方程的根与函数的零点教学设计

教学 过程 教 学 内 容 1、故事情景，引入新课： 观看《小马过河》的视频片段。 师生互动 理论依据及设计意图 教学中融入趣味小故事激发学生的学习兴趣，同时渗透函数与方程的转化思想。 《小马过河》体现一种锲而不舍的探索和善于思考的精神，前面我们学习了让我们同学压力山大的函数，这节课让我们带着《小马过河》的精创 神来研究函数与方程的设 一个重要关系。 情 境 揭 示 课 题 2、 解下列四个方程： （1）解方程x10 ； （2）解方程x22x30； （3）解方程220； （4）解方程lnx2x60. x学生思考方程（4）发现教学法强调教时，遇到障碍，思路受阻 师创设问题情境，造成学生强烈的问题意识，激发学生学习的动机。 通过解方程（4）引起认知冲突，寻找到本节课的知识生长点。 3、问题探究一： 观察得到方程的实通过回顾一次函数、二次函数、指数函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫,培养学生的思维能力和归纳能力． ⑴画出前三个方程相应函数的图象，数根是函数图象与x轴交点的横坐标，是使函数值并求出图象和x轴交点； 为零的实数x。 ⑵观察图象并思考：方程的根、函数的图象以及函数图象与x轴交点的坐标三者之间什么关系？ 1、函数零点的定义： 对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。 结合函数零点的定义和我们刚才的义 教师叙述并板书定让学生加深对函数零点定义的感知 教师设置问题，并引导学生总结。学生主动思考，积极回答 互 动 交 流 研 讨 新 知 探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？ 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根  函数y=f(x)的图象与x轴有交点 （1）函数f(x)=log2x-1的零点为_____.（2）函数y=f(x)的图象如下，则其零点为 . y x21 O3 通过例题学生总结，2、深化概念： 例1：函数f(x)(x1)(x24)的零点为（） 教师补充： A．（1,0），（-2,0），（2,0） B.1,2 1.函数的零点是实数，不C．（0,1），（0，-2），（0,2） D.1，-2,2 是点。 跟踪训练： 2.求零点的方法： （1）代数法； （2）几何法 教师设问此时能否解决lnx+2x-6=0的根的存在性问题？学生发现新问题y=lnx+2x-6的图象不会画，还是不能解决。继续研究能否不画图象就判断出零点的存在呢？ 让学生加深对函数零点概念的理解，及时矫正“零点是交点”这一误解，使学生熟悉利用方程的根和图象求函数零点的方法。 回归课堂引入，发现数形结合不能解决，激发学生进一步探究问题的积极性。 如果把函数比作一部3、问题探究二： 现在有两组小马过河的镜头（下图），电影，那么函数的零点就哪一组能说明她的行程一定渡过河？ 像是电影的一个镜头。有 时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在从视频选取两组镜头（左图），哪一组能说明她的行程一定渡过河？ 将河流抽象成x轴，过河的路线抽象成函数图象。 过河图象就与x轴产生了交点从而函数存在零点。怎样用代数式描述河两侧的位置那？ 通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值一正一负的结论. 教师设问：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？ 学生思考回答 4、零点存在判定定理： 如果函数f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么yf(x)在区间(a,b)内一定有零点，即存在教师引导学生尝试表述定理 让学生在观看思考中体会用函数图象分析函数零点存在的过程。 将函数的零点转化到图象上来，使抽象的问题直观化，更利于学生理解定理的本质. 探索定理的过程中，通过正看、逆看、换条件看，培养学生缜密思考的良好习惯。 学生对定理的两个条件认识已经成熟，适时升华，从而进一步突破本节课的难点 c(a,b)使f(c)0,这个c，也就是方程f(x)0的根。 5、问题探究三，深化理解：判断正误，若不正确，请使用函数图像举出反例。 ⑴函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有零点. (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有零点，则f(a).f(b)<0 (3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a).f(b)>0，则函数y=f(x)区间(a,b)上没有零点 (4)函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a).f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且只有一个零点 6、思考：给定理加什么条件时，函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点？ 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。 例2、判断函数f(x)=lnx+2x-6在（1，e）激发学生思考、画图,发表个人意见。 小组合作探究，加深对定理的理解。 完善对定理的认识，培养学生学习主动性和创造性，通过设问质疑让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。 由4个探究，学生自然形成零点存在定理的推论。 巩固定理同时为例题做准备 教师引导学生回到引例中的方程（4），让学生尝试用零点知识调整问法，出示例2学生板演 点评板演同学的答案，强化解题思路和步骤书写。 应 用 举 例 发 展 思 维 是否存在零点. 变式训练：求函数f(x)lnx2x6的零点个数。（思考可否一题多解） （1）培养学生问题意识 （2）前后呼应 （3）学以致用 归纳求函数零点或零点个数的方法：定义法，图象法，定理法。 归 纳 梳 理 整 体 升 华 请回顾本节课学了哪些内容？主要数学思想又有哪些？你还有哪些收获？ 学生思考回答 教师总结 通过小结，进一步完善学生的认知结构，从知识与技能、过程与方法、情感三个方面回扣教学目标。 课堂检测 1、函数f(x)=x(x－4)的零点为（ ） 小马能成功过河，不仅贵在它能亲身实践的勇气，更贵在它能用脑思考。学习路上也会遇到各种各样的“河”，只要象2、已知函数y=f(x)的图像是连续不断的，有下边对应表格， x 1 2 3 4 5 6 7 检测本节课堂学习程度 巩 固 训 练 深 化 提 高 A．(0，0)，(2，0) B．0 C．(4，0)，(0，0) D．4，0 小马一样有锲而不舍的勇气和善于动脑，你一定能到达胜利的彼岸。 f（x） 2.3 9 -7 8 -5 -8 -26 那么函数在[1,6]上的零点至少有（ ）个 A.5 B.4 C.3 D.2 布 置 作 业 课 堂 延 伸

一、必做题： (1)课本 P88 习题 1. (2) 课本 P9习题3.1 A组1、2题 二、选做探究题： 预习二分法，思考如何用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解. 继续回归引例，为二分法做好铺垫。