翻折图形题一
一．填空题（共9小题）
1．（2003•昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 _____BE=BC____ （不包括AB=CD和AD=BC）．
2．（2006•荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ= ____0.5_____ ．
3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为 ____2____ ．
4．（2004•荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为 ____1_____ ．
5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB= ____15_____ ．
6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF= ___25/4______ ．
7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=
cm，然后以虚线CE（E点在
AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE= ____5根号3/3_____ cm，∠DCE= ___30°__ ．
8．（2008•莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= _____60____ 度．
9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为 _20_ ．
二．选择题（共9小题）
10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（ A ）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（ C ）cm．
A． B． C． D．
12．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ B ）
A．1 B．1 C． D．
13．如图，一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，此时我们可得到△BCE≌△BFE，再将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，由此我们又可得到一些结论，下述结论你认为正确的有（ B ）
①AD=AF；②DE=EF=EC；③AD+BC=AB；④EF∥BC∥AD；⑤∠AEB=90°；⑥S四边形ABCD=AE•BE
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
14．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分∠ABD；
②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（ B ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（ A ）
A．AB=2BC
B．AB=3BC
C．AB=4BC
D．不能确定
16．如图，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点F，有下列几个说法：①∠BED=∠BCD；②∠DBF=∠BDF；③BE=BC；④AB=DE．其中正确的个数为（ D ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
17．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则得到的四边形是（ D ）
A．只能是平行四边形
B．只能为菱形
C．只能为梯形
D．可能是矩形
18．如图，直角梯形纸片ABCD中，∠DCB=90°，AD∥BC，将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为CF．
若AD=2，BC=5，则AF：FB的值为（ C ）
A． B． C． D．
三．解答题（共9小题）
19．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．
20．（综合探究题）有一张矩形纸片ABCD中，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（1），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（2）所示，这时，半圆露在外面的
面积是多少？
21．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE=10．在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
22．矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．
（1）若AB=4，BC=8，求AF．
（2）若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．
23．（2011•深圳）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
24．一张长方形纸片宽AB=8 cm，长BC=10 cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC的长．
设EC=x，则DE=8-x，∵翻折，∴EF=8-x，∵AB=8，AF=AD=10，∴BF=6，∴FC=4，EC
25．在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：2AE2=AC•AP；
（3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm2，求△ABF的周长．
26．（2010•凉山州）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=m，AD=n，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．当x：n为何值时，直线E′E经过原矩形的顶点D．
27．（2011•兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
答案与评分标准
一．填空题（共9小题）
1．（2003•昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 OA=OE或OB=OD或AB=ED或CD=ED或BC=BE或AD=BE （不包括AB=CD和AD=BC）．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）。
专题：开放型。
分析：折叠前后的对应边相等，结合矩形的性质可得到多组线段相等．
解答：解：由折叠的性质知，ED=CD=AB，BE=BC=AD，
∴△ABD≌△EDB，∠EBD=∠ADB，由等角对等边知，OB=OD．
点评：本题答案不唯一，本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边求解．
