高中数学知识点总结

[全国通用]高中数学高考知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1 若BA，则实数a的值构成的集合为1 （答：1，0，）

3

3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n； （2）若ABABA，ABB； （3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a 2xa 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴

a·35023aa·55052a5a1，9，25）

3∵5M，∴ 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”(). 若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_。 （答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令t2x1exx，求f(x). x1，则t0

 ∴xt1 ∴f(t)et ∴f(x)e21t21 x21x0

x21 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)1x2xx0的反函数 x0x1x1 （答：f1(x)） xx0 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

1（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。） 如：求ylog1x2x的单调区间

22 （设ux2x，由u0则0x2 且log1u，ux11，如图：

222 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2 当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2 ∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

B. 1

2 C. 2 D. 3

（令f'(x)3xa3xaax0 33 则xa或x3a 3a1，即a3 3 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a 如：若f(x)x21 （∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a20，∴a1） 即0212x， 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41

求f(x)在1，1上的解析式。

2x （令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x 又f(x)为奇函数，∴f(x)x x41142xx41 又f(0)0，∴f(x)x24x1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

x(1，0)x0x0，1）

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb 即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx) 则f(x)是周期函数，2ab为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称 f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

a(a0)个单位yf(xa) 将yf(x)图象左移右移a(a0)个单位yf(xa)b(b0)个单位yf(xa)b 上移下移b(b0)个单位yf(xa)b 注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：ykk0推广为ybkk0是中心O'(a，b)的双曲线。

xxa2b4acb2 （3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线 2a4a2b4acb2b 顶点坐标为，，对称轴x

4a2a2a 开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a a0，向下，ymax4acb2

4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0b2 如：二次方程axbxc0的两根都大于kk 2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0 （4）指数函数：yaxa0，a1  （5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0（6）“对勾函数”yxkk0

x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y k O k x 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a1(a0)，a amn0p

1(a0) apnam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0 logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nnlogax 对数恒等式：ax

对数换底公式：logab 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

logcbnlogambnlogab

logcam 如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2…… 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值： （1）y2x3134x （2）y2x4 x32x2 （3）x3，y

x3 （4）yx49x （5）y4x2设x3cos，0，

9，x(0，1] x11l·R·R2） 22

R

1弧度 O R 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l·R，S扇

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

如：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

 又如：求函数y12cosx的定义域和值域。 2 （∵12cosx）12sinx0

2 ∴sinx2，如图： 2

∴2k5x2kkZ，0y12 44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx1，cosx1

y ytgx x   O  22

对称点为k

，0，kZ 2，2kkZ 22 ysinx的增区间为2k 减区间为2k，2k3kZ

22 图象的对称点为k，0，对称轴为xk ycosx的增区间为2k，2kkZ 减区间为2k，2k2kZ

kZ 2 图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ 2 ytanx的增区间为k，kkZ

22 26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx （1）振幅|A|，周期T2 || 若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令x依次为0，，，3，2，求出x与y，依点（x，y）作

22图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）



(x1)0 如图列出

(x2)2 解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T || 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cosx （∵x23，x，，求x值。 622375513，∴x，∴x，∴x） 26636412 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

x'xh a(h，k) （1）点P（x，y）P'（x'，y'），则平移至y'yk （2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0  如：函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？ 4 （y2sin2x1横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x1 424

1个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx 4左平移个单位12ysinx） 纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantan·cotcos·sectan2222 4sincos0……称为1的代换。 2 “k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”

2指k取奇、偶数。

7 如：cos9tansin2164

D. 正值

又如：函数y A. 正值或负值

sintan，则y的值为coscot

B. 负值

C. 非负值

sin2sincos1cos （y0，∵0）

coscos2sin1cossinsin 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

sin22sincos sinsincoscossin令coscoscossinsincos2cos2sin2 令tantantan22 2cos112sin 1tan·tan1cos22 1cos22sin2cos2tan2

2tan 1tan2

asinbcos sincosa2b2sin，tan 4b a2sin

sin3cos2sin 3 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

 （1）角的变换：如，……

222 （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23sincoscos1 （由已知得： 1，∴tan2sin22sin2 如：已知 又tan2 321tantan1 ∴tan2tan32）

1tan·tan12·1832 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2c2a2 余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinAabc 正弦定理：2Rb2RsinB sinAsinBsinCc2RsinC S1a·bsinC 2 ∵ABC，∴ABC ∴sinABsinC，sin 如ABC中，2sin （1）求角C；

2ABCcos 22ABcos2C1 2

c2，求cos2Acos2B的值。 （2）若ab222 （（1）由已知式得：1cosAB2cos2C11 又ABC，∴2cosCcosC10

21或cosC1（舍） 2 又0C，∴C

3 ∴cosC （2）由正弦定理及a2b222212c得： 22 2sinA2sinBsinCsin 1cos2A1cos2B ∴cos2Acos2B3 343 43） 4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

 反正弦：arcsinx，，x1，1

22 反余弦：arccosx0，，x1，1  反正切：arctanx，，xR 22 34. 不等式的性质有哪些？ （1）ab，c0acbc

c0acbc （2）ab，cdacbd （3）ab0，cd0acbd （4）ab01111，ab0 ababnnn （5）ab0ab，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa 如：若2110，则下列结论不正确的是（ab2）

A.abB.abb2

C.|a||b||ab| 答案：C

35. 利用均值不等式：

D.ab2 baab ab2aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注 2222意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定值？（一正、

二定、三相等） 注意如下结论： 2

ab2a2b2ab2ababa，bR 当且仅当ab时等号成立。

a2b2c2abbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。 ab0，m0，n0，则

babmanaam1bnb 如：若x0，23x4x的最大值为

（设y23x4x2212243 当且仅当3x4x，又x0，∴x233时，ymax243） 又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1122132…1n22

（1111111……1……

12232232n2n1n11

11111……223n1n122）n

37.解分式不等式f(x)aa0的一般步骤是什么？

g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a1或0a1讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x3|x11

231 （解集为x|x）

2 41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1 求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|

