灵台县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

灵台县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ） A．

B．

C．

D．

2． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b6，A6，则

B（ ）111]

A．

32 B．或 C．或 D．

4344332

﹣y=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）

3． 过点（2，﹣2）且与双曲线A．

﹣

=1

B．

﹣

=1 和圆

C．﹣=1 D．﹣=1

4． 若椭圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则

椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

5． 已知函数f（x）=3cos（2x﹣A．导函数为

B．函数f（x）的图象关于直线C．函数f（x）在区间（﹣

，

），则下列结论正确的是（ ）

对称 ）上是增函数

个单位长度得到

D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移

6． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（ ） A．2n﹣1

B．﹣3n+2

﹣

C．（﹣1）n+1（3n﹣2）

D．（﹣1）n+13n﹣2

7． 已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x轴交双曲线C

的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．

8． 已知函数f（x）=xex﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．

B． C． D．

9． 在下列区间中，函数f（x）=（）x﹣x的零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3 ）

D．（3，4）

10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）

A．1 B． C． D．

，那么|﹣4|等于（ ）

11．已知||=3，||=1，与的夹角为

A．2 B． C．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若面积的最大值为4A．等腰三角形

，则此时△ABC的形状为（ ） B．正三角形 C．直角三角形

D．13

（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的

D．钝角三角形

二、填空题

13．若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆

恒有公共点，则m的取值范围是 ．

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14．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．

15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为 ．

f′x16．定义在R上的可导函数f(x)，已知ye的图象如图所示，则yf(x)的增区间是 ▲ ． y 2217．若实数x，y满足x+y﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ．

18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数fxxlnxax有两个极值点，则实数a的

1 取值范围是． x O 2 三、解答题 1 19．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，将ADM沿AM折起，使得平面ADMM为DC的中点，AB2，AD1，平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

时，求的值． 3

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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20．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（（1）求f（1）的值；

）=f（x1）﹣f（x2）．

（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

21．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．

（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记fx）fx）=ax2+bx+c与g=ax2+bx+c•lnx′x0）直线AB的斜率为k若（满足k=f（，则称其为“K函数”．判断函数（（x）是否为“K函数”？并证明你的结论．

22．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．

（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

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23．已知函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）若

24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：

（I）AB∥平面EFG； （II）平面EFG⊥平面ABC．

的最大值； ，求函数

的单调递增区间．

，

．

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灵台县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C

2． 【答案】B 【解析】

试题分析：由正弦定理可得:

a，半径为：

a，

3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 3． 【答案】A

2

﹣y=λ，

．

【解析】解：设所求双曲线方程为把（2，﹣2）代入方程

2

﹣y=λ，

解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为故选A．

【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．

4． 【答案】 A

∵椭圆【解析】解：且它们有四个交点， ∴圆的半径

，

和圆

为椭圆的半焦距）的中心都在原点，

由22，得2c＞b，再平方，4c＞b，

2222

在椭圆中，a=b+c＜5c，

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∴由

；

，得b+2c＜2a，

222

再平方，b+4c+4bc＜4a， 22∴3c+4bc＜3a， 2

∴4bc＜3b，

∴4c＜3b，

22

∴16c＜9b， 222

∴16c＜9a﹣9c， 22∴9a＞25c，

∴∴

．

，

综上所述，故选A．

5． 【答案】B

．

【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣对于B，当x=

时，f（

）=3cos（2×

﹣

）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；

）=﹣3取得最小值，

所以函数f（x）的图象关于直线对于C，当x∈（﹣

，

对称，B正确；

∈（﹣

，

），

）时，2x﹣

函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；

个单位长度，

）的图象，

对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2（x﹣

）=3co s（2x﹣

这不是函数f（x）的图象，D错误． 故选：B．

【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．

6． 【答案】C

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【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）

n+1

﹣2，故通项公式an=（﹣1）（3n﹣2）．

n+1

，绝对值为3n

故选：C．

7． 【答案】D

【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c， 双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c， c）B（﹣c，﹣ c） ∵AB为直径的圆恰过点F2 ∴F1是这个圆的圆心 ∴AF1=F1F2=2c ∴c=2c，解得b=2a ∴离心率为==

