导数;导数的运算

一. 本周教学内容：

3.1 导数

3.2 导数的运算

二. 教学目的

1、了解平均变化率的的概念，掌握函数平均变化率的求法；了解瞬时速度、瞬时变化率（导数）的定义，掌握瞬时速度、瞬时变化率的求法；掌握函数在某一点处导数的几何意义，弄清函数在某一点处的导数与导函数的区别与联系。

2、记住基本初等函数的求导公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，会运用运算法则和求导公式求一些函数的导数。

三. 教学重点、难点

重点：平均变化率及瞬时变化率的求法，导数的几何意义、运用导数的运算法则和求导公式来求一些函数的导数。

难点：导数的定义、几何意义的理解，求函数的瞬时变化率。

四. 知识分析

（一）平均变化率和瞬时变化率：

1、平均变化率：函数f(x)在xxo及附近有定义，令

xxx0,yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)，当x0时，比值

f(x0x)f(x0)yxx ，叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率。

关于平均变化率要注意以下几点： ①函数f(x)在x0处有定义；

②x1是x0附近的任意一点，即xx1x00，但可正可负；

③改变量的对应：若xx1x0，则yf(x1)f(x0)，而不是yf(x0)f(x1)； ④平均变化率可正可负也可为0；

⑤平均变化率对曲线的影响：平均变化率的绝对值越大，曲线“越陡”，即递增或递减的幅度越大。

2、瞬时变化率：

（1）瞬时速度：设物体运动路程与时间的关系是sh(t)，从t0到t0t这段时间内，

f(t0t)f(t0)stt，当t趋近于0时，函数sh(t)的平均物体的平均速度是

变化率趋近于一个常数，这个常数就叫做t0时刻的瞬时变化率（或瞬时速度）。

v0（2）瞬时变化率（导数）：函数f(x)在xxo及附近有定义，当自变量在xxo附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变

f(x0x)f(x0)x化率趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率，

f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)lllimx0xx记作：当x0时，，还可以表示为

函数在点x0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在xxo处的导数，并记作：

/f(x0)或y'|xx0

f(x0x)f(x0)f/(x0)limx于是可写作：x0

关于导数的概念，要注意以下两点：

①“x0”的意义：x与0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，但始终x0；

f(x0x)f(x0)x②当x0时，存在一个常数与无限接近。

3、函数的导数：如果函数f(x)在(a,b)内每一点都是可导的，从而对开区间内的每一个

x0的值，都有唯一的函数值f/(x0)与x0对应，因此开区间(a,b)内，f/(x)构成一个新函

数，此新函数称为导函数，通常简称导数，记作f(x)或yx，

注意：函数的导函数与在点xxo的导数是不同的，函数在点xxo的导数对应于唯一

/一个函数值f(x0)，而导函数仍然是关于x的一个函数。

//

（二）导数的几何意义：

1、切线的定义：曲线yf(x)的割线AB的斜率是函数yf(x)在x0处的平均变化率，当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，当点B与A重合时，得到曲线在点A处的切线，即我们用割线的极限位置上的直线来定义切线。 2、导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点 P ( x0 ， y0 ）处的切线斜率．

（三）基本初等函数的导数公式表： 1、几个常用的函数的导数；

1/1y,y2///xx2 ① yc,y0；② yx,y1；③ yx,y2x；④

2、基本初等函数的导数公式表（见课本P92的图表）

（四）导数的四则运算：

设f(x)与g(x)在区间(a,b)都是可导的，那么

///[f(x)g(x)]f(x)g(x)；特别地，该公式可推广为 ①

////[f(x)f(x)f(x)]f(x)f(x)f(x) 12n12n

/////[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)[cf(x)]cf(x) ② ，特别地

f(x)/f/(x)g(x)f(x)g/(x)1/g/(x)[][]22g(x)g(x)(g(x)0) ③ g(x)，特别地，g(x)注意：我们应该熟练的掌握基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，这样我们可

以求得许多初等函数的导数。

【典型例题】

（一）用定义求函数的平均变化率和瞬时变化率：

2f(x)xx的图像上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则例1. 已知函数

yx等于 （ ）

A.3B.3xC.3(x)2D.3x(x)2

22解析：yf(1x)f(1)(1x)(1x)(2)(x)3x

y(x)23xx3x所以x ，因此选B

点评：利用平均变化率的定义直接求解

例2. 某质点P运动时，位移s与时间t的函数关系为sf(t)2tt3，求质点P （1）在t[1,2]时的平均速度；

（2）在时刻t时运动的瞬时速度； （3）在时刻t时运动的加速度 解析：(1)、

2sf(2)f(1)5,t1,vs5t

2即 t[1,2]时的平均速度为5

（2）s2(tt)(tt)3(2tt3)(4t1)t2(t)

