数学与哲学

数学与哲学

从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。

1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此后各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学问题。近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣，因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去脉。

1、逻辑主义

罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯粹数学是所有形如‘p蕴涵q’的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。”

这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。

弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分析判断，因此是先验的。根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规律。把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工，计算就是推理。数字规律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有数。因此，数字规律实际上不能应用于外在世界，这些规律并不是自然规律。不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上，这些判断即是自然规律。它们反映的不是自然现象之间的关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。

早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发现悖论，这个计划遭到了困难。他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这就是他和怀特海合著的《数学原理》。

既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上，因此，书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。 不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。

要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在消除悖论之后，成功地用“类”来定义1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了n×m＝m×n。

在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：

1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。

2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。

3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 这三方面不完全一样，罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。由于哥德尔的不完全定理，3是错的，但是还可以坚持1和2。

罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人，弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑主义的观点。但是，逻辑主义观点尽管受到批判，罗素本人还一直坚持。在三十年代以后，还是有许多人发展逻辑主义。

逻辑主义从—开始就遭到批评，“因为如果数学只是一套逻辑演绎系统，那么它怎么可能反映广泛的自然现象呢？它又怎样能够有创造力呢？它又怎样能够产生新观念呢？”用维特根斯坦的话说，数学就是同语反复(重言式)，结不出任何新知识。

罗素悖论的出现，使得这一派遭到的攻击更大。彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了”。罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1，说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道1的人”，别人也说这一套完全是中世纪的教条。更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任何自然之处。尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。

对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理，它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来，显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。但是，罗素等人的历史功绩是不可磨灭的，他们为数学奠定了逻辑基础。在一段时期内，《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典，至今它还有一定的意义。

逻辑主义也不是后继无人，英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。

2、直觉主义

直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。古代数学大多是算，只是在欧几里得几何学中逻辑才起一定作用。到了十七世纪解析几何和微积分发明之后，计算的倾向大大超过了逻辑倾向。十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。 十九世纪初，三个力量出现了，一个是解五次代数方程碰钉子，需要考虑存在性定理。一个是非欧几何不矛盾，是逻辑而不是直觉在起作用。一个是数学分析不严格，产生荒谬的结果。在新的矛盾面前出现一些非构造性结果，也考虑一些无穷的问题。这时追求严密与追求实用构造两种倾向都有增长，不过一般数学家维持着微妙的平衡。

到了十九世纪末，集合论的出现激起这两方面的尖锐斗争。于是出现极端的构造主义者，象克洛耐克否认无理数存在，否认连续函数，他认为任何东西部要有构造步骤或判断准则，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。

法国数学家彭加勒等人是半直觉主义者，有人称为法国经验主义者。他们反对实无穷，反对实数集合，反对选择公理，主要因为他们认为根本不能进行无穷的构造。

现代直觉主义真正的奠基人是布劳威尔，他于1881年2月27日生于荷兰奥弗西。1897年进入阿姆斯待丹大学学习，一直到1904年，他很快掌握了当时的数学并且发表关于几何第一个结果。他多少受曼诺利的影响，关心当时的基础问题，在1907年博士论文中阐述自己对数学基础问题的观点。

布劳威尔是从哲学中得出自己观点的，基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉，而这形成自然数的概念。这倒不是新鲜的，他认为数学思维是头脑中的自由构造，与经验世界无关，只受基本数学直觉为基础的限制，在这方面他是不同于法国经验主义者的。数学概念进入人脑是先于语言、逻辑和经验的，决定概念的正确性是直觉，而不是经验及逻辑。这些充分暴露了他唯心主义和神秘主义的思想倾向。

布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界，不属于数学。数学独立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是揭露真理的工具，而是运用语言的手段。正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠基本理论本身的变革。