22|(xa)(xa1)|(|xa|1) |xa||xa1||xa1|

|x||a|1 又|x||a||xa|1，∴|x||a|1

∴f(x)f(a)2|a|22|a|1 （按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：af(x)恒成立af(x)的最小值 af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是 （设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和 umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5） 43. 等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1annna21nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq； （2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列； Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列； （3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m1； bmT2m1 （5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：

a0 当a10，d0，解不等式组n可得Sn达到最大值时的n值。

a0n1an0 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。 an10 如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n （由anan1an233an13，∴an11 又S3

a1a3·33a221，∴a21 311naanaa·n31n2n118 ∴Sn222 n27）

44. 等比数列的定义与性质 定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1 an 等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1)n 前n项和：S（要注意!） a11qn(q1)1q 性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq （2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法

111 如：an满足a12a2……nan2n5222 解：n1时，1

1a1215，∴a114 22

111 n2时，a12a2……n1an12n15222 12得： ∴an2n11an2 2n

14(n1) ∴ann1

(n2)2［练习］

数列an满足SnSn1 （注意到an15an1，a14，求an 3SSn1Sn代入得：n14

Sn 又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n n2时，anSnSn1……3·4n1 （2）叠乘法

例如：数列an中，a13， 解：

an1n，求an ann1a2aaa12n11·3……n·……，∴n a1a2an123na1n 又a13，∴an3 n （3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法 n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)

两边相加，得：…………anan1f(n) ana1f(2)f(3)……f(n) ∴ana0f(2)f(3)……f(n) ［练习］

数列an，a11，an3n1an1n2，求an （an1n31） 2 （4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0 可转化为等比数列，设anxcan1x ancan1c1x 令(c1)xd，∴xd c1dd ∴，c为公比的等比数列 an是首项为a1c1c1 ∴anddn1a1·c c1c1dn1d cc1c1 ∴ana1［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

4 （an83 （5）倒数法

n11）

例如：a11，an12an，求an an22an 由已知得：1an211

an12an ∴1an111 an2111 为等差数列，1，公差为

ana12 1111n1·n1 an22

∴an2 n1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：an是公差为d的等差数列，求1 aak1kk1n 解：由n11111d0

ak·ak1akakddakak1n1111 ∴

aadaak1kk1k1kk1

1111111……da1a2a2a3anan1111da1an1

［练习］ 求和：1111 ……12123123……n （an…………，Sn2 （2）错位相减法：

1） n1 若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。 如：Sn12x3x4x……nx23n11

2

234n1nxn x·Snx2x3x4x……n1x2n1nxn 12：1xSn1xx……x x1时，Sn1xnxnn1x21x

x1时，Sn123……nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an相加

Snanan1……a2a1 2Sna1ana2an1……a1an…… ［练习］

x2111，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f 已知f(x)2341x21x2

1x （由f(x)fx1x22x211 2221x1x11x111 ∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f234 111113） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Snp1rp12r……p1nrpnnn1r……等差问题 2 △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)x1rnn1x1rn2……x1rx

n11rn1r1 x xr11r ∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：Nm1m2……mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：Nm1·m2……mn （mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn. Annn1n2……nm1mn!mn

nm! 规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

nn1……nm1Amn! Cn mm!m!nm!Ammn 规定：C0 n1 （4）组合数性质： CnCnmnmm101nn，CmCmnCnn1，CnCn……Cn2

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24

B. 15

C. 12

D. 10

 解析：可分成两类： （1）中间两个分数不相等，

有C55（种）

4

（2）中间两个分数相等 x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(ab)CnaCnan0n1n1n22nrrnbC2b…Crb…Cnnananb

rnr 二项展开式的通项公式：Tr1Cnabr(r0，1……n)

Crn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：

nr （1）对称性：Crr0，1，2，……，n nCn1nn （2）系数和：C0nCn…Cn2

CnCnCn…CnCnCn…2135024n1

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 1项，二项式系数为Cn2n1n1系数最大即第项及第1项，其二项式系数为Cn2Cn2

22n1n1n 如：在二项式x111的展开式中，系数最小的项系数为 （∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第（用数字表示）

126或第7项 2r 由C11x11r(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

C11C11426 又如：12x200465a0a1xa2x2……a2004x2004xR，则

a0a1a0a2a0a3……a0a2004（用数字作答）

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2……a20041

∴原式2003a0a0a1……a20042003112004） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0 （2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A AA，AA

的和

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n （2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB （4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)Cknp1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

C224 P12C1015 （2）从中任取5件恰有2件次品；

3C2104C6 P2521C10 （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴mC3·464

23C2443·4·64 ∴P3 3125102213

（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴nA10，mC4A5A6

23C2104A5A6 ∴P4 521A105223 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmaxxmin； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距× 样本平均值：x 样本方差：S2频率 组距1x1x2……xn n1x1x2x2x2……xnx2 n 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5 （） 6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a| （3）单位向量|a0|1，a0a

|a| （4）零向量0，|0|0

长度相等 （5）相等的向量ab 方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba （7）向量的加、减法如图：



 OAOBOC  OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示



i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2 ax1，y1x1，y1 若Ax1，y1，Bx2，y2

 则ABx2x1，y2y1  |AB|x2x12y2y12，A、B两点间距离公式

 57. 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。 为向量a与b的夹角，0，

B  b O  a D A

数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。 （2）数量积的运算法则 ①a·bb·a



②(ab)ca·cb·c

③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2 注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c) （3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20 ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b| ab（b0，惟一确定） x1y2x2y10

③a|a|xy，|a·b||a|·|b|

222121 ④cos［练习］

a·b|a|·|b|x1x2y1y2xy·xy21212222

 （1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc| 答案：22



（2）若向量ax，1，b4，x，当x 答案：2

时a与b共线且方向相同

 （3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3b| 答案：13 58. 线段的定比分点



设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段

P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx12，P为P1P2中点时， 

yy1y2yy1y212 如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

x1x2x3yy2y3 则ABC重心G的坐标是，1

33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面性质 判定线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面 线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b  线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

