专升本高数(一)(A)+答案

高等数学（一） 试卷A

一、填空题： 1. 当x时，函数2. 设函数

f(x)与

1x是等价无穷小，则lim2xf(x)x_____________________。

f(x)在x1可导,且f(1)2，则limx1f(43x)f(1)____________。

x13. 设

yx2e2x，则y(50)______________。

4. 函数5. 已知6. 函数

f(x)lncosx在[79,]上满足罗尔定理的点___________。 4410f(x)的一个原函数为xex，则xf(x)dx__________。

f(x)xln(1x)的单调减少区间为______________。

x3t27. 通过点(1,2,3)且与直线y2t垂直的平面方程为__________________。

zt12z_______________。 8. 设zxyxy，则

xy239. 改变积分次序

dx01x20f(x,y)dydx122x0f(x,y)dy________________。

10. 微分方程xdy2ydx0满足

yx2___。 1的特解是__________二、选择题： 11. 设函数

f(x)有二阶连续导数，且f(0)0,limx0f(x)1， 则（ ） x

（A）（D）

f(0)是f(x)的极小值； （B）f(0)是f(x)的极大值； （C）(0,f(0))是曲线yf(x)的拐点； f(0)不是f(x)的极小值，(0,f(0))也不是曲线yf(x)的拐点。

12. 下列积分中，哪一个广义积分是发散的 （ ）

101dxdx（A）； （B）； （C）sinxdx； （D）exdx 24110xxx1y1z213. 平面x2yz30与空间直线的位置关系是 （ ） 311（A）互相垂直； （B）互相平行但直线不在平面上； （C）既不平行也不垂直； （D）直线在平面上 14. 级数

axnn0n在x2处收敛，则该级数在x1时 ( )

（A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）敛散性无法确定。

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15. 设

yy(x)在点x处的增量为yyx1x，且当x0时，是x的高阶无穷小，y(0)1，则y(1)的值为 （ ）。 （A）1； （B） 0 ； （C）1 ； （D）2

2x3x1x33x) 18. 设z(2xy)(x3y)，求dz 三、计算题：16. lim 17. lim(x2x1x3sin(3x)19. 设z是由方程exysin(xz)0所确定的x,y的函数，求

zz,。 xy20. 计算21. 计算

Lx2ydxxy2dy，其中L是上半圆周：x2y2a2,y0，方向从B(a,0)A(a,0)。

xdxdydz，其中：三个坐标平面与平面xyz1所围成的闭区域。

22. 求微分方程

y2y3ye3x的通解。

nnn四、解答题：23. 判定级数n(a0,ae)的敛散性。 24. 求幂级数nx的收敛域及和函数。

n1n1an!25. 已知

xtcostdt,x0，讨论f(x)的连续性，并写出连续区间；考察在x0处f(x)是否可导？若可f(x)0x2,x0导，求

f(0)。

五、应用题 26. 设函数

3f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内大于零，并满足微分方程xf(x)f(x)ax2(a为常数）。又曲线

22，求函数

yf(x)与x1,y0所围图形的面积为

体积最小。 六、证明题：27. 设

f(x)，并问a为何值时，图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的

f(x)是连续函数，证明：1(1nn11)f(x)dx0。 x2x

高等数学（一）试卷参考答案（A卷）

一、填空题

1. lim2xf(x)2。 2. limxx1f(43x)f(1)6。 3. 250e2x。

x1 4. 2. 5. xf(x)dxe。 6. 单调减少区间为(1,0)。

012z7. 3x2yz100 8. 2y3x2。

xy第2页，共6页

9.

10dxf(x,y)dydx01x222x0f(x,y)dydy012yyf(x,y)dx。

10. 特解是

y4x2。

二、选择题

11. A； 12. C； 13. D ； 14. B； 15. D

三、计算题 16.

3x23xln3x33x(2727ln3)27(ln31)。 =limlimx3x3sin(3x)1

17.