布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用，数学是自由的，不一定遵守什么逻辑规则。他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合。1908年，他反对把排中律运用于无穷集合上，因为有穷集合可以逐个检查，而无穷集合则办不到，因此存在不可断定真假的第三种情况，就是说有既不可证明，又非得要证明的命题。

1908年到1913年，布劳威尔主要从事拓扑学的研究，他运用单形逼近的方法证明了维数的拓扑不变性，这在数学上是个了不起的成就，是极重要的拓扑方法。他在李群、几何等方面也有出色的工作，不过很快他又转向基础研究。

布劳威尔象康德和彭加勒一样，认为数学定理是先验综合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大学就职演说中，他承认由于非欧几何的发展，康德的空间学说不可信。但他同弗雷格和罗素相反，仍然坚持康德的观点，算术是从对时间的直觉导出的。由于现代数学是建立在算术基础上的，所以整个数学也是如此。正是时间单位的序列产生序数的概念，而连续统[0，1]只是不可用

新单位穷尽的居间性，他认为几何学也依赖于这种直觉。他认为除了可数集合之外，没有其他集合，所以ω以上的超穷数都是胡说八道，象 0与 1之间所有实数的集合是毫无意义的。这点他在1908年罗马召开的国际数学家大会上讲过，数学无穷集合只有一个基数，即可数无穷。 1909年他同希尔伯特通信，指出形式主义和直觉主义的争论焦点。1912年说到这个问题之后，他一直到1917年才又开始这方面的论战。从这时起到二十年代末他发表一系列的文章，开始建立一个不依靠排中律的集合论，接着又建立构造的测度论及函数论，这是他从消极的否定转变为积极的构造。同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。他运用了扇定理，这个定理及选择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。

三十年代初期由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。外尔早在1920年左右就表示效忠于直觉主义，从而激起希尔伯特的极大愤怒。他吸收了直觉主义一些思想，开始用有限主义方法来完成证明论方案，企图一劳永逸地解决基础问题，不料没能成功，于是还得求助于无穷。

直觉主义仍然进行他们的事业，特别是海丁建立直觉逻辑系统，它包含古典逻辑系统。后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。不过，仍然不能尽如人意。

1967年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书，开始了构造主义的时期。他们不象以前直觉主义者那样偏激，而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。不去单纯的否定或争论。毕肖普自信会取得大多数人的支持，不过没有能实现，因为他们毕竟成就有限，难于同整个数学汪洋大海相比，可是十几年来构造主义还是取得一定进展，如《构造性泛函分析》等书问世，说明它还有一定的市场。

3、形式主义

一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。并且，希尔伯特的思想有一个发展变化的过程，我们简单地介绍一下。希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。更重要的是，他对于数学基础问题有着长时期的持久关注，他的思想在现代数学也占有统治地位。

大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学，1885年取得博士学位，1886年就任哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。他在哥丁根大学任教至1930年退休，其间培养了各国数学家，单是他指导的博士论文就有五、六十篇。由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌权后才迅速地衰落下去。晚年学生大都离开，他于1948年2月14在孤寂中逝世。

希尔伯特前期主要供献在不变式论方面。1895年左右，他写了代数数论的总结性巨著。二十世纪开始时，他的兴趣转向分析及物理学。从十九世纪末，他对数学基础做出重大贡献。为了方便起见，不妨把他关于数学基础和数理逻辑的主要著作开列如下：

1899年，《几何学基础》，本书多次宣印及再版，生前最后一版为第七版(1930年)。正文部分有中释本。

1900年，实数的公理化，以及“数学问题”

1904年，在海德堡国际数学家大会上的讲演—“论逻辑和算术的基础” 1917年，公理化思想

1922年，“数学的新基础”，以及“数学的逻辑基础” 1925年，论无穷 1927年，数学基础

1928年“数学基础问题”在意大利波洛那国际数学家大会上讲演；《理论逻辑纲要》(同阿克曼台著)，本书很快成为标准著作。1938年第二版，1949年第三版，有中译本，莫绍接译《数理逻辑基础》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改动。 1930年，“初等数论基础”“逻辑及对自然的认识” 1931年，“排中律的证明”