P O a

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

a b 

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ＝0时，b∥或b

o

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法： ①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：coscos·cos

A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素？

S正棱锥侧1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 2 V锥1底面积×高 3 63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3 答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktanB.4C.33D.6

y2y1，x1x2

x2x12 P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k （2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在） 斜截式：ykxb 截距式：xy1

ab 一般式：AxByC0（A、B不同时为零） （3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离d （4）l1到l2的到角公式：tan l1与l2的夹角公式：tanAx0By0CAB22

k2k1

1k1k2k2k1

1k1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1 k1k2l1∥l2（反之不一定成立） A1A2B1B20l1⊥l2 k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2 第一定义 双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2抛物线PFPK 第二定义：ePFc

PKa 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

b O F1 F2 a x a2x c

x2y2 221ab0

ab abc222

x2y2 221a0，b0

ab c2a2b2

 e>1 e=1 P 0x2y2x2y2 69.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P1P21kx212x24x1x2

12 12y1y24y1y2

k 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？ 如：



y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y2 221

aba2 e，PF2ex0ex0a

PKc PF1ex0a

y A P2 O F x P1 B 2 y2pxp0

PF2

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2 n2 73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 （由axx'，byy'x'2ax，y'2by） 22

只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'

AA'⊥l （2）点A、A'关于直线l对称

AA'中点在l上k·kl1 AA'

AA'中点坐标满足l方程xrcos74.圆x2y2r2的参数方程为（为参数）

yrsin22xacosxy 椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 （直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

神奇巧解高考数学选择题专题

前 言

高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。

选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，

包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。

然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。

解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。

例题与题组

一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有（ ）。

132 C、f()3A、f()32231f()f() B、f()f()f() 2332313321f()f() D．f()f()f() 32233【解析】、当x1时，f(x)3x1，f(x)的 图象关于直线x1对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出 f(x)|x1|的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B，

【练习1】、若P（2，-1）为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）

A、xy30 B、2xy30 C、xy10 D、2xy50 （提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）

xy20【练习2】、（07辽宁）已知变量x、y满足约束条件x1，

xy70则的取值范围是（ ）

,,6A、 B、6, C、,36, D、3,6 5599yx（提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。）

【练习3】、曲线y14x2(x2,2) 与直线yk(x2)4有两个公共点时，

k的取值范围是（ ）

yx

5111243553 C、(,) D、(,)

12124A、(0,) B、(,)

（提示：事实上不难看出，曲线方程y14x2(x2,2)的图象为x2(y1)24(2x2,1y3)，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线yk(x2)4过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]

【练习4】、函数y|x|(1x)在区间 A上是增函数，则区间A是（ ）

10,A、,0 B、

2 C、0, D、,

12（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）

【练习5】、曲线

|x||y|1与直线y2xm 23有两个交点，则m的取值范围是（ ）

A、m4或m4 B、4m4 C、m3或m3 D、3m3 （提示：作出曲线的图象如右，因为直线

y2xm与其有两个交点，则m4或m4，选A）

【练习6】、（06湖南理8）设函数f(x)Px|f'(x)xa，集合Mx|f(x)x10，

0，若MP，则实数a的取值范围是（ ）

A、(,1) B、(0,1) C、(1,) D、[1,)

（提示：数形结合，先画出f(x)的图象。

f(x)xax11a1a。当a1时，图象如左；当a1时图象1x1x1x1如右。

由图象知，当a1时函数f(x)在(1,)上递增，f'(x)0，同时

f(x)0的解集为(1,)的真子集，选C）

【练习7】、（06湖南理10）若圆x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A、5, B、, C、, D、0, 1241212632（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为 (x2)2(y2)2(32)2，由题意知，圆心到直线

的距离d应该满足0d2，在已知圆中画一个半 径为2的同心圆，则过原点的直线l:axby0与小圆有公共点，∴选B。）

【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，

则（ ）

A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b | C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b |

（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b ||a-b|2= | b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0 a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |， |2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图， ∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB， 再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）

【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）

【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A、AC B、CA C、AC D、A （提示：若ABC，则ABA,BCBA 成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）

【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数f(x)是偶函数，且

f(x)f(2x)。若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（ ）

A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 （提示：数形结合法，f(x)是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B）

【练习12】、（07山东文11改编）方程x3()x2的解x0的取值区间是（ ）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4） （提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数yx3,y()x2的图象，则立刻知选B，如上右图）

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10（ ）

1212A、12 B、10 C、8 D、2log35 【解析】、思路一（小题大做）：由条件有9a5a6a1q4a1q5a12q9,从而

a1a2a310a10a1q129(a12q9)5310，

所以原式=log3(a1a2a10)log331010，选B。

思路二（小题小做）：由9a5a6a4a7a3a8a2a9a1a10知原式=log3(a5a6)5log33103，选B。

思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列a5a63,q1即可，选B。

【练习1】、（07江西文8）若0x（ ）

A、sinx22，则下列命题中正确的是

x B、sinx2x C、sinx3x D、sinx3x

（提示：取x,验证即可，选B）

63【练习2】、（06北京理7）设f(n)22427210则f(n)（ ）

23n10(nN)，

A、(8n1) B、(8n11) C、(8n31) D、(nn41) （提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前n4项的和，

2(18n4)2n4(n1)，选D。这属于直接法。 所以f(n)18727272727思路2：令n0，则f(0)222247103421(2)122(841)，对7照选项，只有D成立。）

【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足| bi|=2| ai |，且ai顺时针旋转30以后与bi同向，其中i=1、2、3则（ ）

A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 （提示：因为a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D。）

