《大学数学》教案1

第一节:函数

教学目标：1、理解和掌握函数相关概念 2、掌握绝对值的性质 教学重点：绝对值的性质 教学难点：函数的定义 教学过程：

1、 常量与变量

一个量是变量还是常量是相对而言的 例如：g

（1） 表示：常量abc 变量xyz

（2） 变量的范围：区间表示

开有限区间闭半开半闭

无限区间2、 绝对值与邻域 （1） 绝对值 定义：任意实数a的绝对值，用符号|a|表示，定义|a|=a,a0a,a0

（2） 绝对值的性质 ①|a|a|a|

②|x| < k , (k>0) kxk 同理|x-a| 0) akxak ③|x| > k , (k>0) x>k 或 x<-k ④|ab||a||b| 证明：由性质①可证 ⑤|ab||a||b| 证明：由性质④可证 ⑥|a.b| = |a| *| b| ⑦|b|a|a||b| （3） 邻域

定义：设a与是两个实数，且>0，则满

足不等式|x - a|<的全体实数x称为点a的邻域，点a称为邻域的中心，称为邻域的半径

记作：U（a, ） 3、 函数的概念 定义：设A是非空数集，若存在对应关系f，对A中的任何x，按照对应关系f, 对应唯一一个yR，则称f是定义在A上的函数。 表示：f:AR

定义域 值域 自变量 因变量

习惯表示：y=f(x)

（1）函数的定义域

注意符合实际意义；注意一般代数式的有意义

（2）函数相同

定义域相同；表达式 （3） 函数的记号 （4） 函数值

注意区别f(x0)与f(x) 例：设f(x+1)=x23x5, 求f(x)

解法一：

解法二：

4、 函数的表示

（1） 表格法 （2） 图示法

（3） 公式法（解析法）

5、 几个常见函数

（1） y=a( 常数函数) （2） 二次函数 （3） 绝对值函数 （4） 高斯函数 （5） 符号函数

第二节 四种具有特殊性质的函数

教学目标：了解四种具有特殊性质的函数 教学重点：有界函数、单调函数、周期函数、

函数的奇偶性。

教学难点：有界函数、周期函数 教学过程：

1、 有界函数 定义：设函数f(x)的定义域为D，区间ID,如果存在正数M，使得与任一xI所对应的函数值都满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)在I上有界。

例1：f(x)=sinx 是有界的 例2：函数f(x)=

1x在（0，1）内无界，在 （1，2）内有界

注意：函数是否有界不仅与函数有关，还与指定的区间有关。

2、 单调函数 定义：设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点x1,x2,当

x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称

函数f(x)在区间I上是单调增加的（单调减少的）

如果x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是严格单调增加的（严格单调减少的）

例：高斯函数与符号函数都是单调增加的

3、 奇函数与偶函数 定义：设函数f(x)的定义域是D关于原点对称，如果对于任一xD，恒有f(-x)=f(x),则称函数f(x)是偶函数（奇函数）

4、 周期函数

定义：设函数f(x)的定义域是D，如果存在一个不为零的常数T，使得对于任一xD，有(xT)D,且f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f(x) 是周期函数，T称为函数f(x)的周期。

最小正周期

例：f(x)Asin(x)的最小正周期 解：设所求周期为T

f(x+T)=Asin[(xT)]f(x)

T2n

Tmin2|| 5、习题

第三节 复合函数与反函数

教学目标：1、理解复合函数的构成

2、了解反函数的定义和性质 教学重点：复合函数的构成 教学难点：复合函数的分解 教学过程：

1、 复合函数

定义：设函数y=f(u)定义在数集B上，函数

u(x)定义在数集A上，G是A中使u(x)B的x的非空子集。对G中任

意x，按照对应关系，对应唯一一个y，即对G中任意x都对应唯一一个y，于是，在G上定义了一个函数，称为函数u(x)与y=f(u)的复合函数。 记作：y=f[(x)]

2、 反函数

定义：设函数y=f(x)，定义域为D，如果对其值域f(D)中的每一个y值，都可以通过关系式y=f(x)在D中有唯一一个确定的x值与它对应，则得到一个定义在f(D)上以y为自变量的函数，称此函数为函数y=f(x)的反函数。 记作：f1:f(D)D（或xf1(y)

定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是严格单调的，则它的反函数yf1(x)存在且

是严格单调的。 例：反正弦函数

由y=sinx 反解出y=Arcsinx是多值的

所以，需要限定原函数的区间使其是单调的。

3、 初等函数

（1） 基本初等函数

幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数

（2） 初等函数 定义：由基本的初等函数与常数经过有限次的四则运算及复合步骤所构成的，且用一个解析式表示的函数称为初等函数。

4、 习题

本章的复习总结

一、基本知识结构

二、基本方法技巧

三、典型例题

四、巩固提高练习题

五、小结