1934年，《数学基础》Ⅰ；1939年，《数学基础》Ⅱ，这两本书与贝纳斯合著 从希尔伯特的著作看来，希尔伯特提出了大部分形式主义观点，但他并没有把它们绝对化。他的观点有些地方同逻辑主义、直觉主义有着共同之处。这反映出某种矛盾，应该说这种矛盾是数学家的哲学思想上的矛盾。

关于数学中的存在，他认为不限于感觉经验的存在。在物理世界中，他认为没有无穷小、无穷大和无穷集合，但是在数学理论的各个分支中却都有无穷集合，如自然数的集合，一个线段里所有点的集合等等。这种不是经验能够直接验证的对象，他称之为“理想元素”。引进理想元素的方法在数学中其实由来已久，比如代数中虚数的引进，几何中无穷点的引进，微积分中无穷小与无穷大的引进等等。但是理想元素的引进必须不把矛盾带到原来的较窄狭的领域内。由于理想元素不能靠直观经验来验证，只能靠逻辑来验证，因此合理性的唯一判据就是无矛盾性。这种无矛盾性的真理观实际上是形式主义基本论点。

但是希尔伯特并不抱这种极端和绝对的看法，他看到引进新元素往往是对于旧元素的一种扩张，所以很自然地要求扩张之后增加的新元素仍能保留旧元素的大部分基本性质，就象数的扩张仍能使加法交换律保持成立。当然这样也就在一定意义下限制了扩张的任意性，这也是因为对于搞研究的数学家来讲，引进新概念是为了需要，而不是“游戏”，所以希尔伯特还认为“需要有相应的成果”，而且这是“至高无上的裁判”。把这个标准弄进来，反而使得标准变得模糊不清。

但是在什么情况下，关于理想元素的命题为真呢？这个问题，希尔伯特不认为每个个公式都必须得到验证，每一个概念都必须得到解释，然后通过直观验证。

在1900年的《论数的概念中》，希尔伯特提议用公理化方法来代替“生成的”方法。在《几何学基础》中，希尔伯特超过解析几何选出的算术模型来证明他的几何公理的无矛盾性。这样证明的是相对无矛盾性，也就是把几何学的无矛盾性归于实数的算术公理的无矛盾性。于是他

在1990年国际数学家大会上把算术公理的无矛盾性列为他那著名23个问题中的第二个。他没有指出任何解决这个问题的途径，而只是强调相对无矛盾性的证明没有问题。

不久，罗素悖论变得众所周知，从而无矛盾性问题变得更加紧迫。于是，希尔伯特在1904年在德国海德堡召开的国际数学家大会上提出第一个证明算术无矛盾性的打算。事实上，这是现代这方面研究的原型。他的草案是：要证明某些初等公式具有无矛盾性，并且推演规则传递这个性质。

在这篇题为《论逻辑和算术的伪基础》的报告开头，希尔伯特评论对于算术基础的不同看法。他认为，克洛耐克是教条主义者，因为他原原本本地接受整数及其所有重要性质，他不再深入下去探求整数的基础。德国科学家赫姆霍茨是经验主义者，按照他的说法，任意大的数不能够由我们的经验得出，因此是不存在的。另外有一些人，特别是德国数学家克里斯多弗张反对克洛耐克的观点。他们认为，要是没有无理数的概念，整个数学分析就势必要垮掉。于是他们企图找寻正面的、肯定的性质来确认无理数的存在。但是，他认为这种观点是不彻底的，因此说他们是机会主义的。这几种观点，希尔伯特都表示反对。