【练习4】、若f(x)ax(a0,a1)，f1(2)0,则f1(x1)的图象是（ ）

A、 B、 C、 D、 （提示：抓住特殊点2，f1(2)0，所以对数函数f1(x)是减函数，图象往左移动一个单位得f1(x1)，必过原点，选A）

【练习5】、若函数yf(x1)是偶函数，则yf(2x)的对称轴是（ ）

A、x0 B、x1 C、x D、x2

（提示：因为若函数yf(x1)是偶函数，作一个特殊函数

y(x1)2，则yf(2x)变为y(2x1)2，即知yf(2x)的对称轴是x121，2选C）

【练习6】、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，其前n和为Sn，那么

Cn1S1+ Cn2S2+…+ CnnSn=（ ）

A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n

（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+ Cn2S2+…+ CnnSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B） 【练习7】、（06辽宁理10）直线y2k与曲线9k2x2y218k2x（kR,k1）的公共点的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

y2（提示：取k1，原方程变为(x1)1，这是两个椭圆，与直线

92y2有4个公共点，选D）

【练习8】、如图左，若D、E、F分别是 三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点， 且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平 面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分 的体积之比为（ ）

A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25

（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，V1,V2V1,V2分别表示上下两部分的体积

则

VSDEFSSDEF2hV228844()2，1，选C） VSABCSSABC3h3327V2278423【练习9】、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，

OHm(OAOBOC)，则m的取值是（ ）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

（提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有OHOAOBOC，m1，选B。）

x2y2【练习10】、双曲线方程为 1，则k的取值范围是（ ）

k25kA、k5 B、2k5 C、2k2 D、2k2或k5 （提示：在选项中选一些特殊值例如k6,0代入验证即可，选D） 三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程2nn=20，选C。

【练习1】、（06安徽理6）将函数ysinx(0) 的图象按向量a=(,0)平移以后的图象如图所示，则

6平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ） A、ysin(x) B、ysin(x) 667 12C、ysin(2x) D、ysin(2x)

33（提示：若选A或B，则周期为2，与图象所示周期不符；若选D，则与 “按向量a=(,0)平移” 不符，选C。此题属于容易题）

6【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中AB的 长度为x，f(x)表示AB与弦AB所围成的弓形的面的 2倍，则函数yf(x)的图象是（ ） 2 2 2 2 

  2  2   2   2

A、 B、 C、

D、

（提示：解法1 设AOB，则x， 则S弓形=S扇形- S△AOB=x12sincos

2211(xsin)(xsinx)，当x(0,)时， 221212sinx则xsinx0，其图象位于yx下方；当x(,2)时，x，sinx0，

xsinxx，其图象位于yx上方。所以只有选D。这种方法属于小

题大作。

解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积f(x)不是弧长x的一次函数，排除A；当x从很小的值逐渐增大时，f(x)的增长不会太快，排除B；只要x则必然有面积f(x)，排除C，选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D）

【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E（-1，0），它的一个焦点为F（-3，0），相应于焦点的准线方程是x，则这个椭圆的方程是（ ）

2(x1)22y22(x1)22y2(x1)21 B、1 C、y21 D、A、2132135(x1)2y21 572（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A、C，椭圆相当于向左平移

a27了1个单位长度，故c=2，1，∴a25，选D）

c2【练习4】、不等式x2x12的解集是（ ）

A、(1,0)(1,) B、(,1)(0,1) C、(1,0)(0,1) D、(,1)(1,)

（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取x2，代入原不等式，成立，排除B、C；取x2，排除D，选A）

【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温 Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图， 已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间 段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系 如下图，则正确的应该是（ ）

A、 B、 C、

D、

（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排除C；t=12时，C（t）=10，排除D；t＞6时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。）

【练习6】、集合M(2n1)|nZ与集合N(4k1)|kZ之间

的关系是（ ）

A、MN B、MN C、MN D、MN

（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假； 2n1表示全体奇数，4k1也表示奇数，故MN且B假，只有C真，选C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）

【练习7】、当x4,0时，ax24xx1恒成立，则a的一个可能的值是（ ）

A、5 B、 C、 D、5

（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则D也正确。选D）

【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线y24x上任意一点Q，点P（a，0）都满足PQa，则a的取值范围是（ ）

A、,0 B、(,2] C、[0,2] D、(0,2) （提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取a1，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d＜|PQ|,即表明a1符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

22y0y02设点Q的坐标为(,y0)，由PQa，得y0(a)2a2，整理得

44435353

22y0(y0168a)0，

22y0y0∵ y0，∴y168a0，即a2恒成立，而2的最小值

882020是2，∴a2，选B）

【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数f(x)cos2xcos2的一个单调增区间是（ ） A、,,0,, B、 C、 D、 6233366x22（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由f()f()，显然直

66接排除D，在A、B、C中只要计算两个即可，因为B中代入会出现

，所以最好只算A、C、现在就验算A，有f()123f(2)，符合，选36A）

四、等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

【例题】、（05辽宁12）一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a10,1，由关系式an1f(an)得到的数列满足

an1an(nN)，则该函数的图象是（ ）

A、 B、 C、

D、

【解析】问题等价于对函数yf(x)图象上任一点(x,y)都满足yx，只能选A。

【练习1】、设tsincos，且sin3+ cos30，则t的取值范围是（ ）

A、[-2，0） B、[2,2] C、（-1，0）(1,2 ] D、（-3，0）(3,)

（提示：因为sin3+ cos3=（sin+ cos）（sin2- sincos+ cos2），而sin2- sincos+ cos2＞0恒成立，故sin3+ cos30t＜0,选A。另解：由sin3+ cos3 0知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时tsincos2，所以排除B、C、D，选A）

x22【练习2】、F1,F2是椭圆y1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则

4PF1PF2的最大值是（ ）

A、4 B、5 C、1 D、2

（提示：设动点P的坐标是(2cos,sin)，由F1,F2是椭圆的左、右

焦

点

得

F1(3,0)，

F2(3,0)，则

PF1PF2|(2cos3,sin)(2cos3,sin)||4cos23sin2| |3cos22|2，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三

角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——PF1PF2|PF1||PF2|a24） 2【练习3】、若loga2logb20，则（ ）。

