高中物理光学综合计算题

高中物理光学综合计算题

高中物理光学综合计算题

一、计算题

1.如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球

心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射

膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC

之间的距离为已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光

线平行不考虑多次反射。求该玻璃的折射率。

2.如图，半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球

的上表面水平，球面与桌面相切于A点。一细束单色光经球

心O从空气中射入玻璃体内入射面即纸面

，入射角为，出射光线射在桌面上B点处。测得AB之间的距离为现将入射光束在纸面内向左平移，求射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时，光束在上表面的入射点到O点的距离。不考虑光线在玻璃体内的多次反射。

3.如图所示，ABCD是一玻璃砖的截面图，一束光与AB

面成角从AB边上的E点射入玻璃砖中，折射后经玻璃

砖的BC边反射后，从CD边上的F点垂直于CD边射出。

已知，，，。真

空中的光速，求：

玻璃砖的折射率；

光在玻璃砖中从E到F所用的时间。结果保留两位有效数字

4.如图，玻璃球冠的折射率为，其底面镀银，底面半径是球

半径的倍，在过球心O且垂直底面的平面纸面内，有一与底

面垂直的光线射到玻璃冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面

边缘上的A点，求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。

5.一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB

为半圆的直径，O为圆心，如图所示，玻璃的折射率。

一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少？

一细束光线在O点左侧与O相距处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置。

6.在桌面上有一个倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，

圆锥的轴图中虚线与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，

如图所示．有一半径为的圆柱形平行光束垂直入射到圆

锥的桌面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率

为则：

通过计算说明光线1能不能在圆锥的侧面B点发生全反射？

光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间是多少？结果保留三位有效数字

7.半径为R的固定半圆形玻璃砖的横截面积如图所示，O点

为圆心，与直径AB的垂直。足够大的光屏CD紧靠在玻璃

砖的左侧且与AB垂直。一光束沿半径方向与成射

向O点，光屏CD区域出现两个光斑，两光斑间的距离为

求：

此玻璃的折射率

当变为多大时，两光斑恰好变为一个。

8.人的眼球可简化为如图所示的模型，折射率相同、半径不同的两个球体共轴，平行光束

宽度为D，对称地沿轴线方向射入半径为R的小球，会聚在轴线上的P点。取球体的折射率为，且，求光线的会聚角。示意图未按比例画出

9.如图，有一玻璃圆柱体，横截面半径为，长为一点光源在玻璃圆

柱体中心轴线上的A点，与玻璃圆柱体左端面距离，点光源向各个方向发射单色光，其中射向玻璃圆柱体从左端面中央半径为圆面内射入的光线恰好不会从柱体侧面射出。光速为；求：

玻璃对该单色光的折射率；

该单色光通过玻璃圆柱体的最长时间。

10.如图所示为直角三棱镜的截面图，一条光线平行于BC边入射，经棱镜折射后从AC边

射出．已知，光在真空中的传播速度为c。求：

该棱镜材料的折射率；

光在棱镜中的传播速度．

11.水平放置的三棱镜截面如图所示，，，一束竖直向下的

光束从AB边中点D入射，折射光经过三棱镜BC边反射后，从AC边上的E点垂直射出．已知真空中的光速，求：

三棱镜的折射率；

光在三棱镜中从D到E所用的时间．

12.如图所示，一条长度为的光导纤维用折射率为的材料制成．一细束激

光由其左端的中心点以的入射角射入光导纤维内，经过一系列全反射后从右端射出．求：

该激光在光导纤维中的速度v是多大？

该激光在光导纤维中传输所经历的时间是多少？

13.如图所示，直角三角形ABC是一玻璃砖的横截面，，，一

束单色光PD从AB边上的D点射入玻璃砖，入射角为，，折射光DE恰好射到玻璃砖BC边的中点E，已知光在真空中的传播速度为求：

玻璃砖的折射率n；

该光束从AB边上的D点射入玻璃砖到第一次射出玻璃砖所需的时间t．

14.如图，由透明介质构成的半球壳的内外表面半径分别

为R和一横截面半径为R的平行光束入射到半球壳

内表面，入射方向与半球壳的对称轴平行，所有的入射光线都能从半球壳的外表面射出。

已知透明介质的折射率为求半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径。

不考虑多次反射。

15.一厚度为h的大平板玻璃水平放置，其下表面贴有一半径为r的圆形发光面．在玻璃板

上表面放置一半径为R的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上．已知圆纸片恰好能完全挡住从圆形发光面发出的光线不考虑反射，求平板玻璃的折射率．