2．（2006•荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=
．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：由折叠的性质知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，从而求出PQ=PBtan30°=
．
解答：解：∵∠CBQ=∠PBQ=∠PBC，BC=PB=2BN=1，∠BPQ=∠C=90°
∴cos∠PBN=BN：PB=1：2
∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°
∴PQ=PBtan30°=．
点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、正方形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为 2 ．
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：计算题。
分析：由矩形的性质可知，AD=BC，由折叠可知DE=BC，故AD=DE，∠DEA=45°，可得∠FEC=45°，可知FC=CE=DB=AB﹣AD．
解答：解：由折叠的性质可知∠EAD=∠DAB=45°，∠ADE=90°，
∴∠DEA=45°，∠FEC=45°，
∴FC=CE=DB=AB﹣AD=5﹣3=2．
故本题答案为：2．
点评：本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形．
4．（2004•荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为
．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：连接CB′．由于B'为长方形纸片ABCD的对称中心，∴AB′C是矩形的对角线．
由折叠的性质知可得△ABC三边关系求解．
解答：解：连接CB′．
由于B'为长方形纸片ABCD的对称中心，∴AB′C是矩形的对角线．
由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，
∴sin∠ACB=AB：AC=1：2，
∴∠ACB=30°．
cot∠ACB=cot30°=a：b=．
点评：本题利用了：
1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
2、矩形的性质，锐角三角函数的概念求解．
5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB= 15 ．
考点：勾股定理。
分析：根据垂直关系在Rt△ACD中，利用勾股定理求CD，已知BC，可求BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求AB．
解答：解：∵AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD===5，
∵BC=14，∴BD=BC﹣CD=9，
在Rt△ABD中，AB===15．
故答案为：15．
点评：本题考查了勾股定理的运用．关键是利用垂直的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解．
6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF= ．
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：数形结合。
分析：根据折叠的性质我们可得出AB=ED，∠A=∠E=90°，又有一组对应角，因此就构成了全等三角形判定中的AAS的条件．两三角形就全等，从而设CF为x，解直角三角形ABF可得出答案．
解答：解：根据题意可得：AB=DE，∠A=∠E=90°，
又∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF（AAS）．
∴AF=EF，
设BF=x，则AF=FE=8﹣x，
在Rt△AFB中，可得：BF2=AB2+AF2，
即x2=62+（8﹣x）2，
解得：x=．
故答案为：．
点评：本题考查翻折变换的知识，有一定的难度，注意判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在
AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE= cm，∠DCE= 30° ．
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：探究型。
分析：先根据翻折变换的性质及矩形的性质得到CD′=CD=AB=10，DE=ED′，由勾股定理即可求出BD′的长，进而可求出AD′的长，再设AE=x，在Rt△AED′中，利用勾股定理即可求出AE的长；再利用锐角三角函数的定义求出∠DCE的正切值即可求出∠DCE的度数．
解答：解：∵△D′CE是△DCE沿直线CE翻折而成，
∴CD′=AB=CD=10，DE=ED′，
∴在Rt△BCD′中，BD′===5，
∴AD′=AB﹣BD′=10﹣5=5，
设AE=x，则ED′=5﹣x，在Rt△AED′中，AE2+AD′2=ED′2，
即x2+52=（5﹣x）2，
解得x=．
∴DE=AD﹣AE=5﹣=，
∵tan∠DCE===，
∵△CDE是直角三角形，
∴∠DCE=30°．
故答案为：、30°．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
8．（2008•莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 60 度．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．
解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，
∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，
∴∠CA′D=30°，
∴∠EA′B=180°﹣∠EA′D﹣∠CA′D=180°﹣90°﹣30°=60°．
故答案为：60．
点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．
9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为 20cm ．
考点：翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形。
专题：推理填空题。
分析：由于∠BEG=60°，根据折叠可以得到∠GEF=∠CEF=60°，而AD=BC，AD=30cm，BE=20cm，在直角三角形CEF中利用直角三角形的性质即可求解．
解答：解：依题意得∠GEF=∠CEF，而∠BEG=60°，
∴∠GEF=∠CEF=60°，
∵AD=30cm，BE=20cm，
∴CE=BC﹣BE=AD﹣BE=10cm，
而在Rt△CEF中，∠CFE=30°，
∴EF=2CE=20cm．
故答案为：20cm．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质及含30°的角的直角三角形的性质，首先根据折叠得到30°的角的直角三角形，然后利用其性质即可解决问题．
二．选择题（共9小题）
