抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

p2x1x2，y1y2p2。

4

例：已知直线AB是过抛物线

y22px(p0)焦点F，求证：

11为定值。 AFBF

2结论二：（1）若AB是抛物线y2px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

AB2P（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）

2sin最短。

例：已知过抛物线

y29x的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。AB倾斜角为

2或。 33

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。 y22px(p0)的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线

y M P O N B A

Q F x

结论四：若抛物线方程为y22px(p0)，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA

⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线x22py(p0)，其参数方程为2pt)，O为抛物线的顶点，显然kOP坐标为(2pt，2x2pt，2设抛物线x22py上动点Py2pt，2pt2t，即t的几何意义为过抛物线顶2pt点O的动弦OP的斜率．

例 直线y2x与抛物线y2px(p0)相交于原点和且线段AB长为513，求P的值．

2A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，

2ptA)，(2ptB，2ptB)，则tA，B分别为(2ptA，解析：设点A22111，tBkOA2． kOA2kOB分

别

为

A，B的坐

2标

p5p2．，p，(8p，4p)∴AB8p(p4p)13p513．∴p2． 222

练习：

1.过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则

1111= 故4a】 pqpq2.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

pp【证明：抛物线焦点为F，0．设直线AB的方程为xmy，代入抛物线方程，得

22y22pmyp20．若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2． ∵BC∥x轴，且点C在准线kCO2p； y12 又由y12px1，得kAOy12p， 故kCOkAO，即直线AC经过原点O．】 x1y1

3.已知抛物线的焦点是F(11)，，准线方程是xy20，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．

【解：设P(x，y)是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得(x1)(y1) 整理，得xy2xy8x8y0，此即为所求抛物线的方程．

抛物线的对称轴应是过焦点F(11)，且与准线xy20垂直的直线，因此有对称轴方程

2222xy22．

yx．

设对称轴与准线的交点为M，可求得M(1，1)，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是

(0，0)】

备选

1.抛物线的顶点坐标是A(1，0)，准线l的方程是x2y20，试求该抛物线的焦点坐标和方程．

解：依题意，抛物线的对称轴方程为2xy20．

设对称轴和准线的交点是M，可以求得M，652．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点5坐标为F，． 再设P(x，y)是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得

22x2y24222，化简整理得4xy4xy4x12y0，即为所求抛物线的xy5554255

方程．

例2 已知A，B为抛物线x24y上两点，且OAOB，求线段AB中点的轨迹方程． 144解析：设kOAt，OBOAkOB，据t的几何意义，可得A(4t，4t2)，B，2．设线

ttt141x24tt2tt，段中点P(x，y)，则

141y4t22t2.222tt