一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列说法不正确的是( )
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C. 平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面
D. 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
2. 已知平面𝛼⊥平面𝛽，交于直线l，且直线𝑎⊂𝛼，直线𝑏⊂𝛽，则下列命题错误的是( )
A. 若𝑎//𝑏，则𝑎//𝑙或𝑏//𝑙 B. 若𝑎⊥𝑏，则𝑎⊥𝑙且𝑏⊥𝑙
C. 若直线a，b都不平行直线l，则直线a必不平行直线b D. 若直线a，b都不垂直直线l，则直线a必不垂直直线b
3. 若某柱体的三视图如图所示(单位：𝑐𝑚)，则该柱体的体积(单位：𝑐𝑚3)是( )
A. 6 B. 2
√3
，那么△4
C. 3
𝐴𝐵𝐶的面积是( )
D. 1
4. 如图是水平放置的△𝐴𝐵𝐶按“斜二测画法”得到的直观图，其中
𝐵′𝑂′=𝐶′𝑂′=√6，𝐴′𝑂′=
A. √2 B. √3
2 C. 3√2
D. 3√2
5. 已知m、n是不重合的两直线，𝛼、𝛽、𝛾是三个两两不重合的平面．给出下面四个命题：
①若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽则𝛼//𝛽； ②若𝛾⊥𝛼，𝛾⊥𝛽则𝛼//𝛽；
③若𝑚⊆𝛼，𝑛⊆𝛽，𝑚//𝑛则𝛼//𝛽；
④若m、n是异面直线，𝑚⊆𝛼，𝑚//𝛽，𝑛⊆𝛽，𝑛//𝛼则𝛼//𝛽， 其中是真命题的是( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平
地，下周一十二丈，高二丈．问积及为粟几何⋅”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少⋅”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知
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圆周率约为3，一斛=2700立方寸，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子(单位换算：1立方丈=106立方寸)是( )．
A. 800两 B. 1200两 C. 2400两 D. 3200两
7. 在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，𝐵1𝐶1，𝐶1𝐷1的中点，则正方体过
P，Q，E，F的截面图形的形状是( )
A. 正方形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
8. 正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中M，N，P分别为𝐴1𝐵1，CD，𝐵1𝐶1的中点，则下列中与直线AM有
关的正确命题是( )
A. AM与PC是异面直线 B. 𝐴𝑀⊥𝑃𝐶 C. 𝐴𝑀//平面𝐵𝐶1𝑁 D. 四边形𝐴𝑀𝐶1𝑁为正方形
M，N分别为线段PC，PB上一点，9. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面ABCD是平行四边形，若𝑃𝐶=4，
𝑀𝐶=1，且𝐴𝑁//平面BDM，则𝑃𝐵=( )
𝑃𝑁
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝐴𝐴1=5，M，N分别在线段𝐴𝐴1和AC上，10. 在长方体
|𝑀𝑁|=2，则三棱锥𝐷−𝑀𝑁𝐶1的体积最小值为( ) A. 4 B. 3√2−1 C. 4√3−2 D. 6√2−4 11. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则
其侧视图的面积为( )
6A. √ 46B. √ 22C. √ 2
4213
D. √2
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12. 在三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，已知𝑆𝐴=4，𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，∠𝐵𝐴𝐶=
2𝜋3
，若S，A，B，C四点均在球O
的球面上，且SA恰为球O的直径，则三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶的体积为( )
3A. √ 12
B. 4
1
C. 2
1
D. 4
1
3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的2，则这个圆台
的侧面积是________𝑐𝑚2．
14. 空间四边形ABCD中，𝐸,𝐹,𝐺,𝐻分别为边𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐵𝐶,𝐶𝐷的中点，则BD与平面EFGH的位置关
系是__________．
15. 如图，正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的所有棱长都为4.点D，E，F分别在棱PA，PB，PC
上，满足𝑃𝐷=𝑃𝐹=1，𝑃𝐸=2，则三棱锥𝑃−𝐷𝐸𝐹的体积是______ ． 16. 如图，已知正四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷的棱长为6，则它
的内切球的体积为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 如图所示(单位：𝑐𝑚)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕
AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.(参考公式：：台体的体积公
式：𝑉=3(𝑆′+√𝑆𝑆′+𝑆)ℎ，圆台的侧面积公式：𝑆=(𝑟𝑙+𝑟′𝑙)𝜋)
1
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18. 如图，一个平面与四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA分别相交于
点M，N，P，Q，且截面四边形MNPQ是正方形． (1)求证：𝐴𝐶//平面MNPQ；
(2)求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，并求异面直线MP与BD所成角的值．
19. 如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，O为底面ABCD的中心，P是𝐷𝐷1的中点．在棱𝐶𝐶1上是
否存在一点Q，使得平面𝐷1𝐵𝑄//平面PAO？若存在，指出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
20. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面𝐴𝐸𝐶′𝐹所截
而得到的，其中𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐶′=3，𝐵𝐸=1． (Ⅰ)求证：四边形𝐴𝐸𝐶′𝐹是平形四边形； (Ⅱ)求几何体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐶′𝐹的体积．
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21. 如图所示，已知在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F，M，N分别是
𝐴𝐵,𝐶𝐶1,𝐴𝐴1,𝐶1𝐷1的中点．求证：平面𝐶𝐸𝑀 //平面BFN．
22. 已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为4，E、F分别是棱AB、
𝐷1𝐶1的中点，联结EF、𝐹𝐵1、𝐹𝐴1、𝐷1E、𝐴1E、𝐵1E. (1)求三棱锥𝐴1−𝐹𝐵1𝐸的体积；
(2)求直线𝐷1𝐸与平面𝐵1𝐸𝐹所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
【分析】
本题考查常见几何体的特征与几何性质，属于基础题． 【解答】
解：𝐴.圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；
B.∵同一个圆锥的母线长相等，∴圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，正确； C.根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面正确； D.直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，
而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确． 因此D不正确． 故选：D． 2.答案：B
解析：解：由平面𝛼⊥平面𝛽，交于直线l，且直线𝑎⊂𝛼，直线𝑏⊂𝛽，知： 若𝑎//𝑏，则𝑎//𝑙且𝑏//𝑙，故A正确；
若𝑎⊥𝑏，则a与l不一定垂直且b与l不一定垂直，故B错误；
若直线a，b都不平行直线l，则由平行公理得直线a必不平行直线b，故C正确；
若直线a，b都不垂直直线l，则由线面垂直的性质得直线a必不垂直直线b，故D正确． 故选：B．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 3.答案：A
解析： 【分析】
本题考查空间几何体的三视图，求棱柱的体积，属于中档题． 由三视图可知几何体是直五棱柱，利用柱体的体积公式运算即可． 【解答】
解：由三视图可知几何体是直五棱柱，利用柱体的体积公式， 底面积为𝑆=22−2×2×1=3，高为2， 故𝑉=𝑆ℎ=3×2=6， 故选A． 4.答案：C
1
解析： 【分析】
√
本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，直接计算△𝐴𝐵𝐶𝐵′𝑂′=𝐶′𝑂′=√6，𝐴′𝑂′=4，3即可． ．
第6页，共15页
【解答】
解：因为𝐵′𝑂′=𝐶′𝑂′=√6，𝐴′𝑂′=√，
4所以△𝐴𝐵𝐶的面积为×2√6×√=
2
2
1
33√2． 23故选C．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题平面的基本性质和推论，考查学生的空间想象能力，是基础题．
解题时要认真审题，合理运用平面的性质判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系． 【解答】
解：因为𝛼、𝛽是不重合的平面，𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，所以𝛼//𝛽，即①成立；
若𝛼⊥𝛾，𝛽⊥𝛼，𝛼、𝛽、𝛾是三个两两不重合的平面，可知𝛼不可能平行𝛽，故②不成立； 𝑚//𝛼，𝑛//𝛽，𝑚//𝑛，𝛼，𝛽可能相交，不一定平行，故③不成立；
因为m，n两直线是异面直线，可知不平行，又因为𝑚⊆𝛼，𝑚//𝛽，𝑛⊆𝛽，𝑛//𝛼，则𝛼//𝛽，故④成立． 故选C．
6.答案：A
解析：
【分析】
本题是以数学文化为背影，考查圆锥的体积计算，主要考查学生的空间想象能力与数学计算能力． 【解答】
解：设圆锥底面圆的半径为r，因为2𝜋𝑟=12，圆周率约为3， 所以𝑟=2， 因为高为2丈，
所以该堆粟米的体积为3×3×23=8立方丈， 所以
8×106×2702700×1000
1
=800两.