故选D．

【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．

8． 【答案】C

【解析】解：设g（x）=xex，y=mx﹣m， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g（x）=xex在直线y=mx﹣m下方， g′（x）=（x+1）ex，

g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0）， 结合函数图象得KPA≤m＜KPB， 即

≤m＜

，

，

故选：C．

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【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．

9． 【答案】A

【解析】解：函数f（x）=（）﹣x，

x

可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0， 函数的零点在（0，1）． 故选：A．

10．【答案】 C

【解析】解：第一次循环第四次循环得到的结果…

所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S ∵2011=502×4+3 所以输出的S是 故选C

11．【答案】C

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

，

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

=

．

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

12．【答案】A 【解析】解：∵∴∴

（acosB+bcosA）=2csinC，

2

（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC，

sinC=2sin2C，且sinC＞0，

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∴sinC=，

，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）

=4

，

∵a+b=8，可得：8≥2

∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，

则此时△ABC的形状为等腰三角形． 故选：A．

二、填空题

13．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．

【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，

∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可， 由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称， 故只需要令x=0有 5y2=5m

2

得到y=m

要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是 y2≥1

得到m≥1

∵椭圆方程中，m≠5

m的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．

14．【答案】

．

【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球

=，

故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=

，

设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=

=，

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根据条件概率公式，得：P2=故答案为：

=，

【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．

15．【答案】（0,1）

【解析】

考点：本题考查函数的单调性与导数的关系 16．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由x

2时ef′x1f(x)0，x2时ef′x1f(x)0，所以yf(x)的

增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间 17．【答案】10 【解析】

【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

2222

【解答】解：方程x+y﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）+（y+2）=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

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设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大， 最大值为：10． 故答案为：10． 18．【答案】

.

【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx

令f′（x）=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，

函数fxxlnxmx有两个极值点,等价于f′（x）=lnx−2mx+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，

，

当m=

1时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切， 2第 12 页，共 17 页

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1时，y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点， 21则实数m的取值范围是（0,），

21故答案为：（0,）.

2由图可知,当0三、解答题

19．【答案】（1）详见解析；（2）233.

【解析】（1）由于AB2，AMBM2，则BMAM，

又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM， ∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

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20．【答案】

【解析】解：（1）令x1=x2＞0， 代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0， 故f（1）=0．…（4分）

＞1，

（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（

）＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分） （3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数， 所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）． 由f（

）=f（x1）﹣f（x2）得，

f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，

所以f（25）=﹣2．

即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）

【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键． 21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数， 则有g′（x）=2ax+b+=

＞0；

2

从而有2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；

2

又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，

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故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2

+bx+c•lnx不是“K函数”， 事实上，对于二次函数f（x）=ax2

+bx+c，

k=

=a（x1+x2）+b=2ax0+b；

又f′（x0）=2ax0+b， 故k=f′（x0）；

故函数f（x）=ax2

+bx+c是“K函数”； 对于函数g（x）=ax2

+bx+c•lnx，

不妨设0＜x1＜x2，则k=

=2ax0+b+；

而g′（x0）=2ax0+b+

；

故=，化简可得，

=；

设t=，则0＜t＜1，lnt=；

设s（t）=lnt﹣；则s′（t）=

＞0；

则s（t）=lnt﹣是（0，1）上的增函数，

故s（t）＜s（1）=0； 则lnt≠

；

故g（x）=ax2

+bx+c•lnx不是“K函数”．

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（emx

﹣1）+2x．

若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx

﹣1≥0，f′第 15 页，共 17 页

x）＞0．

（精选高中模拟试卷

mxmx

若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值． 所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是

即

t

t

设函数g（t）=e﹣t﹣e+1，则g′（t）=e﹣1．

当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

1

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．

当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e﹣m＞e﹣1．

m

m

当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣+m＞e﹣1．

综上，m的取值范围是

23．【答案】

【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】（Ⅰ）由已知

当 （Ⅱ)即函数

当

，令 ，即

，时，，且注意到

时，递增

的递增区间为

24．【答案】

【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．

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精选高中模拟试卷

所以AB∥EG…

因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG 所以AB∥平面EFG… 所以AB⊥CD…

（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD 又BC⊥CD且AB∩BC=B 所以CD⊥平面ABC…

又E，F分别是AC，AD，的中点 所以CD∥EF 又EF⊂平面EFG，

所以EF⊥平面ABC…

所以平面平面EFG⊥平面ABC．…

【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．

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