A、0ab1 B、0ba1 C、ab1 D、ba1

（提示：利用换底公式等价转化。

loga2logb20lg2lgalg2lgb0lgblga0∴0ba1，选B）

【练习4】、a,b,c,dR,且dc，abcd,adbc，则（ ） A、dbac B、bcda C、bdca D、bdac

（提示：此题条件较多，又以符号语言出现， 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”， 如图 ，用线段代表a,b,c,d,立马知道选C。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字1，4，2，3代表a,b,c,d,容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“a,b,c,dR”收严一些变为“a,b,c,dR”。

【练习5】、已知0,若函数f(x)sin调递增，则的取值范围是（ ）

x2sinx2在,上单

43

230,A、 B、0, C、0,2 D、2, 32（提示： 化简得f(x)sinx，∵sinx在∴x212,上递增， 222,上单调递增 ，而f(x)在x22430,∴选B）

3,,0，又24322【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）

A、C63 B、C62 C、C93 D、C92

（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有C62种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）

【练习7】、方程x1x2x3x412的正整数解的组数是（ ） A、24 B、 72 C、144 D、165

（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列

3165，选D） 的12球11空中插入3块隔板即可，答案为C1112【练习8】、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（ ）

A、35 B、56 C、84 D、120

（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为C8356，选B）

ax2bx13，则b= （ ） 【练习9】、（理科）已知limx1x1A、4 B、-5 C、-4 D、5

（提示：逆向思维，分母（x1）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有ax2bx1(x1)(ax1)ax2(1a)x1，∴必然有

ax2bx1lim(ax1)，∴a113a4,∴b5，b(1a)，且limx1x1x1选B）

【练习10】、异面直线m,n所成的角为60，l 2过空间一点O的直线l与m,n所成的角等于60， 则这样的直线有（ ）条

A、1 B、2 C、3 D、4

（提示：把异面直线m,n平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为，则问题等价于过点O有多少条直线与m,n所成的角等于60，如图，恰有3条，选C）

【练习11】、不等式ax2bxc0的解集为x1x2，那么不等式

a(x21)b(x1)c2ax的解集为（ ）

l1A、x0x3 B、xx0,orx3 C、x2x1 D、

xx2,orx1



（提示：把不等式a(x21)b(x1)c2ax化为a(x1)2b(x1)c0，其结构与原不等式ax2bxc0相同，则只须令1x12，得

0x3，选A）

五、巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长7%，那么经过x季度增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致是（ ）

A、 B、 C、

D、

【解析】、由题设知，y(10.07)x，∵10.071，∴这是一个递增的指数函数，其中x0，所以选D。

【练习

f(x)f(y)2f(1】、已知对于任意x,yR，都有

xyxy)f()，且f(0)0，则f(x)是（ ） 22A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数

（提示：令y0，则由f(0)0得f(0)1；又令yx，代入条件式可得f(x)f(x)，因此f(x)是偶函数，选B）

【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（ ）

A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 （提示：设⊙P的半径为R，P、M为两定点，那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆 心Q的轨迹是椭圆，选B）

x2y2【练习3】、若椭圆1内有一点P（1，-1），F为右焦点，

43椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|最小，则点M为（ ）

23326,1) B、(1,) C、(1,) D、(6,1) 3223c1（提示：在椭圆中，a2,b3，则c1,e，设点M到右准

a2A、(线的距离为|MN|，则由椭圆的第二定义知，

|MF|1|MN|2|MF|，|MN|2从而|MP|2|MF||MP||MN|，这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求M点，知易M(26,1)，故选A） 3x2y2【练习4】、设F1,F2是双曲线221(aabPF2PF120,b0)的左、右焦点，P

为双曲线右支上任意一点，若心率e的取值范围是（ ）

的最小值为8a，则该双曲线的离

A、[2，3] B、（1，3] C、3, D、1,2

（提示：

PF2(2aPF1)24a2PF14a8a，当且仅当

PF1PF1PF124a2PF1，即PF12a，PF24a时取等于号，又PF1PF2F1F2，PF1得6a2c，∴1e3，选B）

【练习5】、已知P为抛物线y24x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，5），|PA|+d的最小值是（ ） A、4 B、34 C、171 D、341 （提示：d比P到准线的距离（即|PF|）少 1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A点在抛物线外， ∴|PA|+d的最小值为|AF|-1=341，选D） 【练习6】、函数yf(x)的反函数f1(x)（ ）。

A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称 C、关于直线y=3对称 D、关于直线x = -2对称

（提示：注意到f1(x)12x的图象是双曲线，其对称中心的横坐x312x，则yf(x)的图象x3标是-3，由反函数的定义，知yf(x)图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B）

【练习7】、已知函数yf(x)是R上的增函数，那么ab0是

f(a)f(b)f(a)f(b)的（ ）条件。

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要

（提示：由条件以及函数单调性的定义，有

aba0bbf(a)af(a)f(b)f(b)f(a)f(b)而这个f(a)f(b)，

过程并不可逆，因此选A）

【练习8】、点P是以F1,F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作

F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ） A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 （提示：如图，易知PQPF2，M是F2Q的中点，

∴OM是F1Q的中位线，∴MOFQ(F1PPQ)(F1PF2P)，由1椭圆的定义知，F1PF2P=定值，∴MO定值（椭圆的长半轴长a），∴选A）

【练习9】、在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）

2

121212表示的是双曲线，则ｍ的取值范围是（ ）

A、（0，1） B、（ 1，） C、（0，5） D、（5，）

(x2y3)2（提示：方程m（x+y+2y+1）=（x-2y+3）可变形为m22，

xy2y12

2

2

1即得mx2(y1)25，∴

x2y3mx2(y1)2，这表示双曲线上一点

x2y35(x,y)到定点（0，-1）与定直线x2y30的距离之比为常数e5，m又由e1，得到0m5，∴选C。若用特值代验，右边展开式含有xy项，你无法判断）

六、直觉判断

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

【例题】、已知sinxcosx,43433415x2，则tanx的值为（ ） 3443A、 B、或 C、 D、

【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围，直接意识到sinx,cosx，从而得到tanx，选C 。 【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为a的正三角形中，