22slim(4t12t)4t1t0tt0故

即质点P在时刻t的瞬时速度为4t1

f/(t)lim（3）加速度是速度的变化率

f/(t)lim4/f(t)4(tt)1(4t1)4tt0t所以，故

即质点P在时刻t的加速度为4。

点评：首先明确速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，然后用平均变化率和瞬时变化率的定义加以解决。

（二）利用初等函数的导数表和导数的运算法则求导数 例3. 求下列函数的导数 （1）

y231;(2)y2xsinxcosx;(3)y(2x23)(3x2)23xxx

12/12/2/3/34(1).y(2x)(3x)4x9x解析：

(2).y(2x)sinx2x(sinx)/(cosx)/1212/11cosx()/xx

11xsinx2xcosxsinx2cosxxx

111(x)sinx(2x22)cosxxx 232y(2x3)(3x2)6x4x9x6 （3）因为

/2y18x8x9 所以

12点评：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，先化简再求导，可减少运算量．

例4. 求下列函数的导数

x3ex1(1)y2;(2)yxtanx;(3)yxx3e1

1cosx(4)y2tanx3cosx;(5)y1sinx

1(x23)2x(x3)x26x3/(1)y22(x3)(x23)2 解析：

xsinx/(xsinx)/cosx(xsinx)(cosx)/(2)y()cosxcos2x

2(sinxxcosx)cosxxsinxsinxcosxxcos2xxsin2x2cosxcos2x

1sin2xxcos2xxsin2xsin2x2x2cos2x2cos2x

(ex1)/(ex1)(ex1)(ex1)/2ex/(3)y2x(ex1)2e1/

2sinx/2(4)y/()(3cxo/s)2x3sincosxcoxs

1cosx/(1cosx)/(1sinx)(1cosx)(1sinx)//(5)y()1sinx(1sinx)2 sinx(1sinx)(1cosx)cosxsinxcosx12(1sinx)(1sinx)2

点评：要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过

对知识的重新组合，达到解决问题的目的．

22/例5. 已知f(log2x)(log4x)2log4xcos(log2x)，求f(x)

解析：用换元法可求得所以

f(x)12x2xcosx4

f/(x)1xsinx22

/f点评：本题中求的是(x)，注意观察题中所给条件，应将log2x换元，先求出f(x)的

解析式，再求导。

（三）利用导数求曲线的切线（斜率）：

例6. 已知A(1,1),B(2,4)是曲线yx上的两点，求与直线AB平行的曲线yx的切线方程。

解析：y2x ，因为直线AB的斜率为

/22k41121，又切线平行于AB，

111(,)2 ，故切点为24 所以

11yx42 ，即4x4y10 所以切线方程为

k2x1,x点评：注意将解析几何与导数综合起来解决问题。

1(,)例7. 求曲线ysinx在点62处的切线方程。

解析：因为ysinx，所以ycosx，故切线的斜率为因此所求的切线方程为

/kcos632

y13(x)226，即

x1y263 0 63点评：熟记基本初等函数的导数及导数的几何意义是解决切线问题的关键。

例8. 已知曲线y2x1，问曲线上哪一点的切线与直线y2x3垂直，并写出过这一点的切线方程。

y/ 解析：

111y/x，由已知可令 x2 ，解得x4，将x4代入

y2x1，得y5

1y5(x4)2所以曲线在点(4,5)处的切线方程为，即 x2y60

点评：掌握导数的几何意义和两直线垂直的条件是解决此题的关键所在。

（四）利用导数的几何意义求曲线中的参数值

3yx3ax有切线y3x1，求a的值。 例9. 若曲线

/2P(x,y)y3x3a 00解析：设曲线与直线相切的切点为，由已知条件得

32a12233x03a33423xa10x012 ，即2为所求 于是有 x03ax03 ，解得点评：若没有给出切点可自行设出切点，然后求导数。

/f(x)f(x)是奇函数，求 f(x)cos(3x)(0) 例10. 设函数，如果// 解析：由于f(x)sin(3x)(3x)3sin(3x)

