1、 (2016·全国卷Ⅱ·24)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上.t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动.t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动.杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为g.求： (1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小； (2)电阻的阻值.
答案 (1)Blt(F
B2l2t00
m－μg) (2)m
解析 (1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma① 设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v＝at0
②
当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为E＝Blv③ 联立①②③式可得E＝BltF
0(m
－μg) ④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律I＝E
R ⑤
式中R为电阻的阻值.金属杆所受的安培力为F安＝BlI ⑥ 因金属杆做匀速运动，有F－μmg－F安＝0 ⑦ 22
联立④⑤⑥⑦式得R＝Blt0
m
.
2、 (2017·上海单科·20改编)如图，光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面.质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置.在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力.
(1)求ab开始运动时的加速度a的大小；
(2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况.
解析 (1)利用楞次定律，对初始状态的ab受力分析得：mgsin θ＋BIL＝ma①
对回路分析I＝EBLv0
R＝R②
联立①②得a＝gsin θ＋B2L2v0
mR (2)上滑过程：
由第(1)问中的分析可知，上滑过程加速度大小表达式为：asin θ＋B2L2v
上＝gmR
③
上滑过程，a、v反向，做减速运动.利用③式，v减小则a减小，可知，杆上滑时做加速度逐渐减小的减速运动.
下滑过程：由牛顿第二定律，对ab受力分析得：mgsin θ－B2L2v
R＝ma下④
aB2L2v
下＝gsin θ－mR
⑤
因a下与v同向，ab做加速运动.
由⑤得v增加，a下减小，杆下滑时做加速度逐渐减小的加速运动.
3、如图所示，间距为L的平行且足够长的光滑导轨由两部分组成.倾斜部分与水平部分平滑相连，倾角为θ，在倾斜导轨顶端连接一阻值为r的定值电阻.质量为m、电阻也为r的金属杆MN垂直导轨跨放在导轨上，在倾斜导轨区域加一垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场；在水平导轨区域加另一垂直轨道平面向下、磁感应强度也为B的匀强磁场.闭合开关S，让金属杆MN从图示位置由静止释放，已知金属杆MN运动到水平轨道前，已达到最大速度，不计导轨电阻且金属杆MN两端始终与导轨接触良好，重力加速度为g.求： (1)金属杆MN在倾斜导轨上滑行的最大速率vm；
(2)金属杆MN在倾斜导轨上运动，速度未达到最大速度vm前，当流经定值电阻的电流从零增大到I0的过程中，通过定值电阻的电荷量为q，求这段时间内在定值电阻上产生的焦耳热Q； (3)金属杆MN在水平导轨上滑行的最大距离xm.
解析 (1)金属杆MN在倾斜导轨上滑行的速度最大时，其受到的合力为零， 对其受力分析，可得mgsin θ－BImL＝0
根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律可得：IBLvm
m＝2r
解得：v2mgrsin θm＝B2L2
1
(2)设在这段时间内，金属杆MN运动的位移为x由电流的定义可得：q＝IΔt 根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律得：平均电流I＝BΔSBLx
2rΔt＝2rΔt
解得：x＝2qr
BL
设电流为I0时金属杆MN的速度为v0，根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律， 可得IBLv02rI0＝0
2r，解得v0＝BL
设此过程中，电路产生的焦耳热为Q＝Q1
热，由功能关系可得：mgxsin θ热＋2mv02
定值电阻r产生的焦耳热Q＝1
2
Q热
解得：Q＝mgqrsin θBL－mI 02r
2
B2L2 (3)设金属杆MN在水平导轨上滑行时的加速度大小为a，速度为v时回路电流为I，由牛顿第二定律得：BIL＝ma
由法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律可得：I＝
BLv
2r
联立可得：B2L2ΔvB2L22rv＝mΔt 2rvΔt＝mΔv，即B2L2
2rxm＝mvm
得：x4m2gr2sin θm＝
B4L4
4、如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻.质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下.当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v.导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.求：
(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I； (2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a； (3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P. (1)Bdv0B2d2v0B2d2v0－v2