问x取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）

A、 B、 C、 D、

a2a3a43a 2354534（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。）

【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：x1,x2,x3,x10,如果用x作为该零件直径的近似值，当x取什么值时，(xx1)2(xx2)2(xx3)2(xx10)2最小？（ ）

A、x1，因为第一次测量最可靠 B、x10，因为最后一次测量最可靠

C、

x1x10xxx，因为这两次测量最可靠 D、123210x10

（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。）

【练习3】、若(12x)7a0a1xa2x2a7x7，则|a0||a1||a2||a7|（ ）

A、-1 B、1 C、0 D、37

（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求a0a1a2a7，这与原

问题完全等价，此时令x1得解。）

【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设p(a)(b)，

q(ab12ab22)，r()，那么数值最大的一个是（ ）

2abab1a1bA、p B、q C、r D、与a、b的值有关。 （提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。

O

A B C

D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，其体积过半，只有B符合，选B）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是（ ）

A、h2h1h4 B、h1h2h3 C、h3h2h4 D、h2h4h1 （提示：选A）

【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线xy20上的圆的方程是（ ）

A、(x3)2(y1)24 B、(x3)2(y1)24 C、(x1)2(y1)24 D、(x1)2(y1)24 （提示：显然只有点（1，1）在直线xy20上，选C） 【练习8】、（97全国理科）函数ysin(2x)cos2x的最小正周期

3是（ ）

A、 B、 C、2 D、4

（提示：因为总有asinxbcosxAsin(x)，所以函数y的周期只与有关，这里2，所以选B）

x0,【练习9】、（97年高考）不等式组3x3x2 2x的解集是（ ）

2xA、x|0x2 B、x|0x2.5 C、x|0x6 D、x|0x3

（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程

3x3x，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是，所以||的根！

3x3x选C）

【练习10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ） A、

3113 B、 C、1 D、 882（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较：

设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，

∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0，

即8y≤cos2（A-B）≤1，∴y，故应选B。

这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）

A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648 （提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为

1[C20.60.4]0.60.288，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。

18现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）

【练习12】、sincos2，则tancot（ ） A、1 B、2 C、-1 D、-2 （提示：显然，选B）

4七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、85 cm2 B、610 cm2 C、355 cm2 D、20 cm2

【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为610cm2，选B。）

【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ）

A、(n2n1n2n1,) B、(,) C、(0,) D、(,) nnnn2（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角，且；当锥体h且底面正多边形相对固定不变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，n2,选A） nn2,且n【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记

Si14iS，则一定满足（ ）

A、24 B、34 C、2.54.5 D、3.55.5 （提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S对

面

，不妨设S=S1，则S2+S3+S4S1那么2，选项中只有A符合，选A。

当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，

4，凭直觉知道选A）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为，侧面与底面 所成角为，则2coscos2的值是（ ）

A、1 B、 C、0 D、-1

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，

90,90,那么

2coscos22cos90cos1801，选D）

12

【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么sin1213CACA的值是（ ） cos22A、1 B、 C、 D、-1

(提示：进行极限分析，0时，点C，此时高h0,ca，那么C180,A0，所以sin【练习5】、若0CACAsin90cos01，选A。） cos224,sincosa,sincosb,则（ ）

A、ab B、ab C、ab1 D、ab2 （提示：进行极限分析，当0时，a1；当从而ba，选A）

4时，b2，

【练习6】、双曲线x2y21的左焦点为F， 点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直 线PF的斜率的变化范围是（ ） A、 (,0) B、(,1)(1,) C、(,0)(1,) D、(1,)

（提示：进行极限分析，当P时，PF的斜率k0；当PFx时，斜率不存在，即k或k；当P在无穷远处时，PF的斜率k1。选C。）

【练习7】、（06辽宁文11）与方程ye2x2ex1(x0)的曲线关于直线yx对称的曲线方程为（ ）

A、yln(1x) B、yln(1x) C、yln(1x) D、yln(1x)

（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为

y(ex1)2(x0)，是个增函数。再令x,那么y,那么根据反函

数的定义，在正确选项中当y时应该有x,只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）

【练习8】、若sincos1，则对任意实数n，sinncosn（ ） A、1 B、区间（0，1） C、

1 D、不能确定 2n1（提示：用估值法，由条件sincos1完全可以估计到sin,cos中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知c1，且xc1c，ycc1，则x,y之间的大小关系是（ ）

A、xy B、xy C、xy D、与c的值有关

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当c1时，x21；当x时，

x0，可见函数t1t递减，∴选B）

八、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

【例题】、已知x1是方程xlgx3的根，x2是方程x10x3的根，则x1x2（ ）

A、6 B、3 C、2 D、1

【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一 坐标系中作出四个函数，y10x，ylgx，y3x， yx的图象，设y3x与ylgx的图象交于点A，其 横坐标为x1；y10x与y3x的图象交于点C，其横坐标 为x2；y3x与yx的图象交于点B，其横坐标为。因为y10x与

3ylgx为反函数，点A与点B关于直线yx对称，所以x1x22×=3，

232选B。

此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为x1是方程xlgx3的根，所以2x13,x2是方程x10x3的根，所以0x21,所以2x1x24,选B。

【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

A、24个 B、30个 C、40个 D、60个

（ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任

1取一个有C2种方法；第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与12A4=24个，选B。用估计法：五个百位有A42种，由乘法原理，共有C2数字可以组成A5360个三位数，其中偶数不到一半，选B。）

【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）元

A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）

（提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以

a11800,q16%的等比数列，所以2008年工资性收入为a61800(10.06)51800(150.06)2340元；其它收入构成以1350为

首项，公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160

×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。）

【练习3】、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）

A、

86416 B、 C、4 D、

39923， 3（提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为 r则S球=4R24r2

【练习4】、如图，在多面体ABCDEF中， 四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

EF3，EF与平面ABCD的距离为2，则 21635，选D）

该多面体的体积为（ ）

A、 B、5 C、6 D、

9215 2（提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而VEABCD=6，所以只能选D）

【练习5】、在直角坐标平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），点C在直线y2x2上，若∠ACB ＞90，则点C的纵坐标的取值范围是（ ） A、(,C、(25254545,1) )(,) B、(1555545454545,0)(0,) D、(,) 5555