10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：探究型。
分析：先根据图形翻折变换的性质得出△ADE≌△AFE，进而可知AD=AF=BC=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF的长，进而可得出CF的长，设CE=x，在Rt△CEF中利用勾股定理即可求出x的值．
解答：解：∵△AFE是Rt△ADE翻折而成，
∴△ADE≌△AFE，
∴AD=AF=BC=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF===6cm，
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4cm，
设CE=x，则EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，
EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3cm．
故选A．
点评：本题考查的是翻折变换的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的性质是解答此题的关键．
11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（ ）cm．
A． B． C． D．
考点：勾股定理；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：设CD等于xcm，可得AD=BD=8﹣x，在直角三角形ACD中，由勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之即可得x的值，即CD的长．
解答：解：设CD等于xcm，则：
BD=（8﹣x）cm
∴AD=8﹣x
在直角三角形ACD中，已知AC=6，
则由勾股定理可得：
AD2=AC2+CD2
∴（8﹣x）2=62+x2
∴x=
故选C．
点评：本题主要考查了由勾股定理求解直角三角形以及一元二次方程的解．
12．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
A．1 B．1 C． D．
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，
如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
即，
∴BF=0.5，
∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．
故选B．
点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
13．如图，一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，此时我们可得到△BCE≌△BFE，再将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，由此我们又可得到一些结论，下述结论你认为正确的有（ ）
①AD=AF；②DE=EF=EC；③AD+BC=AB；④EF∥BC∥AD；⑤∠AEB=90°；⑥S四边形ABCD=AE•BE
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：综合题。
分析：根据翻折变换的性质易证AD=AF；DE=EF=EC；AD+BC=AB；∠AEB=90°；再根据直角三角形的面积公式易证S四边形ABCD=2S三角形AFB=AE•BE．
解答：解：①由于将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，∴AD=AF，故正确；
②由于将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，∴DE=EF；由于将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，∴DE=EF，∴DE=EF=EC，故正确；
③由于将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，∴BC=BF；∵AD=AF，∴AD+BC=AF+BF=AB，故正确；
④无法证明EF∥BC∥AD，故错误；
⑤∵∠DEF=2∠FEA，∠CEF=2∠FEB，∠DEC是平角，∴∠AEB=∠FEA+∠FEB=（∠DEF+∠CEF）=90°，∴∠AEB=90°，故正确；
⑥∵S三角形ADE=S三角形AFE，S三角形BCE=S三角形BFE，∴S四边形ABCD=2S三角形AFB=2×（AE•BE）=AE•BE，
故正确．
故选C．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等，对应线段相等．
14．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
考点：直角三角形全等的判定。
分析：可以采用排除法对各个结论进行验证从而确定正确的结论．根据折叠的性质，可得出的全等三角形有：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO；可得出BO=OD，即△BOD是等腰三角形，因此本题正确的结论有②和④．
解答：解：∵把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠C=∠A=90°，AB=CD；
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO（第二个正确）；
∴OB=OD；
∴△BOD是等腰三角形（第四个正确）．
其它无法证明．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（ ）
A．AB=2BC
B．AB=3BC
C．AB=4BC
D．不能确定
考点：菱形的性质；平行四边形的性质。
专题：数形结合。
分析：根据菱形四边相等的性质，可得出AE=AD=BC=EB，从而可得出AB与BC的关系．
解答：解：∵菱形的四边相等，
∴AE=AD=BC=EB，
即可得出AB=AE+EB=2BC．
故选A．
点评：本题考查菱形的性质及平行四边形的性质，属于基础知识的考察，关键是掌握平行四边形的对边相等及菱形的四边相等的性质．
16．如图，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点F，有下列几个说法：①∠BED=∠BCD；②∠DBF=∠BDF；③BE=BC；④AB=DE．其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：折叠具有不变性，即折叠前后图形的大小和形状不变，对应角和对应点不变．
解答：解：如图：①∠BED和∠BCD为同一个角，故∠BED=∠BCD；
②∵∠DBF=∠CBD（反折不变性），
∠DBC=∠BDA，
∴∠DBF=∠BDF；
③根据翻折不变性，BE=BC；
④∵AB=DC，ED=DC，
∴AB=DE．
故正确答案有4个．
故选D．
点评：本题考查了翻折不变性及长方形的性质，从图形中找到不变量是解题的关键．
17．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则得到的四边形是（ ）
A．只能是平行四边形
B．只能为菱形
C．只能为梯形
D．可能是矩形
考点：矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；梯形。