故选A． 7.答案：D
解析： 【分析】
本题考查截面图形的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用． 由𝐸𝐹//𝑃𝑄，可以确定一个平面，这个平面与正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱𝐵𝐵1、𝐷𝐷1分别交于M，N，由正方体的性质得正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形． 【解答】
解：如图所示，由𝐸𝐹//𝑃𝑄，可以确定一个平面，
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这个平面与正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱𝐵𝐵1、𝐷𝐷1分别交于M，N， 由正方体的性质得𝐹𝑁//𝑀𝑃，𝑁𝑄//𝑀𝐸， 且𝐸𝐹=𝐹𝑁=𝑁𝑄=𝑄𝑃=𝑃𝑀=𝑀𝐸，
∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形． 故选：D． 8.答案：C
解析：解：𝑀𝑃//𝐴𝐶，显然，AM与PC不平行， ∴𝐴𝑀与PC延长后相交与一点，故选项A不正确；
取AB中点E，BC中点F，连接𝐵1𝐸，𝐵1𝐹，设该正方体棱长为2， 则𝐵1𝐸=𝐵1𝐹=√5，𝐸𝐹=√2，由边的关系可得𝐵1𝐸与𝐵1𝐹不垂直， 则AM与PC不垂直，故选项B不正确；
∵𝐴𝑀//𝐶1𝑁，𝐶1𝑁⊂平面𝐵𝐶1𝑁，𝐴𝑀⊄平面𝐵𝐶1𝑁 ∴𝐴𝑀//平面𝐵𝐶1𝑁，故选项C正确；
四边形𝐴𝑀𝐶1𝑁为菱形，设该正方体棱长为2，
则𝐴𝑀=𝐴𝑁=√5，𝑀𝑁=2√2，由边的关系得，AM与AN不垂直， 故四边形𝐴𝑀𝐶1𝑁不是正方形，故选项D不正确； 故答案选：C．
结合图形可判定选项A、B、D不正确，选项C可根据线面平行的判定定理进行判定即可．
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及线面平行的判定，同时考查了推理能力，属于基础题． 9.答案：C
解析：
EN，【分析】本题考查线面平行的判定定理以及性质定理，属于中档题，取PC的中点E，连接AE，
连接AC交BD于O，连接MO，得到𝑃𝑀:𝑀𝐶=3:1，可证得𝑀𝑂//𝐴𝐸，由线面平行的判定定理得到𝐴𝐸//平面BDM，从而得到平面𝐴𝑁𝐸//平面BDM，从而得到𝑁𝐸//𝑀𝐵，得到𝑃𝑁:𝑁𝐵=𝑃𝐸:𝐸𝑀=2:1，
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得到结果．
【解答】解：如图，取PC的中点E，连接AE，EN， 连接AC交BD于O，连接MO．
因为𝑃𝐶=4，𝑀𝐶=1，所以𝑃𝑀:𝑀𝐶=3:1． 因为PC的中点为E，所以𝐸𝑀=𝑀𝐶． 因为O是AC的中点，所以𝑀𝑂//𝐴𝐸， 又
平面BDM，𝑂𝑀⫋平面BDM，
所以𝐴𝐸//平面BDM，
又𝐴𝑁//平面BDM，𝐴𝐸∩𝐴𝑁=𝐴， 所以平面𝐴𝑁𝐸//平面BDM，
所以𝑁𝐸//𝑀𝐵，所以𝑃𝑁:𝑁𝐵=𝑃𝐸:𝐸𝑀=2:1， 所以𝑃𝐵=3． 故选C．
𝑃𝑁
2
10.答案：A
解析：
【分析】
本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
由题意画出图形，可知要使三棱锥𝐷−𝑀𝑁𝐶1的体积最小，则𝐶1 到直线MN的距离最小，此时MN在AC上，𝐶1 到直线MN的距离为5，再由棱锥体积公式求解． 【解答】 解：如图，
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∵𝐷到平面𝑀𝐶1𝑁的距离为定值5，
△𝑀𝐶1𝑁的一边长𝑀𝑁=2，
∴要使三棱锥𝐷−𝑀𝑁𝐶1的体积最小，则𝐶1 到直线MN的距离最小，此时MN在AC上， 𝐶1 到直线MN的距离为5，
则三棱锥𝐷−𝑀𝑁𝐶1的体积最小值为𝑉=3×2×2×5×故选：A． 11.答案：A
1
1
125
12
=4．
解析： 【分析】
本题考查简单空间图形的三视图，涉及三角形面积的求解，属基础题．
由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案． 【解答】
解：∵边长为1的正三角形的高为√12−()2=√，
2
2
1
3
∴侧视图的底边长为√，
2
3
又侧视图的高等于正视图的高√2， 故所求的面积为：𝑆=×√×√2=√