（提示：如图，M、N在直线y2x2上，且∠AMB=∠ANB=90，要使∠ACB ＞90，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的纵坐标是可以为负值的，选D）

【练习6】、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是60，底面三角形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）

A、125 B、245 C、65 D、185 （提示：你可以先求出ABC的面积为125，再利用射影面积公式求出侧面面积为245；你也可以先求出ABC的面积为125，之后求出P在底面的射影到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC的高的一半，再利用等体积法求得结果，但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是8，则面积为328163，这个面积当然比原来大了一4点点，再利用射影面积公式求出侧面面积为323，四个选项中只有

245与之最接近，选B）

【练习7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩

环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4

S1,S2,S3分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A、S3S1S2 B、S2S1S3 C、S1S2S3 D、S2S3S1

（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法）

【练习8】、（07全国Ⅱ理 12）设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若FAFBFC0，则FAFBFC等于（ ）

A、9 B、6 C、4 D、3

（提示：很明显（直觉）三点A、B、C在该抛物线上的图 形完全可能如右边所示（数形结合），可以估计（估值法） 到，FBFC稍大于MN（通径，长为4）， ∴FAFBFC6，选B。

当然也可以用定义法：由FAFBFC0可知xAxBxC3，由抛物线定义有FAxA1,FBxB1,FCxC1，所以FAFBFC=6） 【练习9】、（07福建理12）如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i1,2,3,j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）

A、 B、 C、

3747113 D、 1414a11a21a31a12a22a32a13a23 a33（提示：用估值法，至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既

不同行也不同列，这种情况仅有6种，在总共C93种取法数中所占比例很小，∴选D）

【练习10】（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为m,n，记向量b=（m，n）

与向量a=（1，-1）的夹角为，则0,的概率是（ ）

2A、

5175 B、 C、 D、 122126（提示：用估值法，画个草图，立刻发现在 AOB范围内（含在OB上）的向量b的个数

超过一半些许，选C，完全没有必要计算） 【练习11】（05年四川）若aln2ln3ln5，则（ ） ,b,c235A、abc B、cba C、cab D、bac

ln2ln4，可知不能够用单调性法去判断。问题等价24lg2lg3lg5于a的时候比较a、b、c的大小，∵lg2=0.3010，,b,c235（提示：注意到

lg3=0.4771，lg5=0.6990，∴ a=0.1505，b=0.1590， c=0.1398，选B。

当然，直接用作差比较法也是可以的。）

九、直接解答

并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间

接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。

【例题】、（07重庆文12）已知以F1(2,0),F1(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）

A、32 B、26 C、27 D、42

x2y2【解析】、设长轴长为2a，则椭圆方程为221，与直线方

aa4程联立消去x得(4a212)y283(a24)y(16a2)(a24)0，由条件知

0，即

192(a24)216(a23)(16a2)(a24)0，得a0（舍），a2（舍），a7 ∴2a27，选C 。

【练习1】、函数f(x)Asin(x)(A0,0) 的部分图象如右，则f(1)f(2)f(2009)=（ ） A、0 B、2 C、2+2 D、2-2 （提示：直接法。由图知，A=2，

f(x)2sinT2624，，∴2T4x4，由图象关于点（4，0）以及直线x2,x4对称知：

，

由

4f(1)f(2)f(8)02009=251×8+1知，

f(1)f(2)f(2009)=0+f(1)2sin=2，选B）

【练习3】、正方体AC1中，E为棱AB的中点，则二面角C-A1E -B的正切值为（ ）

A、

5 B、5 C、3 D、2 2（提示：用直接法。取C1D1的中点F，连接AF、CF、CE。过点B做A1E的延长线的垂线于M，连接CM，由CB面ABB1A1，得CMAE，所以CMB就是二面角C-A1E-B的平面角，现在设CB=2，则

BMEBsinBEM12CB，在Rt△CMB中，tanCMB 5，选B）

BM5x2y2【练习4】、设F1,F2是椭圆221(aabb0)

的两个焦点，以F1为圆心，且过椭圆中心的圆与 椭圆的一个交点为M，若直线F2M与圆F1相切， 则该椭圆的离心率是（ ）

A、23 B、31 C、

32 D、 22（提示：用直接法。由已知可得MF1c，又MF1MF22a，∴

MF22ac，又直线F2M与圆F1相切，∴MF1MF2，∴MF12MF22F1F22，即c2(2ac)2(2c)2，解得ec13，∵0ae1，

∴e31，选B）

【练习5】、函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称，则f(x)在[-4，4]上的单调性是（ ）

A、增函数 B、 在[-4，0]上是增函数， [0，4]上是减函数 C、减函数 D、 在[-4，0]上是减函数， [0，4]上是增函数 （提示：f(x)的图象关于原点成中心对称，f(x)为奇函数，∴

a1,b0，∴f(x)x348x，易知x4,4上f'(x)0，∴f(x)递减，

选B）

【练习6】、(x2x1)(x2)8a0a1(x1)a2(x1)2a1a2a10=（ ）

a10(x1)10，则

A、-3 B、3 C、2 D、-2 （提示：令x1得a03，令x2可得a1a22a10a03，选A）

【练习7】、（06重庆文10）若,(0,)，cos()23，2sin(1)，则cos()（ ） 223311 B、 C、 D、 2222A、（提示：∵,(0,)，∴242324，∴26；同理