希尔伯特认为比较深入的观点是下面几种：一是弗雷格的逻辑主义，他把数学规则建立在逻辑的基础上；二是戴德金的先验主义，他是根据哲学上的论证来推断无穷的存在，不过他对数的论述中包含着“所有对象的集合”这类矛盾了；三是康托尔的主观主义观点，他清楚地区分“相容集”及“不相容集”。但是他没有提供明显的判据，因此缺乏客观的可靠性。 希尔伯特认为所有困难都可以通过给数的概念建立完全而严格的基础而得到克服，这就是公理化方法。1904年以后，希尔伯特把主要精力放在研究积分方程等分析问题以及物理学公理此等方面，没有发表什么数学基础方面的著作。这时，各种流派进行的激烈斗争，也不能不使希尔伯特关心。尤其是布劳威尔直觉主义的出现，他感到对于整个数学的生存和发展是个极大的威胁，于是他开始投入战斗。

从1917年起的二十多年时间里，他为了挽救古典数学竭尽全力。1917年他在苏黎世发表一篇演说，题目是“公理思想”。这篇文章全面叙述了一些与认识论有关的问题，如数论和集合论的无矛盾性，每个数学问题的原则上可解性，找出数学说明的单纯性，的标准数学中内容与形式表示的关系，数学问题通过有限步骤的可判定性问题。这些问题预示着后来数理逻辑的发展。他认为，要想深入研究就必须对数学证明的概念进行深入的研究。既然逻辑推理可以符号化，进行数学的研究，为什么证明不行呢？他提出了证明论的一般思想和目标，但是没有具体化。 希尔伯特他第一篇证明论的工作是1922年发表的，在《数学的新基础：第一篇》中，他论述如何把数论用有限方法讨论，而数学本身却一般须用超穷方法。他指出用符号逻辑方法可以把命题和证明加以形式化，而把这些形式化的公式及证明直接当做研究对象。在1922年在德国自然科学家协会莱比锡会议上，他做了《数学的逻辑基础》的演讲，更进一步提出了证明方法。要求有限主义，即经过有限步不推出矛盾来即为证明可靠，这称为希尔伯特计划。

其实早先弗雷格已经坚持认为需要有明显的符号系统，明显的公理及推演规则，明显的证明。希尔伯特定走的更远，他提出这样一种明显理论本身也做为一种数学研究的对象，且应用适当的方法来判定它是否无矛盾，这种做法一般称为元数学。

希尔伯特建议两条最基本的原则：一、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；二、有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。

4、数学与哲学

现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。

这样一来，数学家与数学基础、数理逻辑，乃至数学哲学脱离的越来越远，这可以从当代一位有影响的数学家的说法看出来。布尔巴基学派主要成员丢东涅谈到：“众所周知，从十九世纪后半叶以来，数理逻辑和集合论的发展引起当时许多数学家的兴趣乃至极大的热情，他们甚至并非逻辑专家，也毫不迟疑地参与由这些问题所引起的论战。到今天，这种局面完全两样。我觉察不到当代数学界的年轻的领袖人物对于基础问题表示过程何兴趣，除非他们专搞这一行”。当然，他们也不能说没有自己的哲学。拿布尔巴基学派来说，他们就是形式主义派的极端代表。不过，他们对哲学论战不那么感兴趣罢了。

在十九世纪末，这种情况则完全不一样。哲学的论战与基础问题紧密结合在一起，成为几乎每位重要数学家的关注对象。到了二十世纪，更是有着所谓三大派——逻辑主义、直觉主义和形式主义的争论。不过这些争论问题并没有得到解决，更重要的是，它们似乎离数学问题越来越远，因此越来越失掉了指导意义。

三十年代以后，讨论数学哲学的不多论著大都是数理逻辑专家或哲学家写的。因此，他们讨论的哲学问题大都偏重于数理逻辑，而较少涉及数学本身的哲学问题。王浩在他的《从数学到哲学》—书中，谈到数学哲学讨论的主要问题：1、纯粹逻辑的本性及其在人类知识中的地位；2、数学概念的刻划；3、直觉及形式化在数学中的地位；4、逻辑与数学的关系；5、数学的本性及其与下列诸概念的关系，必然性、分析性、真理性、先验性、自明性；6、数学在人类知识中的地位；7、数学活动及实际。