224故选A
1
3
6
12.答案：C
解析：
【分析】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
AO，推导出∠𝐴𝐵𝑆=∠𝐴𝐶𝑆=90°，取BC中点O，连结SO，则𝑆𝑂⊥𝐵𝐶，𝑆𝐵=𝑆𝐶=√15，𝐵𝐶=√3，
357
𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，𝐴𝑂=2，𝐵𝑂=√，𝑆𝑂=√，从而cos∠𝑆𝐴𝑂=2，进而∠𝑆𝐴𝑂=60°，S到平面ABC的距
2
2
1
1
离𝑑=𝑆𝐴×𝑠𝑖𝑛60°=2√3，由此能求出三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶的体积． 【解答】
解：∵在三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，𝑆𝐴=4，𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，∠𝐵𝐴𝐶=
2𝜋3
，
S，A，B，C四点均在球O的球面上，且SA恰为球O的直径，
∴∠𝐴𝐵𝑆=∠𝐴𝐶𝑆=90°，𝑆𝐵=𝑆𝐶=√15，𝐵𝐶=√1+1−2×1×1×cos
1
2𝜋33
=√3，
取BC中点O，连结SO，AO，则𝑆𝑂⊥𝐵𝐶，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，𝐴𝑂=2，𝐵𝑂=√，
2
第10页，共15页
𝑆𝑂=√15−4=∴cos∠𝑆𝐴𝑂=
3
√57
， 2
𝑆𝐴2+𝐴𝑂2−𝑆𝑂22×𝑆𝐴×𝐴𝑂
=
16+−
157441
2×4×
2
=2，∴∠𝑆𝐴𝑂=60°，
32
1
∴𝑆到平面ABC的距离𝑑=𝑆𝐴×𝑠𝑖𝑛60°=4×√=2√3， ∴三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶的体积：
𝑉=3×𝑆△𝐴𝐵𝐶×𝑑=3×2×√3×2×2√3=2． 故选：C． 13.答案：24𝜋
1
1
1
1
1
解析： 【分析】
本题主要考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
画出将圆台还原为圆锥后的轴截面，设𝑂1𝐶=𝑟，依据题目数据关系，求出r，利用圆台侧面积公式求解即可． 【解答】 解：
如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面， 𝑂1𝐶=2𝑂𝐴， ∠𝐴𝑆𝑂=30∘，由题意知𝐴𝐶=4𝑐𝑚，设𝑂1𝐶=𝑟，则𝑂𝐴=2𝑟，
1
=又𝑆𝐶
1
𝑂𝐶𝑂𝐴𝑆𝐴
=sin30∘，
∴𝑆𝐶=2𝑟，𝑆𝐴=4𝑟，
∴𝐴𝐶=𝑆𝐴−𝑆𝐶=2𝑟=4(𝑐𝑚)， ∴𝑟=2𝑐𝑚，
所以圆台的侧面积为：𝑆=𝜋(𝑟+2𝑟)×4=24𝜋(𝑐𝑚2)． 故答案为24𝜋． 14.答案：平行
解析：∵𝛥𝐴𝐵𝐷中，𝐸,𝐹分别是𝐴𝐵,𝐴𝐷中点，∴𝐸𝐹//𝐵𝐷∵𝐸𝐹⊂平面EFGH，𝐵𝐷⊈平面EFGH，∴𝐵𝐷//平面EFGH
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2 15.答案：√6
解析：解：如图所示：过顶点P作𝑃𝑂⊥底面ABC，垂足为O，则点O是底面的中心．
∵点O是底面的中心，即为△𝐴𝐵𝐶的重心，∴𝑂𝐴=在𝑅𝑡△𝑃𝐴𝑂中，由勾股定理得𝑃𝑂=又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=√⋅42=4√3，
4∴𝑉三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶=⋅4√3⋅
31
4√63
3
4√6
． 3
4√33
．
=
163
√2．
∵𝑃𝐷=𝑃𝐹=1，𝑃𝐸=2， ∴三棱锥𝑃−𝐷𝐸𝐹的体积是⋅⋅⋅
442故答案为：√．
62
1
1
1
163
√2=
√2
． 6
过顶点P作𝑃𝑂⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．在正△𝐴𝐵𝐶中，先由重心定理求出AO的长，进而在𝑅𝑡△𝑃𝐴𝑂中求出高PO，底面正△𝐴𝐵𝐶的面积易求，再根据三棱锥的体积公式𝑉三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶，再求出三棱锥𝑃−𝐷𝐸𝐹的体积．
理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键． 16.答案：√6𝜋
