吕梁市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ） A．100 B．150 C．200 D．250

2． 已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|A．(1,1) B．(1,1] C．[1,2) D．[1,2]

【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.

3． 487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320 B．﹣4320

C．20

D．﹣20

展开式中x﹣的系数为（ ）

3

x20}，则A(CRB)等于（ ） x14． 用反证法证明命题“a，b∈N，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是如果ab可被5整除，那么a，（ ） A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除 为（ ） A．3

B．2

C．3

D．4

5． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值

6． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 7． 幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（ ）

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A． B．﹣ C．3 D．﹣3

8． 已知等差数列{an}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（ ） A．15

B．30

C．31

D．64

x9． 已知全集UR，集合A{x||x|1,xR}，集合B{x|21,xR}，则集合AA.[1,1] B.[0,1] C.(0,1] D.[1,0) 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

CUB为（ ）

A． B． C．

D．

11．已知数列an是各项为正数的等比数列，点M(2,log2a2)、N(5,log2a5)都在直线yx1上，则数列

an的前n项和为（ ）

A．22 B．2nn12 C．2n1 D．2n11

C．

D．3

12．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．

B．

二、填空题

13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxex的底数，则不等式fx2fx240的解集为________．

1，其中e为自然对数xe14．已知随机变量ξ﹣N（2，σ2），若P（ξ＞4）=0.4，则P（ξ＞0）= ．

15．椭圆C： +

=10）3） （a＞b＞0）的右焦点为（2，，且点（2，在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．

16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数fx＝－xlnx＋ax在0，e上是增函

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a23数，函数gx＝e－a＋，当x0，ln3时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a的值

22x为______.

17．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．

18．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ．

+

=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

三、解答题

19．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边

长的概率为（ ） A BCD

20．（本小题满分12分）

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如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16， 相交，交线围成一个四边形．

（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．

BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面

21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0）， 斜率为

，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．

（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

22．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得

xi=80，

yi=20，

xiyi=184，

xi2=720．

（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程； （2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；

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（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

23．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞，且当x∈[，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

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吕梁市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×故选：A．

2． 【答案】C

=100．

=

，

3． 【答案】B

解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7）， ∴a=6， ∴

展开式的通项为Tr+1=

，

﹣

+…+

﹣1，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3， ∴

故选：B．.

4． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故应选B．

【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．

5． 【答案】A 【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，

展开式中x﹣的系数为

3

=﹣4320，

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∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值 ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

+

=3

，

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

6． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 7． 【答案】A

α

【解析】解：设幂函数为y=x，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有33

所以幂函数解析式为y=x﹣，由f（x）=27，得：x﹣=27，所以x=．

=（﹣2）α，解得：α=﹣3

故选A．

8． 【答案】A

【解析】解：∵等差数列{an}， ∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10， ∴a10=15， 故选：A．

9． 【答案】C.

，，B(,0]，∴A【解析】由题意得，A[11]10．【答案】D

【解析】解：∵f（x）=y=2x﹣e，

2

|x|

2|x|2|x|

∴f（﹣x）=2（﹣x）﹣e﹣=2x﹣e，

CUB(0,1]，故选C.

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e∈（0，1），故排除A，B；

2

2x

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x﹣e， x

∴f′（x）=4x﹣e=0有解，

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2|x|

故函数y=2x﹣e在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D

11．【答案】C

【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式．log2a21，log2a54，∴a22,a516,∴a11,q2，数列an的前n项和为2n1，选C． 12．【答案】A 【解析】解：由

2

，得3x﹣4x+8=0．

2

△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．

2

所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．

设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立

2

，得3x﹣4x﹣m=0．

2

由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，

得m=﹣．

2

所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．

所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是

2=．

故选：A． 中档题．

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是

二、填空题

13．【答案】3，2

11x1xfxe，∴,xRexfx，即函数fx为奇函数，

exeexxx又∵fxee0恒成立，故函数fx在R上单调递增，不等式fx2fx240可转化为

【解析】∵fxexfx2f4x2，即x24x2，解得：3x2，即不等式fx2fx240的解集为

2，故答案为3，2. 3，14．【答案】 0.6 ．

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【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），

2

∴曲线关于x=2对称，

∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

15．【答案】 ．

【解析】解：椭圆C：可得c=2，2a=

b2=a2﹣c2=12，可得b=2椭圆的短轴长为：4故答案为：4

．

．

， +

=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，

=8，可得a=4，

【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．

5 2【解析】fx1lnxa，因为fx在0，e上是增函数，即fx0在0，e上恒成立，

16．【答案】

alnx1，则alnx1max，当xe时，a2，

a2a2x,t1,3， 又gxea，令te，则gtta22a2a2（1）当2a3时，gtmaxg1a1，gtminga，

2235则gtmaxgtmina1，则a，

22a2a2（2）当a3时，gtmaxg1a1，gtming3a3，

22则gtmaxgtmin2，舍。

xa5。 217．【答案】 D ．

【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为： A→B→C→A→D→B→A→C→D→A

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接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A… 周期为9．

∵质点经过2015次运动， 2015=223×9+8， ∴质点到达点D． 故答案为：D．

【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．

18．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

三、解答题

19．【答案】C

【解析】20．【答案】 【解析】解：

（1）交线围成的四边形EFCG（如图所示）． （2）∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD， 平面A1B1C1D1∩α＝EF，

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平面ABCD∩α＝GC， ∴EF∥GC，同理EG∥FC. ∴四边形EFCG为平行四边形， 过E作EM⊥D1F，垂足为M， ∴EM＝BC＝10，

∵A1E＝4，D1F＝8，∴MF＝4. ∴GC＝EF＝∴GB＝

EM2＋MF2＝102＋42＝116，

GC2－BC2＝

116－100＝4（事实上Rt△EFM≌Rt△CGB）．

过C1作C1H∥FE交EB1于H，连接GH，则四边形EHC1F为平行四边形，由题意知，B1H＝EB1－EH＝12－8＝4＝GB.

∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG-FC1C与三棱柱HB1C1­GBC两部分组成． 其体积为V2＝V三棱柱EHG-FC1C＋V三棱柱HB1C1­GBC ＝S△FC1C·B1C1＋S△GBC·BB1 11

＝×8×8×10＋×4×10×8＝480， 22

∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V1＝V长方体－V2＝16×10×8－480＝800. V18005∴＝＝， V24803

53

∴其体积比为（也可以）．

3521．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为∴直线l的一个参数方程为

（t为参数）；

，

2

∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）=4ρcosθ， 22

∴y=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y=4x．

（Ⅱ） 把22

代入y=4x整理得：3t﹣8t﹣16=0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则∴

．

，

【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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22．【答案】

【解析】解：（1）由题意，n=10， =∴b=

∴y=0.3x﹣0.4； （2）∵b=0.3＞0， ∴y与x之间是正相关；

（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．

23．【答案】

【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数； （2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（1）由|2x﹣1|+|2x+2|＜x+3，得： ①

得x∈∅； 得0＜x≤；

xi=8， =

yi=2，

=0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，

②

③得…

…

综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为（2）∵a＞，x∈[，a]， ∴f（x）=4x+a﹣1…

由f（x）≤g（x）得：3x≤4﹣a，即x≤依题意：[，a]⊆（﹣∞，

]

．

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∴a≤即a≤1…

∴a的取值范围是（，1]…

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