专题：操作型。
分析：分别以小直角三角形的三边为对角线，并令对应边重合，即可拼出图形，然后根据平行四边形的判定条件作答．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解答：解：①将三角形ADC和三角形ABC的斜边重合，其中A与C重合，可拼成矩形；
②将三角形ADC和三角形ABC的斜边重合，其中A与A重合，可拼成一个四边形；
③将DB重合，其中D与B重合，可拼成一个平行四边形；
④将AD重合，其中A与D重合，可拼成一个平行四边
形．
∴只有D符合要求．
故选D．
点评：本题灵活考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
18．如图，直角梯形纸片ABCD中，∠DCB=90°，AD∥BC，将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为CF．
若AD=2，BC=5，则AF：FB的值为（ ）
A．
B． C．
D．
考点：翻折变换（折叠问题）；直角梯形。
专题：应用题。
分析：根据题意延长CF交DA延长线于E，然后根据折叠的性质得出DC=BC，CF是∠BCD的平分线，∠DCE=45°，即△EDC是等腰直角三角形，再由AD∥BC求解．
解答：解：延长CF交DA于E，
将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，则DC=BC，CF是∠BCD的平分线，∠DCE=45°，
∴△EDC是等腰直角三角形，DE=DC=5，AE=5﹣2=3，BC=5，
∵AD∥BC，
∴∠E=∠FCB，∠EAF=∠B，
∴△AEF∽△BCF，
∴AF：FB=AE：BC=，
故选D．
点评：本题主要考查了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，②直角梯形的性质和平行的比例关系求解，
难度适中．
三．解答题（共9小题）
19．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定。
专题：探究型。
分析：先根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，再由图形折叠的性质可得到∠ADB=∠EBD，根据在同一三角形中等角对等边的性质即可得到答案．
解答：解：△BED是等腰三角形．
理由如下：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又由BC′是沿BD折叠而成，
故∠EBD=∠CBD．
∴∠ADB=∠EBD．
∴△BED是等腰三角形．
点评：本题考查的是图形折叠的性质及平行线的性质，比较简单．
20．（综合探究题）有一张矩形纸片ABCD中，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（1），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（2）所示，这时，半圆露在外面的面积是多少？
考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算。
专题：综合题。
分析：由图可得，∠DA′C=30°，∠FOD=120°，可得S阴影=S扇形﹣S△OFD，过O作OM⊥DF，因为OF=2，OM=1，DF=2MF=2
，求得S扇形，S△OFD即可．
解答：解：根据原题的图（2）可知
∵DE是折痕，
∴AD=A′D=4，CD=2，∠C=90°．
∴∠DA′C=30°．
∵AD∥BC，∠DA′C=30°，
∴∠ODA′=30°，
又∵OD=OF，
∴∠OFD=30°．
即∠FOD=180°﹣60°=120°．
∴S阴影=S扇形﹣S△OFD．
过O作OM⊥DF，因为OF=2，OM=1，DF=2MF=2，
∴S△OFD=×DF×OM=×2×1=．
∴S扇形OFAD==．
∴S阴=﹣．
点评：本题利用了折叠的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，扇形的面积公式求解．
21．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE=10．在线段AC上是否存在一点P，使得
2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的性质；全等三角形的判定；菱形的性质。
专题：探究型。
分析：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．
解答：证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴，则AE2=A0•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴，
∴AE2=AC•AP，
∴2AE2=AC•AP．
点评：本题主要考查翻折变换的折叠问题，还涉及到的知识点有全等三角形的判定与性质．
22．矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．
（1）若AB=4，BC=8，求AF．
（2）若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：计算题。
分析：（1）如图1，由折叠的性质可证△ABF≌△C′DF，可得BF=DF，可判断重合部分为等腰三角形；设AF=x，则BF=DF=8﹣x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AF；
（2）如图2，由折叠的性质可知BE=BC=10，又AB=6，在Rt△ABE中，由勾股定理可求AE，设DF=x，由折叠的性质得EF=FC=6﹣x，在Rt△DEF中，由勾股定理可求DF．
解答：解：（1）如图1，由折叠的性质可知AB=CD=C′D，
又∠A=∠C′=90°，∠AFB=∠C′FD，
∴△ABF≌△C′DF，
∴BF=DF，
∴重合部分△BDF为等腰三角形；
设AF=x，则BF=DF=8﹣x，在Rt△ABF中，
由勾股定理得AB2+AF2=BF2，即42+x2=（8﹣x）2，
解得AF=x=3；
（2）如图2，由折叠的性质可知BE=BC=10，又AB=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE==8；
设DF=x，由折叠的性质得EF=FC=6﹣x，DE=AD﹣AE=2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE2+DF2=EF2，即22+x2=（6﹣x）2，
解得DF=x=．
点评：本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据折叠的性质将有关线段转化，把问题集中到直角三角形中解题．
23．（2011•深圳）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）通过证明△GAB≌△GC′D即可证得线段AG、C′G相等；
（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN=EM的长．
解答：（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A=∠C′，AB=C′D
∴在△GAB与△GC′D中，
∴△GAB≌△GC′D
∴AG=C′G；
（2）解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM=4cm，ND=5cm，