解析：解：设正四面体为PABC，内接和外接球的两球球心重合，设为O． 设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，𝑃𝐷⊥底面ABC，𝑂𝐷=𝑟，𝑂𝐷=正四面体PABC内切球的高． 且𝑃𝑂=𝑅，
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面． 每个正三棱锥体积𝑉1=3⋅𝑆⋅𝑟而正四面体PABC体积𝑉2=3⋅𝑆⋅(𝑅+𝑟) 根据前面的分析，4⋅𝑉1=𝑉2， 所以，4⋅3⋅𝑆⋅𝑟=3𝑆⋅(𝑅+𝑟)，
所以，𝑅=3𝑟，
由题意，正四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷的棱长为6，带入以上推论： 所以𝐴𝐷=2√3， 所以𝑃𝐷=2√6， 即内切球半径𝑟=√
2
内接球的体积𝑉=3𝜋𝑟3=√6𝜋．
46
1
1
1
1
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由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设内接球半径为x，利用勾股定理求出x的值，可求内接球的体积
本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题
17.答案：解：由题意得：四边形ABCD是直角梯形，图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体为：上、下底面半径分别为2和6，高为4的圆台，再减去一个半径为2的半球，
∴图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的体积为：𝑉=3×(𝜋×22+𝜋×2×6+𝜋×62)×4−
1
1
×3×𝜋×23=64𝜋(𝑐𝑚3) 2
图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积为：𝑆=2×4×𝜋×22+𝜋×62+(2+6)×4√2×𝜋=4(8√2+11)𝜋(𝑐𝑚2)．
1
4
解析：本题考查组合体的表面积和体积，根据条件判断出图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体为：上、下底面半径分别为2和6，高为4的圆台，再减去一个半径为2的半球，根据公式计算即可，属于中档题．
18.答案：解：(1)证明：∵𝑀𝑁𝑃𝑄为正方形， ∴𝑀𝑁//𝑃𝑄，
又𝑀𝑁⊄平面ADC，𝑃𝑄⊂平面ADC， ∴𝑀𝑁//平面ADC，
又𝑀𝑁⊂平面BAC，平面𝐵𝐴𝐶∩平面𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐶， ∴𝑀𝑁//𝐴𝐶，
∵𝐴𝐶⊄平面MNPQ， ∴𝐴𝐶//平面MNPQ
(2)证明：由(1)知𝐴𝐶//𝑀𝑁， 同理𝐵𝐷//𝑁𝑃，
∴∠𝑀𝑁𝑃=即为AC，BD所成的角，
2∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∠𝑀𝑃𝑁即为MP与BD所成的角， 且∠𝑀𝑃𝑁=4．
𝜋𝜋
解析：(1)需证𝐴𝐶//𝑀𝑁，先证𝑀𝑁//平面DAC，利用𝑀𝑁//𝑃𝑄；
(2)利用第一步结果，求异面直线AC，BD所成角，为90°，得证，MP与BD所成角也在正方形内得解．
此题考查了线线平行，线面平行，异面直线所成角等，难度不大． 19.答案：解：当Q为𝐶𝐶1的中点时，平面𝐷1𝐵𝑄//平面PAO． ∵𝑄为𝐶𝐶1的中点，P为𝐷𝐷1的中点，∴𝑄𝐵//𝑃𝐴． 连接𝐷𝐵.∵𝑃、O分别为𝐷𝐷1、DB的中点，
∴𝐷1𝐵//𝑃𝑂.又𝐷1𝐵⊄平面PAO，𝑄𝐵⊄平面PAO，∴𝐷1𝐵//面PAO． 再由𝑄𝐵//面PAO，且𝐷1𝐵∩𝑄𝐵=𝐵， ∴平面𝐷1𝐵𝑄//平面PAO．
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解析：本题考查平面与平面平行的一般方法，即在一个平面内找到2条相交直线和另一个平面平行，属于中档题．首先确定当Q为𝐶𝐶1的中点时，平面𝐷1𝐵𝑄//平面𝑃𝐴𝑂.证明𝑄𝐵//𝑃𝐴，进而证明𝑄𝐵//面PAO，再利用三角形的中位线的性质证明𝐷1𝐵//𝑃𝑂，进而证明𝐷1𝐵//面PAO，再利用两个平面平行的判定定理证得平面𝐷1𝐵𝑄//平面𝑃𝐴𝑂.
