人教版数学高中必修一教材《指数与指数幂的运算》教学设计

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解分数指数幂的概念；

（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；

（4）培养学生观察分析、抽象等的能力 2．过程与方法

通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质 3．情感、态度与价值观

（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点

1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法

发现教学法

1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学教学内容 师生互动 设计意图 环节 提出回顾初中时的整数指数幂及运算性质,老师提问，学生回答. 学习新知前的简单复n0aaaaa,a1(a0)问题 00无意义anm1ann(a0)mn习，不仅aaa;(a)amnmn能唤起学生的记(an)mamn,(ab)nanbn什么叫实数？有理数，无理数统称实数.忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习观察以下式子，并总结出规律：a＞0① ② ③ 545 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根数学中引进一引入 a105(a)aa 82252105式可以写成分数作为指数的形式，个新的概 a8(a4)2a4aa124343（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的 (a)aa 5124④a10(a)aa252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义 3aa(a0) bb(b0)122234cc(c0)nmmn554即：a 形成概念 a(a0,nN*,n1)为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导 让学生经历从“特殊一anam(a0,m,nN*) 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：amnmn一般”，“归纳一猜想”，1amn是培养学(a0,m,nN*) 生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力． 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 aaaa(a0) nm1m1m1m深化 由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导． 通过本环节的教学，进一步体会上概念 义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数 指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）aaarSrsrs(a0,r,sQ) 一环节的设计意图． （2）(a)a(a0,r,sQ) （3）rs(ab)rarbr(Q0,b0,rQ) 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5向逼近522的近似值从小于52的方. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，5逼近522的近似值从大于52的方向，(如课本图所示) 2所以，5是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂 ap(a0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 3arasars(a0,rR,sR) (ar)sars(a0,rR,sR) (ab)rarbr(a0,rR) 应用 例题 学生思考，口答，教师板演、通过举例 例1（P56，例2）求值 点评． 例1解： ① 8(2) 23233这二个例题的解答，巩固所学的分163158；25；()；()4. 8121223例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） 2a3323224； 12数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力． a3.a；a23a2；a. ② 25(5) 122分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.aaaa2322233312132512()215； 51a； 2372 ③ ()125(21)5 aaaaa a32a； 8321(5)32； aaaa(a)a. 1343413223)16324(344④()() 813课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题 补充练习： 227. ()338例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.aaa 33121(2)()2n121. 计算：的结果； n248n142. 若a33,a10384, a2312a； 222372求a3[( a)]的值. a31107n3aaaa 3a223a； 134383a3aaaa 413223(a)a. 练习答案： 24n422n11.解：原式= 22n26=2=512； 2.解：原式=3[(128)]17n39 =32归纳 总结 1．分数指数是根式的另一种写法. n3. 巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力． 先让学生独自回忆，然后师生2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 共同总结． 3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的. 课后 作业：2.1 第二课时 习案 作业 学生独立完成 巩固新知 提升能力 备选例题

例1计算 （1）2214350212412(0.01)0.5.

1（1）(0.0001)【解析】

2(27)3491()2()1.5； 649（1）原式1141 4910011111.

61015414233(3)1212（2）原式=(0.1)71[()2]2[()2]2 821371 =0.1132()1()3

838314 =10927.

77【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负

指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.

例2 化简下列各式： （1）

37a24a324b3a318a3b3a83a153a3a1；

（2）

23ab2a3(123b3)a. a【解析】 （1）原式= =a2

2=a333732aa2a8153a3a3312a2

7a33a2

1(a2)37(a31)2

a232=a37a6a1a62327a36

12=a23；

1a3(a8b)1a312b31a31a31a312b3（2）原式=

24b3112a3b32a31a3

1a31(a312b324b32)(a3112a3b324324b3)112a3b31a3

1a31a31a3a.

【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.

（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如

(2)6162[(2)]162(2)8.

（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.