/f(x)f(x)cos(3x)3sin(3x) 所以

因为 f(x)f(x)定义域为R且为奇函数，则f(0)0 从而 cos3sin0，所以

/tan33，

6 又 0 ，故

点评：本题主要考查三角函数的导数运算以及奇函数的性质，能够正确地进行三角函数的求导运算是解决本题的关键。另外要了解下列一种类型的函数的求导方法：

//u)g/(x)，再将ug(x)代yf[g(x)]，方法是令ug(x),yf(u)，则yf(入即可。

【模拟试题】

一、选择题：

y1、若已知函数f(x)2x的图像上一点P(1,2)及邻近点Q(1x,2y)，则x的值

2为（ ）

A.4B.4xC.42(x)2D.42x

1st28，则t2时，此木块的瞬时速度为 （ ） 2、一木块运动规律为

11A. 2 B. 1 C. 2 D. 4

23、在曲线f(x)x上的切线的倾斜角为4的切点为 （ ）

1111(,)(,)A. (0,0) B. (2,4) C. 416 D. 24

4、函数yxlnx的导数为 （ ）

1 A. x B. x C. lnx1 D. lnxx

/35、若对于任意x，有f(x)4x，f(1)2，则此函数为 （ ）

A. f(x)x B. f(x)x2 C. f(x)x1 D. f(x)x2

4444ax的导数为 （ ）

11xxxxalnaalnaaxalna22aA. B. C. D. 7、下列函数在x0处没有切线的是 （ ）

11y2xy2xcosx A. B. yxsinx C. y3xcosx D.

6、函数y8、过点(1,0)作抛物线yxx1的切线，则其中一条切线的方程为 （ ） A. 2xy20 B. 3xy30 C. xy10 D. xy10

二、填空题：

29、曲线yx在点(a,a)(a0)处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为

3316，则a=_________________________________。

10、某质点沿直线运动的位移方程为f(x)2x1，那么该质点从x1到x2的平均速度为______________________。

11、函数yxlnx在点x1处的切线方程为 _____________________________。

2m13ymx12、函数的导数为4x，则mn________________。

2

三、解答题：

/1f()x/f(x)esinxf(x)2 13、已知，求以及

14、求满足下列条件的函数f(x)：

（1）f(x)是三次函数，且f(0)3,f(0)0,f(1)3,f(2)0

2//xf(x)（2）是一次函数，且f(x)(2x1)f(x)1

22C:yx,C:y(x2),若直线与C1、C2都相切，求直线的方程。 1215、已知曲线

///16、已知曲线C:yx6xx6

（1）求C上斜率最小的切线方程；

（2）证明：C关于斜率最小时的切点对称。

32

【试题答案】

一、选择题 1、D 6、C 二、填空题 9、a=±1 三、解答题

2、C 7、A

3、D 8、D

4、C

5、C

10、－6

x11、yx1

12、3

13、解：f'(x)e

sinxexcosx

ex(sinxcosx)

1f'()e2(sincos)e222所以2

3214、解：（1）设f(x)axbxcxd(a0)， 2则f'(x)3ax2bxc。

由f(0)3，f'(0)0，易得d=3，c=0。

f'(1)33a2b3又由f'(2)0，可得：12a4b0。

解得a=1，b3。

32所以f(x)x3x3。

（2）由f'(x)是一次函数，知f(x)是二次函数。 2所以可设f(x)axbxc(a0)， 则f'(x)2axb。

22x(2axb)(2x1)(axbxc)1。 于是

2即(ab)x(b2c)xc10。

要使对任意x，方程都成立，需使a=b，b=2c，c=1。 所以a=2，b=2，c=1。

2所以f(x)2x2x1。

15、解：设l与C1相切于P1(x1，y1)，l与C2相切于P2(x2，y2)，直线l的斜率为k。

kk2C1：yx，y'2x，k2x1，P1(，)24；

22 C2：y(x2)，y'2(x2)，

k2(x22)，P2(2k2，k2)4。

k2k2()44kkk(2)2由斜率公式得：2。

解得k=0或k=4

（0）10，当k=0时，P，l的方程为y=0； （4）12，当k=4时，P，l的方程为y4x4。

22 16、（1）解：y'3x12x13(x2)13。

'所以当x=2时，ymin13。

所以当切点为（2，－12）时，切线斜率最小，其方程为13xy140。

（2）证明：设点（x0，y0）C，点（x，y）是点（x0，y0）关于（2，－12）的

x04x32对称点，则y024y。可得：24y(4x)6(4x)(4x)6。

32整理得：yx6xx6。 所以(x,y)C。

综上可知，曲线C关于切点（2，－12）对称。

【励志故事】

医术

魏文王问名医扁鹊说：“你们家兄弟三人，都精于医术，到底哪一位最好呢？” 扁鹊答说：“长兄最好，中兄次之，我最差。” 文王再问：“那么为什么你最出名呢？” 扁鹊答说：“我长兄治病，是治病于病情发作之前。由于一般人不知道他事先能铲除病因，所以他的名气无法传出去，只有我们家的人才知道。我中兄治病，是治病于病情初起之时。一般人以为他只能治轻微的小病，所以他的名气只及于本乡里。而我扁鹊治病，是治病于病情严重之时。一般人都看到我在经脉上穿针管来放血、在皮肤上敷药等大手术，所以以为我的医术高明，名气因此响遍全国。”

文王说：“你说得好极了。” 事后控制不如事中控制，事中控制不如事前控制，可惜大多数的事业经营者均未能体认到这一点，等到错误的决策造成了重大的损失才寻求弥补，有时是亡羊补牢，为时已晚。