=3𝑚+𝑛𝑛=
517
故直线E′F′的表达式为：y=−5x+5， 令x＝0，则y=
1111
，令y＝0，则x=， 517115
1711
即点N、M坐标分别为（0，
）、（
1117
，0）．
2．如图，抛物线y=2𝑥2−2x﹣2与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点，连结PC，PB．
①是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．
②连结AC，AP，AP交BC于点F，当∠CAP＝∠ABC时，求直线AP的函数表达式．
13
解：（1）令y＝0，则x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2， 即点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣2）； （2）①存在，理由：过点P作HP∥y轴交BC于点H，
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𝑏=−20=4𝑘+𝑏
将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：{，解得：{1，
𝑘=2𝑏=−2故直线BC的表达式为：y=2x﹣2，
设点P坐标为（x，𝑥2−x﹣2）、H（x，x﹣2），
2
2
2
1
3
1
1
S△PBC=
11113
×PH×OB=×（x﹣2−𝑥2+x+2）×4＝﹣x2+4x， 22222
∵﹣1＜0，故S△PBC有最大值，
当x＝2时，面积的最大值为4，此时点P（2，﹣3）； ②∠CAP＝∠ABC，∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△BCA， ∴AC2＝BC•CF，其中AC=√5，BC＝2√5， 故：CF=2，BF＝BC﹣CF=2， 设点F的坐标为（m，m﹣2），
2
3√52
则：BF＝（m﹣4）+（m﹣2）＝（），
22
2
2
2
√53√51
1
解得：m＝1或7（舍去m＝7）， 故点F坐标（1，−2），
将点A、F坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，
同理可得：直线AF（或直线AP）的表达式为：y=−4x−4．
3．如图1，抛物线y=−6x2+3x+6与x轴交于A、B（B在A的左侧）两点，与y轴交于点C，将直线AC沿y轴正方向平移2个单位得到直线A′C′，将抛物线的对称轴沿x轴正方向平移
32
1
2√33
3
3
√3个单位得到直线l．
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（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P为直线A′C′上方抛物线上一动点，连接PC、PA与直线A′C′分别交于点E、F，过点P作PP1⊥l于点P1，M是线段AC上一动点，过M作MN⊥A′C′于点N，连接P1M，当△PCA的面积最大时，求P1M+MN+2NA′的最小值； （3）如图3，连接BC，将△BOC绕点A顺时针旋转60°后得到△B1O1C1，点R是直线l上一点，在直角坐标平面内是否存在一点S，使得以点O1、C1、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
√2
解：（1）令y＝0，则−6x2+3x+6＝0， 解得x1＝6√3，x2＝﹣2√3， ∵B在A的左侧
∴A（6√3，0），B（﹣2√3，0） 令x＝0，则y＝6，即C（0，6），
设直线AC解析式为y＝kx+b，把A（6√3，0），C（0，6）代入， ∴{6√3𝑘+𝑏=0，解得：{𝑘=−3， 𝑏=6𝑏=6所以直线AC解析式为：𝑦=−3𝑥+6；
（2）如图1，过P作PH⊥x轴交AC于点H， ∴S△PCA=2PH•（xA﹣xC）＝3√3PH，
1
√3√312√3 第 5 页 共 13 页
∴当PH取最大值时，S△PCA最大，
设P（m，−6m2+3m+6），H（m，−3m+6）， ∴PH=−m2+√3m，（0＜m＜6√3）， =−6（m﹣3√3）2+2， ∴当m＝3√3时，PH取最大值， 此时P（3√3，
1521
61
9
161
2√3√3），
2√3x+6中， 3在抛物线y=−x2+对称轴为x=−
𝑏
=2√3， 2𝑎7√3， 2∴由平移知直线l为：x=∴P1（
7√315
，）， 22
设直线l与x轴的垂足为Q，连接P1A， 在Rt△P1AQ中， QA=
5√315
，P1Q=，P1A＝5√3， 22∴tan∠P1AQ=√3， ∴∠P1AQ＝60°，
作P1关于直线AC的对称点P1′，连接P1P1′，与直线AC、A’C’分别交于S、T点， 则△AP1P1′是等边三角形，
∴P1′A＝P1A＝5√3，P1′（√3，0）， ∵MN⊥AC，CC'＝2，∠C'A'A＝30°， ∴MN=√3，
将P1′沿MN方向平移√3个单位得到P1′'（
3√32
，），将直线A’C’绕点A’顺时针
2
3
旋转45°得到直线l1，过点P1′'作P1′'G⊥l1于点G，与A’C’的交点即为N点， 易知△P1′'TN和△A'GN都为等腰直角三角形， ∴P1′'N=√2P1′'T=2，A'N＝A'T﹣TN=∴GN=
21√25√6−4， 45√621−5√3， 2 第 6 页 共 13 页
∴（P1M+MN+
√22NA′）最小=
21√25√6++√3； 44（3）连接OO1，则△OO1B为等边三角形，
∴∠O1OA＝∠OAO1＝∠OO1A＝60°，OO1＝O1A＝OA＝6√3， ∴O1（3√3，9），B1（2√3，12），C1（6√3，12）， ①如图2﹣1，当四边形Q1RS1C1为矩形时， xR﹣xO1=2−3√3=2，
∵由题意知，QR与直线l的夹角为30°， ∴yQ1﹣yR=∴xS1＝xC1+∴S1（
√37√3√32×√3=， =