∵AD=8cm，AB=6cm，
∴BD=10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴DN=BD=5cm，
∴MN==3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE=∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END=∠NDC，
∴∠END=∠NDC=∠NDE，
∴EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，
由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，
解得x=，即EM=．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．同时考查了勾股定理在折叠问
题中的运用．
24．一张长方形纸片宽AB=8 cm，长BC=10 cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC的长．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：由折叠的性质得AF=AE=10，先在Rt△ABF中运用勾股定理求BF，再求CF，设EC=x，用含x的式子表示EF，在Rt△CEF中运用勾股定理列方程求x即可．
解答：解：设EC=x，由AB=CD=8，AD=BC=10，
及折叠性质可知，EF=ED=8﹣x，AF=AD=10，
在Rt△ABF中，BF==6，
则CF=BC﹣BF=10﹣6=4，
在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3；
即EC=3cm．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称
的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
25．在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：2AE2=AC•AP；
（3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm2，求△ABF的周长．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：证明题；几何综合题。
分析：（1）连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再利用矩形的性质求证
△AOE≌△COF，即可．
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，由作法，∠AEP=90°，求证△AOE∽△AEP，可得形AFCE是菱形，可得
，
．即可．
，再利用四边
（3）根据四边形AFCE是菱形，可得AF=AE=8．设AB=x，BF=y，可得（x+y）2﹣2xy=64①再根据
三角形面积公式可得xy=18．②然后解方程即可．
解答：解：（1）连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，
由作法，∠AEP=90°，
由（1）知：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴，则AE2=AO•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴，
∴．
∴2AE2=AC•AP．
（3）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=8．
设AB=x，BF=y，
∵∠B=90，即三角形ABC为直角三角形，
∴x2+y2=64，
∴（x+y）2﹣2xy=64①，
又∵S△ABF=9，∴，则xy=18②，
由①、②得：（x+y）2=100，
∴x+y=±10，x+y=﹣10（不合题意舍去），
∴△ABF的周长为x+y+AF=10+8=18．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，有一定的拔高难度，属于难题．
26．（2010•凉山州）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=m，AD=n，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．当x：n为何值时，直线E′E经过原矩形的顶点D．
考点：矩形的性质；梯形。
专题：证明题；创新题型。
分析：（1）根据题知，EF将矩形分割为两个面积相等的梯形，而且两个梯形腰相等，利用面积相等易证；
（2）可先假设直线E′E经过原矩形的顶点D，再根据梯形纸片沿着AB翻折后可知DC=BC=m，然后利用中位线定理可知DE=E′E 2EC=E′B′然后分别代入可求：
解答：（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，
∴（x+AF）•m=（n﹣x+n﹣AF）•m，（2分）
∴2AF=2n﹣2x，
∴AF=n﹣x，（3分）
又∵EC=BC﹣BE=n﹣x，
∴AF=EC；（4分）
（2）解：当直线E′E经过原矩形的顶点D时，如图
∵DC=B′C=m，EC∥E′B′，
∴DE=E′E．
∴2EC=E′B′．
即2（n﹣x）=x，
∴2n=3x．（7分）
∴x：n=2：3．（9分）
点评：本题涉及矩形的性质，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．而不是思维定势只利用传统思维的直接求证方式．
27．（2011•兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。
专题：几何综合题。
分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；
（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；
（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；
解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AF=AE=10cm，
设AB=a，BF=b，
∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，
∴（a+b）2=196，
∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10=24cm；
（3）解：存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAO，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，
∴AE2=AO•AP，
∵四边形AECF是菱形，
∴AO=AC，
∴AE2=AC•AP，
∴2AE2=AC•AP．
点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查的知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
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