26，∴0（舍）或，所以选B）

【练习8】、（06全国Ⅰ理8）抛物线yx2上的点到直线

4x3y80的距离的最小值是（ ）

A、 B、 C、 D、3

（提示：设直线4x3ym0与yx2相切，则联立方程知

3x24xm0，令

4375850，有m4，∴两平行线之间的距离3

d48()332424，选A） 32【练习9】、（06山东理8）设p:xx20的（ ）

1x20,q:x20,则p是q

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

（提示：分别解出p：x5或x4；q：1x1或x2或x2，则显然p是q的充分不必要条件，选A。另外，建议解出p以后不要再解q，以p中的特殊值代入即可作出判断）

【练习10】、（广东05理10）已知数列xn满足x21xn(xn1xn2)，

2n3,4,x1，2，若nlimxn2，则x1=（ ） 32A、 B、3 C、4 D、5 （

提

示

：

由

条

件

1xn(xn1xn2)2有∴

2xnxn1xn2xnxn1xn2xnx3x2x1x3,x4x3x2x4,，

xn1xn2xn3xn1,xnxn1xn2xn，累加

得xnx2x1x2xnxn1，代入x2nnnx1得2xnxn12x1，两边同取极限得， 2lim2xnlimxn1lim2x1，即2222x1x13，选B）

十、现场操作

又叫做原始操作法，有别于直接法，一 是指通过现场可以利用的实物如三角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案的方法；二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤，从而发现规律，归纳出答案的方法。 【例题】、（据93年全国高考题改编）如图ABCD 是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别 沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合于P，则面 PCD和面ECD所成的二面角为（ ）度。

A、 15 B、30 C、 45 D、60

【解析】、你当然可以用三垂线定理来解，但不如现场操作更快：用正方形纸片折叠出三棱锥E-PCD，不难看出PE⊥面PCD，设二面角大小为，则由射影面积公式有cos选B。

【练习1】已知(21)n2anbn(nN)，则bn的值（ ） A、必为奇数 B、必为偶数 C、与n的奇偶性相反 D、与n的奇偶性相同

（提示：原始操作：令n=1、2，再结合逻辑排除法，知选A；也可以展开看）

SPCDSECD3DC234，30，12DC22

【练习2】如果f(x)的定义域为R， f(x2)f(x1)f(x)，且

f(1)lg3lg2，f(2)lg3lg5，则f(2008)=（ ）

A、1 B、-1 C、 lg2lg3 D、-lg3-lg5 （提示：2008是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题！关键是求出周期值。现在进行现场操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，f（3）=f（2）-f（1）=…=1，f（4）= f（3）-f（2）=…lg2-lg3，f（5）= f（4）- f（3）=…-lg5-lg3，f（6）=f（5）- f（4）=…-1，f（7）=f（6）- f（5）=…lg3-lg2= f（1），所以周期是6。f(2008)=f（334×6+4）= f（4）= lg2-lg3，选C。当然你如果演算能力好，可以这样做：

f(x2)f(x1)f(x)f(x)f(x1)f(x)=f(x1)f(x2)f(x3)=f(x3)f(x4)f(x3)f(x4)，所以周期是6。其实凡属于抽象函数、抽象数列、抽象不等式问题，解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已）

【练习3】、如图所示是某城市的网格状道路，中 间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从 城市的西南角的A处要到达东北角的A处，最短的 路径有多少条？（据加拿大数学竞赛题改编） A、210 B、110 C、24 D、206

（提示：原始操作：先假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的走法数（都是1）；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是2；……，这样步步回退，直到A处，就知道答

案了！这有点类似于杨晖三角的规律。当然也可以用公式法：先求出

6没有公园时的走法数C10，再求出经过公园中心的走法数C53C53，所以6答案是C10-C53C53=110，选B）

【练习4】、如上图所示是一个长方体 骨架，一只蚂蚁在点M处得到信息：N处 有糖！为了尽快沿着骨架爬行到N处，该 蚂蚁可走的最短路径有（ ） A、10 条 B、20 C、30 D、40

（提示：原始操作：假设从点N处逆着 往点M方向退回来，则在所经过的交点处的 走法数都容易写出，如图。所以从点M处出 发时一共有4+4+12=20种走法。选B）

【练习5】、有编号为1、2、3、4的四个小球放入有同样编号的四个盒子中，每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有（ ）

A、9 B、16 C、25 D、36

（提示：这道高考题是典型错位排列问题，思维清晰的时候，你可能这样考虑：完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球，应该用乘法原理，1号盒可以选2、3、4号球，有3种选择；2号盒可以选1、3、4号球，也有3种选择；此时3、4号盒都只有唯一选择，3×3×1×1=9，因此答案是9。也可用现场操作之法破解，如图，每一

列对应一种放法，一共有9种，选A）

球的编号 1号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1 3号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2 4号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3

【练习6】、如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现将三个圆片移动到B柱上，要求每次只移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱子之一，且大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动的次数是（ ）

A、3 B、5 C、7 D、9 （提示：现场操作，选C）

【练习7】、如左图，正方体容器AC'中，棱长为1，E，F分别是所在棱的中点，G是面ABB'A'的中心，在E、F、G三处各开有一小孔，则最大盛水量是（ ）

A、 B、 C、 D、 56677811 12

（提示：你可以看着图现场想象一下，怎样才能使盛水量最大呢？你首先难免考虑由E、F、G确定一个水平面，如中图，经计算发现盛水量是，此时DD/着地；难道不考虑只有点D着地的情形吗？…使水平面如右图那样呢？计算得盛水量是内！选D）

【练习8】、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是（ ） A、(26)a B、C、(13)a D、

26a 213a 2P1 P2 7811，原来点F并不在水平面12P3 （提示：现场用纸做一个正四棱锥， 先如图放样，其实不待你做成就知 道思路了——这已经相当于把正四

P4

棱锥展开了，那么包装纸的边长就是正方形PP12P3P4的边长，选B） 【练习9】、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是和，则

的范围是（ ）

0,A、(0,] B、(,) C、 D、0,

222

2（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当,中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）个。

A、3 B、4 C、6 D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（07高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3 ＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（ ）

22

A.240 B.204 C.729 D.920

（ 提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结 语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，学生要学会联合采用多种方法协同作战，以期收到最大实效。下面以一首小诗总结全文——

人生选择，选择人生，用兵之道，奇正相生，数学解题，其理相同。迂回曲径，直捣黄龙，审时度势，天佑功成。