13√3321
，yS1＝yC1−=， 2223
2√3213√321
，）， 22
11√321√333
，），S3（，−2222
同理可求出S2（
，S4（√6）
11√321
，+22
， √6）
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综上所述：在直角坐标平面内存在一点S，使得以点O1、C1、R、S为顶点的四边形是矩形，坐标是S1（
13√32111√321√333
，），S2（，），S3（，−222222
，S4（√6）
11√321
，+22
． √6）
4．已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；
（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为CG的长．
9√25
，求线段
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证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC， ∴BE＝EC， ∴AB＝AC， 又∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OB， ∴∠BAD＝∠ABO， ∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD， ∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，
∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD； （2）如图2，连接AG，
∵AD是直径， ∴∠AGD＝90°， ∵点H是DG中点， ∴DH＝HG， 又∵AO＝DO，
∴OH∥AG，AG＝2OH， ∴∠AGD＝∠OHD＝90°， ∵DG∥BF， ∴∠BOE＝∠ODH，
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又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO， ∴△BOE≌△ODH（AAS）， ∴BE＝OH；
（3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N，
设DG＝DE＝2x， ∴DH＝HG＝x， ∵△BOE≌△ODH， ∴OE＝DH＝x， ∴OD＝3x＝OA＝OB， ∴BE=√𝑂𝐵
2−𝑂𝐸2=√9𝑥2−𝑥2=2√2x，
∵∠BAE＝∠CAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CAE=𝐴𝐸=𝐴𝑁， ∴
2√2𝑥𝑁𝐹
=， 4𝑥𝐴𝑁
𝐵𝐸
𝑁𝐹
∴AN=√2NF， ∵∠BOE＝∠NOF， ∴tan∠BOE＝tan∠NOF=∴
2√2𝑥𝑁𝐹
=， 𝑥𝑂𝑁
√2𝐵𝐸𝑁𝐹
=， 𝑂𝐸𝑂𝑁∴ON=4NF，
∴AO＝AN+ON=4NF， ∵△AOF的面积为
1
19√255√2，
9√2∴×AO×NF=2×4NF2=5， 2∴NF=5，
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5√26√2∴AO=
5√2NF＝3＝3x， 4∴x＝1，
∴BE＝2√2=OH，AE＝4，DG＝DE＝2， ∴AC=√𝐴𝐸2+𝐶𝐸2=√16+8=2√6，
如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，
由（2）可知：AG＝2OH＝4√2， ∵四边形ADGC是圆内接四边形， ∴∠ACM＝∠ADG， 又∵∠AMC＝∠AGD＝90°， ∴△ACM∽△ADG， ∴∴𝐴𝐷𝐴𝐶62√6=
𝐴𝐺𝐴𝑀
=
𝐷𝐺𝐶𝑀
，
=
4√22
=， 𝐴𝑀𝐶𝑀
8√3∴CM=3，AM=3， ∴GM=√𝐴𝐺
22√6−𝐴𝑀2=√32−
644√6=， 33∴CG＝GM﹣CM=
2√6． 35．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 90°或270° ； 证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D． 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和
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BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°， 故答案为：90°或270°；
（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上， ∴∠BAM+∠BCN＝90°， 即∠BAD+∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下： ∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示： ∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60° ∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADB+∠BDC＝30°， ∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∴AD2+AF2＝DF2，
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∴AD2+CD2＝BD2．
第 13 页 共 13 页
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