16.如图所示，某L形透明材料的折射率现沿AB

方向切去一角，AB与水平方向的夹角为为使水平方向

的光线射到AB面时不会射入空气，求的最大值。

17.如图所示，折射率的半圆形玻璃砖置于光屏MN

的上方，其平面AB与MN的距离一束单色光沿图

示方向射向圆心O，经玻璃砖后射到光屏上的点．现使玻

璃砖绕圆心O点顺时针转动，光屏上的折射光线光点距点的最远距离时，求：此时玻璃砖转过的角度为多少？

光屏上的折射光线光点距点的最远距离为多少？

18.如图所示为一个均匀透明介质球，球心位于O点，

半径为R，一束单色光从真空中沿DC方向平行于直径

AOB射到介质球上的C点，DC与的距离，若该

光束射入球体经一次反射后由E点图中未标出再次折射向真空中，此时的出射光线刚好与入射光线平行，已知光在真空中的速度为c。

介质球的折射率和光束从C点射入到从E点射出所经历的总时间；

射入球体内的光线有可能发生全反射吗？

19.如图所示，半径为R的扇形AOB为透明柱状介质的横截面，

圆心角一束平行于角平分线OM的单色光由OA射

入介质，折射光线平行于OB且恰好射向不考虑反射光线，已知光在真空中的传播速度为．

求从AMB面的出射光线与进入介质的入射光线的偏向角；

光在介质中的传播时间．

20.如图所示，将一个折射率为的透明长方体放在空气中，

矩形ABCD是它的一个截面，一单色细光束入射到P点，入射

角为．，求：

若要使光束进入长方体后能射至AD面上，角的最小值为多少？

若要此光束在AD面上发生全反射，角的范围如何？

答案和解析

1.【答案】解：由题意，结合光路的对称性与光路可逆可知，与入射光相对于OC轴

对称的出射光线一定与入射光线平行，所以从半球面射入的光线经折射后，将在圆柱体底面中心C 点反射，如图：

设光线在半球处的入射角为i，折射光线的折射角为r，则：

由正弦定理得：

由几何关系可知，入射点的法线与OC之间的夹角也等于i，该光线与OC之间的距离：

则：

由得：

由得：

答：该玻璃的折射率为。

【解析】根据题意和光的折射规律画出光路图，由几何关系确定入射角的正弦值与折射角的正弦值，再由折射定律求玻璃的折射率；

本题是几何光学问题，其基础是作出光路图，根据几何知识确定折射角是关键，结合折射定律求解。

2.【答案】解：当光线经球心O入射时，光路图如右上图所示。设玻璃的折射率为n，由折射定律有：

式中，入射角，为折射角。

为直角三角形，因此

发生全反射时，临界角C满足：

在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如右下图所示。设此时光线入射点为E，折

射光线射到玻璃体球面的D点。由题意有

在内，根据正弦定理有

联立以上各式并利用题给条件得。

答：光束在上表面的入射点到O点的距离为。

【解析】根据几何关系求出光线从O点射入时的折射角的正弦，结合折射定律求出折射率，在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，作出光路图，根据角度关系，运用正弦定理求出光束在上表面的入射点到O点的距离。