答案 R (2)mR (3)R
解析 (1)MN刚扫过金属杆时，感应电动势E＝BdvE
0 感应电流I＝R
解得I＝Bdv0
R
BId 由牛顿第二定律得F＝ma 解得a＝B2(2)安培力F＝d2v0
mR (3)金属杆切割磁感线的相对速度v′＝v0－v，则
感应电动势E′＝Bd(vE′2B2d2v0－v2
0－v) 电功率P＝R 解得P＝R
5.(2016·全国卷Ⅰ·24)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连.两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平.右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑.求：
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小. 答案 (1)mg(sin θ－3μcos θ)
(2)mgR
B2L
2(sin θ－3μcos θ) 解析 (1)由于ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是相等，cd也做匀速直线运动.设导线的张力的大小为FT，右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为FN2，对于ab棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得
2mgsin θ＝μFN1＋FT＋F ① FN1＝2mgcos θ ② 对于cd棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得 mgsin θ＋μFN2＝FT′＝FT ③ FN2＝mgcos θ ④ 联立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ) ⑤
(2)设金属棒运动速度大小为v，ab棒上的感应电动势为E＝BLv
⑥
2
回路中电流I＝E
R ⑦ 安培力F＝BIL ⑧
联立⑤⑥⑦⑧得： v＝mgR
B2L
2(sin θ－3μcos θ)
6.如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板(图中未画出)，上端连接一个阻值R＝2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度为a的匀加速运动.已知每根金属棒质量为m、长度为L、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好.求：
(1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零； (2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率； (3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系.
答案 (1)5mgrsin θ2B2L2a (2)m2g2rsin2θ2B2L2 (3)F＝m(gsin θ＋a)＋3B2L2a
5rt
解析 (1)棒ab对挡板的压力为零时，受力分析可得 BIabL＝mgsin θ 设经时间t0棒ab对挡板的压力为零，棒cd产生的电动势为E，则 E＝BLat0 回路中电流I＝Er＋R RRr2R
外＝＝外R＋r3r Iab＝R＋rI
解得t5mgrsin θ
0＝2B2L2a
(2)棒ab对挡板压力为零时，cd两端电压为 U 解得Umgrsin θ
cd＝E－Ir cd＝BL
此时电阻R的电功率为 P＝
U cd
2m2g2rsin2θR
解得P＝
2B2L2
(3)对cd棒，由牛顿第二定律得
F－BI′L－mgsin θ＝ma I′＝E′
r＋R E′＝BLat
外(gsin θ＋a)＋3B2L2解得F＝ma
5r
t.
7.(2016·全国卷Ⅲ·25)如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关
系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里.某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动.金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计.求：
(1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小. 答案 (1)kt0SR (2)BkS)B0lv0(t－t0)＋kSt (B0lv0＋0l
R
解析 (1)在金属棒未越过MN之前，穿过回路的磁通量的变化量为ΔΦ＝ΔBS＝kΔtS① 由法拉第电磁感应定律有 E＝ΔΦ
Δt
②
由欧姆定律得I＝ER ③ 由电流的定义得 I＝Δq
Δt ④
联立①②③④式得 |Δq|＝kS
R
Δt ⑤
由⑤式得，在t＝0到t＝t0的时间间隔内即Δt＝t0，流过电阻R的电荷量q的绝对值为 |q|＝
kt0S
R
⑥ (2)当t>t0时，金属棒已越过MN.由于金属棒在MN右侧做匀速运动，有 F＝F安 ⑦ 式中，F是外加水平恒力，F安是金属棒受到的安培力.设此时回路中的电流为I， F安＝B0lI ⑧
此时金属棒与MN之间的距离为s＝v0(t－t0) ⑨ 匀强磁场穿过回路的磁通量为 Φ′＝B0ls ⑩ 回路的总磁通量为 Φt＝Φ＋Φ′ ⑪ 其中Φ＝B1S＝ktS ⑫
由⑨⑩⑪⑫式得，在时刻t(t>t0)，穿过回路的总磁通量为Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt⑬ 在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量ΔΦt为 ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt ⑭ 由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为 EΔΦt＝t
Δt ⑮
由欧姆定律得I＝Et
R
⑯
3
联立⑦⑧⑭⑮⑯式得 F＝(B＋kS)B0lv00l
R
.