20.答案：证明：(Ⅰ)∵平面𝐴𝐵𝐸//平面𝐷𝐶𝐶′𝐹，平面𝐴𝐸𝐶′𝐹∩平面𝐴𝐵𝐸=𝐴𝐸，平面𝐴𝐸𝐶′𝐹∩平面𝐷𝐶𝐶′𝐹=𝐶′𝐹， ∴𝐴𝐸//𝐶′𝐹，
同理可得𝐴𝐹//𝐶′𝐸，
∴四边形𝐴𝐸𝐶′𝐹是平形四边形．
(Ⅱ)将几何体补成棱长为3的正方体，
∴几何体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐶′𝐹的体积𝑉=2𝑉正方体=2×33=
1
1
272
．
解析：(Ⅰ)根据面面平行的性质定理得出𝐴𝐸//𝐶′𝐹，𝐴𝐹//𝐶′𝐸，故四边形𝐴𝐸𝐶′𝐹是平形四边形； (Ⅱ)将几何体补成正方体，则几何体的体积为正方体体积的一半． 本题考查了面面平行的性质，几何体的体积计算，属于中档题．
21.答案：证明：连接𝐴1𝐵,𝐴1𝑁,𝐶𝐷1，因为平面𝐶𝐶1𝐷1𝐷平面𝐵𝐵1𝐴1𝐴，且𝐴1𝐵 //𝐷1𝐶 //𝐹𝑁，所以平面BFN即为平面𝐴1𝐵𝐹𝑁．
因为𝑀𝐸//𝐴1𝐵，𝑀𝐸⊄平面𝐴1𝐵𝐹𝑁，所以𝑀𝐸//平面𝐴1𝐵𝐹𝑁.设G是𝐴1𝐵!的中点，连接𝐺1𝐺，则容易证明𝐺1𝐺//𝐶𝐸．
又因为𝐺1𝐺//𝐴1𝑁，所以𝐸𝐶//𝐴1𝑁，故EC//平面𝐴1𝐵𝐹𝑁，而𝑀𝐸∩𝐶𝐸=𝐸，所以平面𝑀𝐸𝐶//平面BFN．
解析：本题考查面面平行的判定，属于中档题．
首先证明平面BFN即为平面𝐴1𝐵𝐹𝑁.由线面平行判定定理证明𝑀𝐸//平面𝐴1𝐵𝐹𝑁，𝐸𝐶//平面𝐴1𝐵𝐹𝑁，然后利用面面平行的判定定理证明平面𝑀𝐸𝐶//平面BFN．
22.答案：解：(1)∵正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为4，E、F分别是棱AB、𝐷1𝐶1的中点，
第14页，共15页
连结EF、𝐹𝐵1、𝐹𝐴1、𝐷1E、𝐴1E、𝐵1E. ∴三棱锥𝐴1−𝐹𝐵1𝐸的体积
𝑉𝐴1−𝐹𝐵1𝐸=𝑉𝐸−𝐴1𝐵1𝐹==
=
323
1
×𝐴𝐴1×𝑆△𝐴1𝐵1𝐹 3
11
×4××4×4 32．
(2)以D为原点，DA，DC，𝐷𝐷1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
𝐷1(0,0，4)，𝐸(4,2，0)，𝐵1(4,4，4)，𝐹(0,2，4)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐵1=(0,2，4)，𝐸𝐹=(−4,0，4)，𝐸𝐷1=(−4,−2,4)， ⃗ =(𝑥,y，𝑧)， 设平面𝐵1𝐸𝐹的法向量𝑛⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝐸𝐵1=2𝑦+4𝑧=0
⃗ =(1,−2,1)， 则{，取𝑥=1，得𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅𝐸𝐹=−4𝑥+4𝑧=0𝑛
设直线𝐷1𝐸与平面𝐵1𝐸𝐹所成角的大小为𝜃， 则𝑠𝑖𝑛𝜃=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐸𝐷⃗⃗ |1⋅𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐸𝐷⃗⃗ |1|⋅|𝑛
=
4√36⋅√6=
√6， 9
6∴直线𝐷1𝐸与平面𝐵1𝐸𝐹所成角的大小为arcsin√．
9
解析：(1)三棱锥𝐴1−𝐹𝐵1𝐸的体积𝑉𝐴1−𝐹𝐵1𝐸=𝑉𝐸−𝐴1𝐵1𝐹=3×𝐴𝐴1×𝑆△𝐴1𝐵1𝐹，由此能求出结果． (2)以D为原点，DA，DC，𝐷𝐷1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线𝐷1𝐸与平面𝐵1𝐸𝐹所成角的大小．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
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