解决本题的关键作出光路图，灵活运用数学知识，结合折射定律和全反射的知识进行求解。

本题对数学几何能力要求较高，需加强这方面的训练。

3.【答案】解：光在三棱镜中传播的光路如图所示，由几

何关系可得：

，

由折射定律得：

；

由，得光在玻璃中传播的速度；

由几何关系得

则光在玻璃砖中从E到F所用的时间

答：折射率为；

光在玻璃砖中从E到F所用的时间是。

【解析】根据题意作出光路图，由光的反射定律和几何知识求出入射角和折射角，再得到玻璃砖的折射率；

根据几何知识求出光在玻璃砖中传播的距离，由求出光在玻璃中传播的速度，从而求得传播的时间。

此题关键是根据光的反射定律求解出各个分界面上的反射角和折射角，并结合几何关系进行分析计算。

4.【答案】解：设球半径为R，球冠地面中心为，连接，则

令

则：

即

已知，所以

设图中N点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示。

设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为，反射角为，玻璃的折射率为n。

由于为等边三角形，所以入射角

由折射定律得：

代入数据得：

作N点的法线NE，由于，所以

由反射定律得：

连接ON，由几何关系可知≌，则

由式可得

所以为反射角，ON为反射光线。由于这一反射光线垂直球面，所以经球面再次折射后不改变方向。

所以，该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为。答：光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为。

【解析】光线由M点射入后先发生折射，再在镀银底面发生反射，最后射出玻璃冠。已知球半径、底面半径以及折射率，则由几何关系和折射定律可求得入射角、折射角，再由几何关系可求得光线在镀银底面的入射角和反射角，从而可知反射光线与ON的关系，最后可求光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。

本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算。

5.【答案】解：根据全反射定律：，

得：，

即临界角为，如下图：

由几何知识得：，

则入射光束在AB上的最大宽度为；

设光线在距离O点的C点射入后，在上表面的入射角为，由几何关系和已知条件得：

光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图：

由反射定律和几何关系得：

，

射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出。

答：一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为；

一细束光线在O点左侧与O相距处垂直于AB从下方入射，此光线从玻璃砖射出点的位置在O点左侧或者右侧处。

【解析】由全反射定律求出临界角，然后由几何知识求出入射光束在AB上的最大宽度。本题考查了全反射定律以及反射定律的应用，正确作出光路图，灵活运用几何知识求解是关键。

6.【答案】解：

；

所以，光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．

根据几何关系知

所以，总时间

答：

通过计算光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．

光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间是

【解析】当半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，经过第一次折射时，

由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于，而玻璃的折射率为，可得入射角与临界角的大小，所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出．