3x13(1)x12x3e22xlim()lim1e2。 x1x2x1x1(1)e22x

18. u2xy,vx3y,zuv (1分)

zzuzvvuv12uvlnuuv1(2vulnu)xuxvx(2xy)x3y1[2(x3y)(2xy)ln(2xy)]

zzuzvvuv1uvlnu(3)uv1(v3ulnu)yuyvy(2xy)x3y1[(x3y)3(2xy)ln(2xy)]19. F(x,y,z)

exysin(xz)Fxexysin(xz)exycos(xz)；

Fyexysin(xz)； Fzexycos(xz)；

Fxzexy[sin(xz)cos(xz)]于是[tan(xz)1]； xyxFzecos(xz)

Fyzexysin(xz)xytan(xz)； yFzecos(xz)zzdxdy[tan(xz)1]dxtan(xz)dy。 xydz

20. 解:补充直线

AB:(a,0)(a,0),使LAB构成封闭曲线L.

222Lxydxxydy(yx)dxdydr2rdrD002a4a4;

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而

ABxydxxydy0,

x2ydxxy2dy(y2x2)dxdyx2ydxxy2dyDAB22y0所以

4La4.

21．

xdxdydzdx011x0dy1xy0xdzdx011x0(1xy)dy

111312x[(1x)]dx(x2x2x)dx. 0220241222. 解：特征方程r2r30(r3)(r1)0r11,r23;

C1exC2e3x。

所以，齐次方程的通解为Y又3是特征方程的单根，故可设非齐次方程的特解y*Axe3x；

A113x*。所以特解yxe。 441x3x所以微分方程的通解：yC1eC2exe3x。

4代入方程，得

四、解答题（每题8分，共24分）

un1(n1)n1ann!11ne23. 解：limlimlim(1)； nn1nunnna(n1)!anan当a

e时，limun1e1，所以级数收敛且绝对收敛。

nuanun1e1，所以级数发散。

nuan当a

e时，lim7. 解：1）收敛半径Rlimn1，且在x1时，级数发散，

nn1所以收敛域为(1,1)。

2）设收敛域内和函数为S(x)，于是

S(x)nxxnxnn1n1n1xxx(xn)x()1x(1x)2n1x。

25． 解：

x0limf(x)limtcostdt0,limf(x)limx20，

x00x0x0第4页，共6页

limf(x)0f(0)，f(x)在x0点连续。

x0又

f(x)在(,0)和(0,)内连续，故其连续区间为(,)。

f(x)f(0)limlimx0x0x0x0tcostdtxlimx0xcosx0； 1f(x)f(0)x20limlim0； x0x0x0x于是所以

五、应用题

f(0)limx0f(x)f(0)0，

x0

f(x)在x0处可导，且f(0)0。

f(x)3f(x)3axf(x)ax， x2x213 即为一阶线性微分方程。此时p(x),q(x)ax。于是，

x2解：1）当x0时，f(x)f(x)e又因为

1()dxx3ax(x)dx3a3a[edxc]elnx[dxc]x[xc]；

222x01f(x)在[0,1]上连续，所以，limf(x)0f(0)，即f(0)0，曲线过原点。

所以，

f(x)3a2xxc21x[0,1]。 (3a2a3c2111xcx)dx(xx)ac， 00222223a2即ac4c4a。因此f(x)x(4a)xx[0,1]。

21132223）Vxf(x)dx[ax(4a)x]dx

0022）又由已知条件得：29a24[x3a(4a)x3(4a)2x2]dx0419a253a1[x(4a)x4(4a)2x3]102043

9a23a1[(4a)(4a)2]。

2043 (Vx)a[1832a3a(a4)]，令(Vx)a0，又(Vx)a50，

152023 所以当a

5时旋转体的体积最小。

六、证明题

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27. 证：令tnx11， x:n,xn111t:nn，dt(12)dx

xnn于是

1n11n(1)f(x)dxf(t)dt0。 11nx2nxn第6页，共6页