8、如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接电阻R，宽度相同的水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为h且无磁场.一长度为L、质量为m、电阻为r的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好的接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界H处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流及其变化情况相同，重力加速度为g.求：
(1)导体棒进入区域Ⅰ的瞬间，通过电阻R的电流大小与方向. (2)导体棒通过区域Ⅰ的过程，电阻R上产生的热量Q. (3)求导体棒穿过区域Ⅰ所用的时间.
BLRB2答案 (1)2H－h
R＋r2gH，方向向左 (2)L2dR＋rmg(h＋d) (3)mgR＋r＋
－ 2Hgg
解析 (1)设导体棒进入区域Ⅰ瞬间的速度大小为v1， 根据动能定理：mgH＝1
2mv12 ①
由法拉第电磁感应定律：E＝BLv1 ②
由闭合电路的欧姆定律：I＝E
R＋r ③
由①②③得：I＝BL
R＋r2gH
由右手定则知导体棒中电流方向向右，则通过电阻R的电流方向向左. (2)由题意知，导体棒进入区域Ⅱ的速度大小也为v1， 由能量守恒，得：Q总＝mg(h＋d) 电阻R上产生的热量Q＝R
R＋r
mg(h＋d)
(3)设导体棒穿出区域Ⅰ瞬间的速度大小为v2，从穿出区域Ⅰ到进入区域Ⅱ，v12－v22＝2gh，得：v2＝2gH－h
设导体棒进入区域Ⅰ所用的时间为t，根据动量定理： 设向下为正方向：mgt－BILt＝mv2－mv1 此过程通过整个回路的电荷量为：q＝It＝
BLd
R＋r
得：t＝B2L2d
2H－h
mgr＋R＋－2Hgg
9、 (2018·甘肃天水模拟)如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动.先固定a，释放b，当b的速度达到10 m/s时，再释放a，经过1 s后，a的速度达到12 m/s，g取10 m/s2，则： (1)此时b的速度大小是多少？
(2)若导轨足够长，a、b棒最后的运动状态怎样？ 答案 (1)18 m/s (2)匀加速运动
解析 (1)当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等.释放a棒后，经过时间t，分别以a和b为研究对象，根据动量定理，则有
(mg＋F)t＝mva (mg－F)t＝mvb－mv0 代入数据可解得vb＝18 m/s
(2)在a、b棒向下运动的过程中，a棒的加速度a＋FF
1＝gm，b产生的加速度a2＝g－m.当a棒的速
度与b棒接近时，闭合回路中的ΔΦ逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小，最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动.
10、(2017·湖南长沙四县三月模拟)足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的电阻不计.平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向与轨道平面垂直向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图3所示，若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求： (1)c棒的最大速度；
(2)c棒达最大速度时，此棒产生的焦耳热；
(3)若c棒达最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高点时对轨道的压力的大小. 答案 (1)5 m/s (2)1.25 J (3)1.25 N
解析 (1)在磁场力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当两棒速度相等时，c棒达最大
速度.选两棒为研究对象，根据动量守恒定律有 mbv0＝(mb＋mc)v
4
解得c棒的最大速度为：v＝
mbmb＋mc
v1
0＝2v0＝5 m/s
(2)从b棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总热量为：Q＝12m1
bv02－2
(mb＋mc)v2＝2.5 J
因为RQ
b＝Rc，所以c棒达最大速度时此棒产生的焦耳热为Qc＝2
＝1.25 J
(3)设c棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v′，从最低点上升到最高点的过程由机械能守恒可得： 12m－1
cv22
mcv′2＝mcg·2R 解得v′＝3 m/s
在最高点，设轨道对c棒的弹力为F，由牛顿第二定律得 mcg＋F＝mcv′2
R
解得F＝1.25 N
由牛顿第三定律得，在最高点c棒对轨道的压力为1.25 N，方向竖直向上.
