大兴区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

大兴区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

2． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4

yx2

3． 已知实数x,y满足不等式组xy4，若目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则

3xy5

实数m的取值范围是（ ）

A．m1 B．0m1 C．m1 D．m1

【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.

4． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）

A．34种 B．35种 C．120种 D．140种

x

5． 若函数y=a﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0

D．0＜a＜1且b＜0

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abc等于（ ）

sinAsinBsinC2393983A．33 B． C． D．

3236． 在ABC中，A60，b1，其面积为3，则7． 已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8． 抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段AF的中点B在抛物线上，则|BF|=（ ） A．

B．

C．

D．

9． 下列给出的几个关系中：①a,b；②④0,正确的有（ ）个

a,ba,b；③a,bb,a；

A.个 B.个 C.个 D.个

10．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

B．2

C．3

D．4

11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=A．

B．

C．2

D．3

，c=2，cosA=，则b=（ ）

12．若函数fx2sin2x的图象关于直线x对称，且当

212217x1，x2，，x1x2时，fx1fx2，则fx1x2等于（ ）

123A．2

B．2 2 C.6 2 D．2 4二、填空题

13．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=

，且|ω|=5

，则复数ω= ．

14．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkB（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给 AB出以下命题：

①函数yx3x21图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

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③设点A,B是抛物线yx21上不同的两点，则A,B2；

④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

15．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则

x的值为 ．

16．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxe2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数

x0，使得fx00，则a的取值范围是

17．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种． 中为自然对数的底数）的解集为 .

18．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f'(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3（其

三、解答题

19．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70

（1）画出散点图； （2）求线性回归方程；

20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F． （1）求证：BD

（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．

CE；

（2）若AB是圆的直径，AB4，DE1，求AD长

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2221．已知Aa,a1,3,Ba3,3a1,a1,若A

B3，求实数的值.

22．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+3）在（0，+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．

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23．已知函数f(x)3x，x2,5． x1（1）判断f(x)的单调性并且证明；

（2）求f(x)在区间2,5上的最大值和最小值．

24．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD， PD=AD=2EC，EC∥PD．

（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角： （Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．

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大兴区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确； ③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

2． 【答案】C 【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图． 3． 【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，A(1,3)，要使目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则需直线l过点A时截距最大，即z最大，此时kl1即可.

4． 【答案】A

【解析】解：从7个人中选4人共=34种．

种选法，只有男生的选法有

种，所以既有男生又有女生的选法有

﹣

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故选：A．

【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题

5． 【答案】B

x

0

∴根据图象的性质可得：a＞1，a﹣b﹣1＜0，

【解析】解：∵函数y=a﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限， 即a＞1，b＞0， 故选：B

6． 【答案】B 【解析】

113bcsinAbcsin600bc3，所以bc4，又b1，所224222220以c4，又由余弦定理，可得abc2bccosA14214cos6013，所以a13，则试题分析：由题意得，三角形的面积Sabca13239，故选B． 0sinAsinBsinCsinAsin603考点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到7． 【答案】D

22

【解析】解：∵“a＞b”既不能推出“a＞b”； 22

反之，由“a＞b”也不能推出“a＞b”． 22

∴“a＞b”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．

abca是解答的关键，属于中档试题．

sinAsinBsinCsinA故选D．

8． 【答案】D

【解析】解：依题意可知F坐标为（，0） ∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得∴抛物线准线方程为x=﹣

，

=

， =1，解得p=

，

所以点B到抛物线准线的距离为

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则B到该抛物线焦点的距离为．

故选D．

9． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：a,bb,a和0是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 10．【答案】A

【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3

，

故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

11．【答案】D

【解析】解：∵a=

，c=2，cosA=，

∴由余弦定理可得：cosA===

，整理可得：3b2

﹣8b﹣3=0，

∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D．

12．【答案】C 【

解

析第 8 页，共 16 页

】

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考

点：函数的图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

，从而fx2sin2x，再次利用数形结合思想和转化化归思想

3122311可得x1，fx1，对称，可得x1x2，从而 x2，fx2关于直线x11126611fx1x22sin．

3232kkZ，解得二、填空题

13．【答案】 ±（7﹣i） ．

．

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=

=．

=

，|ω|=

，∴

2

把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．

∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

=±（7﹣i）．

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．

14．【答案】②③ 【解析】

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试题分析：①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,(A,B)②对：如y1；③对；(A,B)④错；(A,B)|2xA2xB|(xAxB)(xx)x2222A22B273；17

