正弦定理与余弦定理 -2022届高考数学一轮复习讲义

一、学习目标

1.理解正弦定理、余弦定理；

2.能用正弦定理、余弦定理处理边角关系及解决三角形问题.

二、知识要点

1.设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c， （1）正弦定理：

abc； 2R（2R是ABC的外接圆的直径）

sinAsinBsinC222a2b2c2. （2）余弦定理：cab2abcosC、cosC2ab2.两边一对角类型解的个数判断：

图形 关系式 解的个数 A为锐角 A为钝角或直角 absinA 1个解 bsinAab 2个解 ab 1个解 ab 1个解 3.三角形中常用的面积公式： （1）S1111；SbcsinAacsinBabsinC. ah（h表示边a上的高）

2222三、典例分析

例1.判断下列三角形的形状：

（1）bcosCccosBasinA； （2）atanBbtanA； （3）abcab，2cosAsinBsinC.

【答案】（1）直角三角形； （2）等腰三角形； （3）等边三角形. 例2.（1）在下列情况中三角形解的个数不唯一的有________.

①a8，b16，A30； ②b18，c20，B60； ③a5，c2，A90； ④a30，b25，A150．

（2）在ABC中，若A60，a4，bx，若ABC有两解，则x的取值范围是________. 【答案】（1）②； （2）(4,83). 3222例3.（1）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a7,b2,A60，

则sinB_____，c_______.

（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知则C______，a______.

A4，a2b2c2ab，c3，

21【答案】（1），3； （2）3，6.

7例4.（1）在ABC中，点D在线段AC上， 若BDC45，ABC90，AB4，BC3，则BD_______，cosABD_______.

（2）已知ABC，ABAC4，BC2，点D为AB延长线上一点，BD2，连结CD，则BDC的面积是______，cosBDC______.

22（3）如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB32，3AD3，则BD的长为________.

【答案】（1）

122721510，； （2），； （3）3. 510242，sinB5cosC． 3例5.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA（1）求tanC的值； （2）若a2，求ABC的面积． 【答案】（1）5； （2）

5. 27，EA2，

例5.如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，ECADC2，BEC. （1）求sinCED的值； （2）求BE的长. 33

sinCED【答案】（1）

217；（2）BE47.

四、课外作业

1.在ABC中，若

abc，则ABC是（ ） cosAcosBcosCA．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B.

cosC2. 在ABC中，

23，AC4，BC3，则cosB（ ）

1112 A.9 B.3 C.2 D.3

【答案】A.

a2b2c2A,B,Ca,b,c3.设ABC的内角的对边分别为．若ABC的面积为，则C4（ ）

A．

【答案】C.

4.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(3bc)cosAacosC，则cosA（ ）

1A．

3 2 B．

 3C．

 4D．

 6 B．22 3C．3 3D．

2 3【答案】C.

5.设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcos2A2a，则

b（ ） aA．23 【答案】D.

B．22 C．3 D．2

6．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a4，A30．若ABC有两解，则b的取值范围是_____________. 【答案】4b8 7. 在ABC中，A3，AB6，AC32，点D在BC边上，ADBD，则4AD______.

【答案】10. 8.在ABC中，若AB【答案】70. 14466cosB，，AC边上的中线BD5，则sinA______. 369.在ABC中，A3，AB2，AC3，D是BC边上一点,BD2CD，则

AD_______.

【答案】55 3110．在ABC中，C90，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC________.

3【答案】6. 3B11.在ABC中，

3，AB8，点D在边BC上，且CD2，

cosADC17，则

sinBAD_______，AC________.

【答案】33，7. 1422212.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcbca，

c13，则A_______，tanB_______. b21. 213.设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足(abc)(abc)ac．

【答案】60，

（1）求B． （2）若sinAsinC31，求C． 4【答案】（1）B=120； （2）C15或C45.

14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA3cosA0，

a27，b2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.

【答案】（1）c4； （2）3.

c，15．已知在ABC中，内角A，B，且c2，2sinA3acosC． C所对的边分别是a，b，

（1）求角C的大小； （2）若2sin2Asin(2BC)sinC，求ABC的面积． 【答案】（1）C3； （2）23. 316.如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC7. （1）求cosACD的值； （2）若cosBAD721，sinCBA，求BC的长. 146 【答案】（1）cosACD27； （2）BC3. 7