延庆区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数f(x)cos(x的图象（ ）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)

个单位 B．向左平移个单位 2222C. 向右平移个单位 D．左平移个单位

33A．向右平移

2． a2,b4,c25，则（ ）

A．bac B．abc C．bca D．cab 3． “ab3”是“圆xy2x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．

4． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

22432513

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B）



5． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

a

ax－1，x≤1

1A．－

43C．－

4

6． 如图F1、F2是椭圆C1：

1B．－

25D．－

4

+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共

点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

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A． B． C． D．

x28y的焦点为F，7． 已知抛物线C：准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若PF2FQ，

则QF（ ） A．6

B．3

C．

8 3 D．

4 3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

8． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（ ）

A．5

B．4 C．4 D．2

9． 若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数

z1在复平面内对应的点在（ ） z2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0） C．y=x（x∈R） D．y=﹣x3（x∈R） 11．执行右面的程序框图，如果输入的t[1,1]，则输出的S属于（ ） A.[0,e2] B. (-?,e2] C.[0,5] D.[e3,5]

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【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 12．如图给出的是计算

的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥11

二、填空题

13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；

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③CN与BM成60角；④DM与BN是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．

14．如果实数x,y满足等式x2y3，那么

22y的最大值是 ． x15．无论m为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过定点 ．

xya,16．设x,y满足条件，若zaxy有最小值，则a的取值范围为 ．

xy1,2tanx17．已知函数f(x)1tanx22，则f()的值是_______，f(x)的最小正周期是______.

3【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 18．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.

三、解答题

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

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20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO图案是多边形ABEFMN，其设计创意如下：在长4cm、宽1cm的长方形ABCD中，将四边形DFEC沿直线EF翻折到MFEN（点F是线段AD上异于D的一点、点E是线段BC上的一点），使得点N落在线段AD上. （1）当点N与点A重合时，求NMF面积；

（2）经观察测量，发现当2NFMF最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积.

21．已知函数f（x）=2x﹣，且f（2）=． （1）求实数a的值； （2）判断该函数的奇偶性；

（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

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22．如图，A地到火车站共有两条路径

和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所

用时间落在个时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 。

23．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1） （1）求点C到直线AB的距离； （2）求AB边的高所在直线的方程．

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24．（本题满分12分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，E是棱CD上的一点，P是棱AA1 上的一点.

（1）求证：AD1平面A1B1D； （2）求证：B1EAD1；

（3）若E是棱CD的中点，P是棱AA1的中点，求证：DP//平面B1AE.

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延庆区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx

5,f'xsinxcosx，所以函数 336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

325ycosxcosx，故选B.

326考点：函数yAsinx的图象变换.

2． 【答案】A 【解析】

试题分析：a4,b4,c5，由于y4为增函数，所以ab.应为yx为增函数，所以ca，故

232523x23bac.

考点：比较大小． 3． 【答案】A 【

解析】

4． 【答案】A

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．

5． 【答案】

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【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

46． 【答案】 D

+y2=1上的点，

【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：∴2a=4，b=1，c=

；

222

，即x+y=（2c）=

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

+

=

=12，②

由①②得：，解得x=2﹣

，2n=2c=2=

．

，y=2+，

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2∴双曲线C2的离心率e==故选D．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

7． 【答案】A

解析：抛物线C：x8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，

2设P（a，﹣2），B（m，∵

，∴2m=﹣a，4=

），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），

+2=4+2=6．故选A．

﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=

8． 【答案】 D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，

设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4， 则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，

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PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0）， ∴|PE|min=故选：D．

=2

．

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

9． 【答案】B 【

解

析

】

10．【答案】D

【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，

y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件， y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件， y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件， 故选：D

11．【答案】B

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12．【答案】D 【解析】解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1 终值为10、步长为1 故经过10次循环才能算出S=故i≤10，应不满足条件，继续循环 ∴当i≥11，应满足条件，退出循环 填入“i≥11”． 故选D．

的值，

二、填空题

13．【答案】③④ 【解析】

试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接AN,AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC为等边三角形，所以AN,AC所成的角为60，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．

考点：空间中直线与直线的位置关系． 14．【答案】3 【解析】

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考点：直线与圆的位置关系的应用. 1

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把

y的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. x15．【答案】 （3，1） ．

【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得 即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0， ∴2x+y﹣7=0，① 且x+y﹣4=0，②

∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点． 由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）； 故答案为：（3，1）

16．【答案】[1,)

xya,【解析】解析：不等式表示的平面区域如图所示，由zaxy得yaxz，当0a1时，

xy1,平移直线l1可知，z既没有最大值，也没有最小值；当a1时，平移直线l2可知，在点A处z取得最小值；当1a0时，平移直线l3可知，z既没有最大值，也没有最小值；当a1时，平移直线l4可知，在点

A处z取得最大值，综上所述，a1．

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yl4l3l2l1AOx 17．【答案】3，.

xk2tanx2【解析】∵f(x)，∴，又∵，∴f(x)的定义域为tan2xf()tan3221tanx331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,18．【答案】【

2 3解

析】

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三、解答题

19．【答案】

，0）

，设

=0， 令

， ，

，

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

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20．【答案】（1）

3152cm2. cm；（2）43162【解析】试题分析：

（1）设MFx，利用题意结合勾股定理可得x1x4，则x据此可得NMF的面积是

15， 8115151cm2； 2816试题解析：

（1）设MFx，则FDMFx，NFx21，

152∵NFMF4，∴x1x4，解之得x，

8115152∴NMF的面积是1cm；

2816（2）设NEC，则NEF，NEBFNE，

2∴MNF，

22MN11∴NF， cosMNFsincos2cos， MFFDMNtanMNFtan2sin2cos∴2NFMF.

sin1cos∵1NFFD4，∴14，即1tan4，

sin2∴（tan4且,）， 4232∴2（tan4且,）， 2322cos12cos2设f，则f，令得， f0sinsin23列表得

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∴当2时，2NFMF取到最小值， 3

此时，NEFCEFNEBFNENFENFM在RtMNF中，MN1，MF3，MNF6，

323，NF， 3323在正NFE中，NFEFNE，

323在梯形ANEB中，AB1，AN43，BE4，

3331233∴S六边形ABEFMNSMNFSEFNS梯形ABEN. 4341463233答：当2NFMF最小时，LOGO图案面积为43cm2. 3点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 21．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣，且f（2）=， ∴4﹣=， ∴a=﹣1；（2分） （2）由（1）得函数∵∴函数

=

为奇函数．…（6分）

，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）

，

（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）

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任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则

=

…（10分）

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0 ∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， ∴f（x）在（1，+∞）上是增函数 …（12分）

【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得

P（A1）=0。1+0。2+0。3=0。6，P（A2）=0。1+0。4=0。5，

P（A1） ＞P（A2）, P（B2） ＞P（B1）,

甲应选择Li 乙应选择L2。

P（B1）=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8，P（B2）=0。1+0。4+0。4=0。9，

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知

,又由题意知，A,B独立，

23．【答案】 【解析】解（1）∵

∴根据直线的斜截式方程，直线AB：

，

，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，

； ，

∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为

（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程为：

∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．

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，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，

24．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.

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