高二《解析几何》的“抛物线”一节中,利用抛物线的焦点、准线、

高二《解析几何》的“抛物线”一节中，利用抛物线的焦点、准线、焦点弦的有关知识，可设计如下的探究型问题：

1、已知抛物线

y2=2px（p>0），过焦点F的直线与抛物线相交于

A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，P(x0,y0)是线AB的中点（图1）。试尽可能多地找出点A、B、P的六个坐标所满足的等量关系。

对于本题，学生一般都能或多或少地给出一些答案，如

（1） 点在曲线上：y12=2px1，y22=2px2 ； （2） 中点坐标公式：x0=(x1 + x2)/2 ，

y0=(y1 + y2)/2 ；

（3） A、B、P、F共线：(x1-y1)y0=

(x2-y2)(x0-P/2) ；

（4） 焦点弦的斜率: = = P/y0 ； （5） 中点P的轨迹：y22=P(x0-P/2) ； （6） 焦点弦性质：y1y2=-p2 ，x1x2=p2/4

通过探索，进一步还可以将“数”的探究转向“形”的探究，提出下列问题：

2、在上题中，该抛物线的准线为L，分别过点A、B、P，作X轴的平行线，依次交L于M、N、Q，连结FM、FN、FQ、AQ和BQ（图2），试尽可能多地找出图中各线段的垂直关系。 学生除了很快回答图中一些显而易见的线

1

段垂直关系外，至少还可通过观察、猜想，推出线段间的以下垂直关系： (1)

FM⊥FN；(2) AQ⊥BQ；

(3) AQ⊥FM；(4) BQ⊥FN；(5) FQ⊥AB

为了进一步挖掘学生的潜力，增强探究热情，把思维活动引入纵深，还可以将上述内容设计成下面的探究题：

3、在上述两题中，如果允许引辅助线，你还能发现哪些情况？ 在教师的引导和启发下，学生至少还能发现以下情况（图3）， (1) (2)

以P为圆心，AB为直径的圆与准线相切，切点为Q； 以Q为圆心，MN为直径的圆切

AB于F点； (3)

AQ与FM的交点，BQ与FN的交

点均在y轴上； (4)

AN与BM相交于坐标原点；

2