21(xAxB)2；

|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1|ex1ex2|1(ee)x1x22，

1(ex1ex2)211111,因为恒成立，故t1.故答案为②③.111] tx1x2x1x22(A,B)|ee|(ee)(A,B)考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 15．【答案】

．

【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10． 数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴ ∴b2=3，则故答案为

．

=

，

=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．

16．【答案】

【解析】试题分析:设

的下方.因为

当时,

时,

,函数

,故当

,故当

,由题设可知存在唯一的整数x0，使得

时,

单调递增;故且

,解之得,函数

在直线单调递减; ,而当,应填答案

3,1. 2e第 10 页，共 16 页

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考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．

【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0，使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数x0，使得据题设建立不等式组求出解之得17．【答案】 75

【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 根据分类计数加法得到结果．

【解答】解：由题意知本题需要分类来解，

在直线

.

的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，

13

第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C3C6=60， 4

第二类，若从其他六门中选4门有C6=15，

∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法． 故答案为：75．

解

【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏． 18．【答案】(0,) 【

析

】

考点：利用导数研究函数的单调性.

等式进行变形,可得fxfx10,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以e,即

x

【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不

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以构造满足前提的特殊函数,比如令fx4也可以求解.1

exfxexfxex0,因此构造函数gxexfxex,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）

（2）

设回归方程为=bx+a 则b=

﹣5

/

﹣5

=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5

故回归方程为=6.5x+17.5

（3）当x=7时， =6.5×7+17.5=63，

所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）． 这是解答正确的主要环节．

20．【答案】

查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．

【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，

【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考

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DEDCBC2，则BCABDE4，∴BC2． BCBAAB

1∴在RtABC中，BCAB，∴BAC30，∴BAD60，

21∴在RtABD中，ABD30，所以ADAB2．

2221．【答案】a．

3∴【解析】

考点：集合的运算. 22．【答案】

【解析】解：由题意得

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命题P真时0＜a＜1，

2

命题q真时由（2a﹣3）﹣4＞0解得a＞或a＜，

由p∨q真，p∧q 假，得，p，q一真一假 即：

或

，

解得≤a＜1或a＞．

【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数，二次函数的性质，是一道基础题．

23．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】

试题分析：（1）在2,5上任取两个数x1x2，则有f(x1)f(x2)3(x1x2)0，所以f(x)在2,5(x11)(x21)5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为f(2)2，最大值为f(5).

2试题解析：

在2,5上任取两个数x1x2，则有

f(x1)f(x2)所以f(x)在2,5上是增函数．

3x13x23(x1x2)0， x11x21(x11)(x21)所以当x2时，f(x)minf(2)2， 当x5时，f(x)maxf(5)考点：函数的单调性证明．

【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数x1x2，然后作差f(x1)f(x2)，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD， ∴EC⊥平面ABCD， 又BD⊂平面ABCD， ∴EC⊥BD，

∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，

5. 2第 14 页，共 16 页

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∴AC⊥BD，

又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC， ∴BD⊥平面AEC， ∴BD⊥AE，

∴异面直线BD与AE所成角的为90°． （Ⅱ）∵底面ABCD为正方形， ∴BC∥AD，

∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD，

∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EC∥平面PAD，

∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴ ∴平面BCE∥平面PAD， ∵BE⊂平面BCE， ∴BE∥平面PAD．

（Ⅲ） 假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF， ∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD， ∴PD⊥CD，PD⊥AD， ∵PD=AD，F是PA的中点， ∴DF⊥PA， ∴∠PDF=45°，

∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD， ∴DF⊥平面PAE， ∴DF⊥PE，

∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D， ∴CD⊥平面PAD． 又DF⊂平面PAD， ∴DF⊥CD，

∵PD=2EC，EC∥PD， ∴PE与CD相交， ∴DF⊥平面PDCE， ∴DF⊥PD，

这与∠PDF=45°矛盾，

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∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．

【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．

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