11、如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计.质量分别为m和1
2m的金属棒b和c静止放在水平导轨上，b、c两棒均与导轨垂直.图中de虚线往右
有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场.质量为m的绝缘棒a垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h.已知绝缘棒a滑到水平导轨上与金属棒b发生弹性正碰，金属棒b进入磁场后始终未与金属棒c发生碰撞.重力加速度为g.求：
(1)绝缘棒a与金属棒b发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小； (2)金属棒b进入磁场后，其加速度为其最大加速度的一半时的速度大小； (3)两金属棒b、c上最终产生的总焦耳热. 答案 (1)0
2gh (2)562gh (3)1
3
mgh
解析 (1)设a棒滑到水平导轨时，速度为v1
0，下滑过程中a棒机械能守恒2mv02＝mgh
a棒与b棒发生弹性碰撞 由动量守恒定律：mv0＝mv1＋mv2 由机械能守恒定律：111
2mv02＝2mv12＋2mv22
解出v1＝0，v2＝v0＝2gh (2)b棒刚进磁场时的加速度最大.
b、c两棒组成的系统合外力为零，系统动量守恒. 由动量守恒定律：mvm
2＝mv2′＋2
v3′
设b棒进入磁场后任一时刻，b棒的速度为vb，c棒的速度为vc，则b、c组成的回路中的感应电动势E＝BL(vE
b－vc)，由闭合电路欧姆定律得I＝R，由安培力公式得F＝BIL＝ma，
总联立得a＝B2L2vb－vc
mR总
.
故当b棒加速度为最大值的一半时有v2＝2(v2′－v3′) 联立得v55
2′＝6v2＝62gh
(3)最终b、c以相同的速度匀速运动.
由动量守恒定律：mvm12)v 由能量守恒定律：2mv1m
2＝(m＋22＝2(m＋2)v2＋Q
解出Q＝1
3
mgh
12、如图所示，两根彼此平行放置的光滑金属导轨，其水平部分足够长且处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B.现将质量为m1的导体棒ab放置于导轨的水平段，将质量为m2的导体棒cd从导轨的圆弧部分距水平段高为h的位置由静止释放.已知导体棒ab和cd接入电路的有效电阻分别为R1和R2，其他部分电阻不计，整个过程中两导体棒与导轨接触良好且未发生碰撞，重力加速度为g.求： (1)导体棒ab、cd最终速度的大小； (2)导体棒ab所产生的热量.
答案 (1)都为m2R1m1m2
m1＋m22gh (2)R1＋R2·m1＋m2
·gh
解析 (1)设导体棒cd沿光滑圆弧轨道下滑至水平面时的速度为v1
0，由机械能守恒定律m2gh＝2m2v02，解得v0＝2gh，随后，导体棒cd切割磁感线产生感应电动势，在回路中产生感应电流，导体棒cd、ab受到安培力的作用，其中导体棒cd所受的安培力为阻力，而导体棒ab所受的安培力为动力，但系统所受的安培力为零；当导体棒cd与导体棒ab速度相等时，回路的感应电动势为零，回路中无感应电流，此后导体棒cd与导体棒ab以相同的速度匀速运动，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律可得：m2v0＝(mm1＋m2)v，解得两棒最终速度为v＝
2
m1＋m2
2gh
5
(2)由能量守恒定律可得系统产生的热量为Q＝ΔE＝12m1m2v02－2(m1＋m2)v2＝1m2
m1＋m2gh
由焦耳定律可得，导体棒ab、cd所产生的热量之比是：Q1R1
Q2＝R2
解得QR1＝1m1m2
R1＋R2·m1＋m2
·gh
13 .(2017·山东青岛一模)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计.有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入圆轨道后，恰好能通过轨道最高点PP′，cd棒进入圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)ab棒开始向右运动时cd棒的加速度a0； (2)cd棒刚进入半圆轨道时ab棒的速度大小v1； (3)cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功W. 答案 (1)30 m/s2
(2)7.5 m/s (3)4.375 J
解析 (1)ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，有 E＝BdvE0 I＝R1＋R2 BId＝m2a0
解得：a0＝30 m/s2
(2)设cd棒刚进入半圆轨道时的速度为v2，系统动量定恒，有 m1v0＝m1v1＋m2v2 12mm1
2v22＝2g·2r＋2m2vP2 g＝m2vP 2m2r 解得：v1＝7.5 m/s
(3)由动能定理得12m2－1
1v12
m1v02＝－W 解得：W＝4.375 J.
6
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容