晋源区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．123 B．163 C．203 D．323 2． 已知等差数列{an}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（ ） A．15

B．30

C．31

D．64

3． 下列判断正确的是（ ）

A．①不是棱柱 B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台 4． 已知直线 a平面，直线b平面，则（ ）

A．ab B．与异面 C．与相交 D．与无公共点 5． 已知a为常数，则使得A．a＞0 A．R

B．a＜0

B．[1，+∞） C．（﹣∞，1]

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

C．a＞e D．[2，+∞）

=1（a＞b＞0）上的一点，且

=0，

D．a＜e

6． 函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

7． 若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

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8． 已知函数f(x)asinx3cosx关于直线xA、

6对称 , 且f(x1)f(x2)4,则x1x2的最小值为

52 D、 6363x

9． 函数y=a+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（ ）

B、

C、



A．（0，1） B．（0，3） C．（1，0） D．（3，0）

10．已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）

A．y=2 B．y=log3（x+1） C．y=4﹣ D．y=

yx2

11．已知实数x,y满足不等式组xy4，若目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则

3xy5

实数m的取值范围是（ ）

A．m1 B．0m1 C．m1 D．m1

【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等. 12．在△ABC中，b=A．

B．2

C．

，c=3，B=30°，则a=（ ） 或2

D．2

二、填空题

13．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数； ③在x=2时，f（x）取得极大值； ④在x=3时，f（x）取得极小值． 其中正确的是 ．

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14．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．

15．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则

﹣

= ．

16．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O

﹣

= ．

外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则

17．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 18．若log2（2m﹣3）=0，则elnm﹣1= ．

三、解答题

12axx,aR． 2（1）令gxfxax1，讨论gx的单调区间；

19．已知函数fxlnx（2）若a2，正实数x1,x2满足fx1fx2x1x20，证明x1x2

51． 2第 3 页，共 15 页

20．（本小题满分12分）

数列{bn}满足：bn12bn2，bnan1an，且a12,a24. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前项和Sn.

21．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且

．

（1）求A； （2）若

22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

，求bc的值，并求△ABC的面积．

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23．已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当

24．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

．

(不等式选做题)设

（几何证明选做题）如图，若

,则

，且

中，

，以

，则的最小值为

于点

，

为直径的半圆分别交

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晋源区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

考点：三视图． 2． 【答案】A

【解析】解：∵等差数列{an}， ∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10， ∴a10=15， 故选：A．

3． 【答案】C

【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C．

4． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为直线 a平面，直线b平面，所以a//b或与异面，故选D. 考点：平面的基本性质及推论. 5． 【答案】C

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e

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故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

6． 【答案】C

2

【解析】解：由于f（x）=x﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上， 故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，

2

又由函数f（x）=x﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．

故答案为：C

7． 【答案】A 【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

8． 【答案】D

【解析】：f(x)asinx3cosxa23sin(x)(tan=

=

=

=

，设PF2=t，则PF1=2t

=2c，

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

3) af(x)对称轴为x6k3,f(x1)f(x2)4

x162k1,x2

52k2,x1x26min23y54321x=my=2xPx2y3=023459． 【答案】B

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O1xx+y3=0x x

【解析】解：由于函数y=a（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a+2（a＞0且a≠1）图象一定

过点（0，3）， 故选B．

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

10．【答案】C

【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线， 函数y=2函数y=4﹣

，y=log3（x+1），y=

的值域均含4，

即y=4不是它们的渐近线，

的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），

故y=4为函数图象的渐近线， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．

11．【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，A(1,3)，要使目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则需直线l过点A时截距最大，即z最大，此时kl1即可.

12．【答案】C 【解析】解：∵b=∴解得：a=故选：C．

或2

，c=3，B=30°，

2

，整理可得：a﹣3

2222

∴由余弦定理b=a+c﹣2accosB，可得：3=9+a﹣3

a+6=0，

．

二、填空题

13．【答案】 ③ ．

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【解析】解：由 y=f'（x）的图象可知， x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；

所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确； x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负， ③在x=2时，f（x）取得极大值； 而，x=3附近，导函数值为正，

所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确． 故答案为③．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

14．【答案】

．

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，

，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．

15．【答案】

．

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【解析】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=则

=

sin（﹣．

）=﹣

sin（x﹣，

），

=﹣

故答案为：﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．

16．【答案】 1 ．

【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外）， 均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD， 可通过特殊点，取A（﹣1，t），

则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1． 将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得故答案为：1．

﹣

=1．

【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．

2217．【答案】xy2

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

18．【答案】

．

m

【解析】解：∵log2（2﹣3）=0，

m

∴2﹣3=1，解得m=2， lnm1ln2

∴e﹣=e÷e=．

故答案为：．

【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．

三、解答题

19．【答案】（1）当a0时，函数单调递增区间为0,，无递减区间，当a0时，函数单调递增区间

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为0,

1a，单调递减区间为1a,；（2）证明见解析. 【解析】

题解析：

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试

（2）当a2时，fxlnxxx,x0，

22

2由fx1fx2x1x20可得lnx1x2x1x1x2x20， 即x1x2x1x2x1x2lnx1x2，

21t1，

tt则t在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，

令tx1x2,ttlnt，则t1所以t11，所以x1x2x1x21，

2第 12 页，共 15 页

51， 2由x10,x20可知x1x20．1

又x1x20，故x1x2考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20．【答案】（1）bn2n12；（2）Sn2n2(n2n4)． 【解析】

试题分析：（1）已知递推公式bn12bn2，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得bn，变形形式为bn1x2(bnx)；（2）由（1）可知anan1bn2n2(n2)，这是数列{an}的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由an(anan1)(an1an2)

(a2a1)a1求得．

试题解析：（1）bn12bn2bn122(bn2)，∵又b12a2a124，

bn122，

bn2∴an(2222)2n223n2(21)2n22n12n.

21n

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4(12n)n(22n)2n2(n2n4). ∴Sn122考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 21．【答案】

【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=∴B+C=则A=（2）∵a=2解得：bc=4， 则S△ABC=

bcsinA=

×4×

=

．

， ；

，b+c=4，cosA=﹣

，

，

222222

∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA=b+c+bc=（b+c）﹣bc，即12=16﹣bc，

【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 【解析】

22．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2].

试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11， 即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解； 21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1， 因为x1xaxax12xa1，

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所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1； 当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1

记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2， 所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论. 23．【答案】

【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=

=sin（2x﹣周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣

∈，即

+kπ，k∈Z}…5分

+kπ，x≠

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，

sinxcosx﹣ +

sin2x﹣ ）…3分

﹣

+kπ≤x≤

所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=

，2x﹣

∈，…9分

时取最大值，

）∈（﹣，1），当x=

时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．

24．【答案】 【解析】A

B

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