可根据几何关系可确定光线在圆锥内和外通过的路程，由求出光线在玻璃中的速度，即可求解时间．

本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时

利用几何关系来辅助计算．

7.【答案】解：细光束在AB界面，一部分反射，另一部分

折射，设折射角为，光路图如图所示，

由几何关系得：

根据题意两光斑间的距离为

所以

由几何关系知

根据折射定律，折射率

若光屏CD上恰好只剩一个光斑，则说明该光束恰好发生全反射。由得临界角为：

即当时，光屏上只剩下一个光斑。

答：此玻璃的折射率为

当变为时，两光斑恰好变为一个。

【解析】光屏CD区域出现两个小光斑，一个是由于光的反射形成的，一个是光的折射

形成的，作出光路图，由几何知识求出折射角，再根据折射定律求出折射率。

为使光屏上只剩下一个光斑，必须使光线发生全反射。由临界角公式求临界角

C，即得到入射角的最小值。

对于涉及全反射的问题，要紧扣全反射产生的条件：一是光从光密介质射入光疏介质；二是入射角大于等于临界角。要作出光路图，结合几何知识研究这类问题。

8.【答案】解：设入射角为由几何关系得：，

解得：

由折射定律有：，

解得折射角为：

且由几何关系有：，

解得：

答：光线的会聚角是。

【解析】先根据几何关系求出入射角，由折射定律求得折射角，再由几何知识求光线的会聚角。

本题是光的折射定律和数学知识的综合应用，运用几何知识得到与折射角r的关系是解题

的关键。

9.【答案】解：由题意可知，光线AB从圆柱体

左端面射入，其折射光BD射到柱面D点恰好发生

全反射．

设光线在B点的入射角为i．

则

由折射定律得：

根据几何知识得：

得：

折射光BD在玻璃柱体内传播路程最长，因而传播时间最长．最长的路程为：

光在玻璃中传播的速度为：

则该单色光通过玻璃圆柱体的最长时间为：

答：玻璃对该单色光的折射率是；

该单色光通过玻璃圆柱体的最长时间是

【解析】光线AB从圆柱体左端面射入，其折射光BD射到柱面D点恰好发生全反射，入射角等于临界角C，由几何关系求出临界角C，再由公式求玻璃对该单色光的折射率；

折射光BD在玻璃柱体内传播路程最长，因而传播时间最长．由几何知识求出该单色光通过玻璃圆柱体的最长路程，由求光在玻璃中传播的速度，再求最长时间．

对于涉及全反射的问题，要紧扣全反射产生的条件：

一是光从光密介质射入光疏介质

二是入射角大于等于临界角．要掌握临界角公式，结合几何知识研究这类问题．

10.【答案】解：作出完整的光路如右

图，

根据几何关系可知，所以

．

根据折射定律有因为，所以．

，故．

在根据折射定律．

光在棱镜中的传播速度．

答：棱镜材料的折射率为．

光在棱镜中的传播速度为．

【解析】根据几何关系求出光在AC面上的入射角，再根据折射定律求出棱镜的折射率，结合求出光在棱镜中的速度．

能正确的作出光路图是解本题的关键，还要知道折射定律的一些公式．

11.【答案】解：作出光路图如图所示，根据几何知

识得：，．

由折射定律得三棱镜的折射率为：

光在三棱镜中速度为：，

由几何关系得：

故光在三棱镜中从D到E所用的时间为：

答：三棱镜的折射率为；

光在三棱镜中从D到E所用的时间为

【解析】作出光路图，根据几何知识求出光线通过AB面时的入射角i和折射角r，由光的折射定律求解折射率．

光在三棱镜中速度为，由几何知识求出光在三棱镜中通过的路程s，由求出光在三棱镜中从D到E所用的时间．

本题是几何光学问题，作出光路图是解题的关键之处，再运用几何知识求出入射角、折射角和光程，即能很容易解决此类问题．

12.【答案】解：如图所示，的材料制成，其左端的中心点以的入射角射入，

由折射定律，则有：，解得：，所以

而有：，得：，能发生光的全反射现象，

由于，

而光在玻璃中传播的速度为：；

则光沿着轴线的方向的速度为；

由上分析可得，光从A点射入到从B点射出所经历的时间为：；

解得：

答：该激光在光导纤维中的速度是；

激光在光导纤维中传输所经历的时间是

【解析】由题，单色光从左端中点A射入恰好能在纤维中发生全反射，则有．根据折射定律，结合入射角，求出光在A点的折射角．

根据几何知识求出光线在光纤中通过的路程，由求出光在光纤中传播的速度，再求解光从A点射入到从B点射出所经历的时间t．

本题考查对“光纤通信”原理的理解，利用全反射的条件求出入射角和折射角正弦，由数学知识求出光在光纤中通过的路程与L的关系，再所用的时间．

13.【答案】解：作出光路图，如图所示：

；

过E点的法线是三角形的中位线，由几何关系可知为等腰三角形，；

由几何知识可知光在AB边折射时折射角为；

所以玻璃砖的折射率为；

设临界角为，有，可解得；

由光路图及几何知识可判断，光在BC边上的入射角为，大于临界角，则光在BC边

上发生全反射；

光在AC边的入射角为，小于临界角，所以光从AC第一次射出玻璃砖；

根据几何知识可知；

则光束从AB边射入玻璃砖到第一次射出玻璃砖所需要的时间为：；

而，可解得：；

答：玻璃砖的折射率为；

该光束从AB边上的D点射入玻璃砖到第一次射出玻璃砖所需的时间为。

【解析】本题考查了光的折射；解决本题关键是作出光路图，再运用几何知识求解入射角折射角，要掌握几何光学常用的三个规律：折射定律、临界角公式和光速公式。

先据题意作出光路图，由几何知识求出光在AB边折射时的折射角，即可求得折射率；

设临界角为，由，求出临界角，可判断出光在BC边上发生了全反射，在AC 边第一次射出玻璃砖，由光路图及几何知识求出光束从AB边射入玻璃砖到第一次射出玻璃砖通过的路程，由公式求光在玻璃中的传播速度，即可求得时间。

14.【答案】解：设光从半球壳内表面边沿上的A点入射，入射角为全反射临界角也为