显然这些问题都是数理逻辑专家感兴趣的题目。但是在过去，数学哲学的题目比这更广泛、更一般。我们列举几条：1、数学的对象以及它们与现实世界(或实在)的关系；2、(由此产生的)数学中的“存在”，乃至无穷的意义；3、数学活动的本质是发现还是发明；4、数学的真理性、绝对性、相对性、约定性；5、真理的判断标准；6、数学与逻辑的关系；7、数学的方法论，公理化与形式化。

数学作为人类知识体系的一部分，不能不直接或间接和人类社会实践活动有关。在长期实践过程中，人们进行计数、计算、测量、造型(建筑)、产生出算术、代数、几何等方面数学知

识。随着人类认识的深入，形成了数学的体系，它的内容主要是符号化、计算方法、概念与规律性、证明推理。

到了十九世纪七十年代，数学内容进一步发生变化：集合论成为统一数学的新基础，数理逻辑的形成、公理化运动、数学结构、抽象数学概念指数增长。在这种情况下数学内容与其实际背景脱离越来超远，从局部看来仿佛是从天上掉下来的，这就导致数学对象的唯心主义理解。 关于数学的对象有三种观点：实在论、观念论、形式主义，实在论观点是说数学命题反映我们物理世界最普遍的性质。这种观点比较古老，很长时期占统治地位。按照这种观点，数学是物理科学的一部分。

观念论的数学观认为数学的对象是某种精神或思想对象。观念论按照对象的性质又可以区分为各种观点：一个极端是柏拉图主义，它把经典数学的对象无穷扩张也有其现实性；另一个极端是直觉主义，数学对象是先验的一时的直觉过程。

这种观念论的数学观也遭到批评，一是不确切，二是另有形而上学的假定，而数学应该除掉形而上学前提条件。拿直觉主义来讲什么是“直觉”呢？很难讲清。不过，它们有这样的性质：1、它本质上是一种思维活动；2、它是先验的；3、它不依赖于语言；4、它是客观的，也就是对于所有思想者都是同样的。

形式主义的数学对象是形式系统，形式系统与以上两种数学观的对象不同，它只是一个架子，指定一些对象而不管其意义如何，然后由对象按照一定规则组成项，并规定由项组成的一些原始话题的方式，再指定一些原始命题称为公理及推演规则。数学的对象就是这样构成的形式系统，其主要任务就是由这些对象推出定理来。从某种意义上来讲，形式主义的数学就是符号游戏。

从上述几种观点看来，持实在论及柏拉图主义观点的人认为数学是不依赖于人们对它的认识而存在，因而具有绝对真理的性质，所以数学家的工作就在于发现这种真理。但是直觉主义者和形式主义者则认为数学家的工作在于发明。当然，人们是不可能凭空发明任何东西的。对于直觉主义者来讲，总是承认自然数是给定的，至于别的就是人们从自然数出发的发明。 形式主义者的形式系统虽说可以任意选出，但是终究在发明过程中也仰赖于经验及过去的知识，或者说是从客观世界中归纳出来的。要不然，那就的的确确是游戏了。

不过直觉主义的发明和形式主义的发明完全不同。直觉主义的发明不是任意的，而是必须能够具体选出来，也就是从自然数经过有限多步写出来。他们主张，要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎样造出来的。这种观点可以远溯到德国著名哲学家康德，他认为数学最终的真理性在于数学概念可以通过人的智慧来构造。

由于对数学对象的观点不同，所以对于数学命题的真假以及数学的可接受性也有不同的看法。一门数学是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且还有许多其他因素，特别是是否有直观或经验的依据，以及实用性。当然最重要的是真假，不过各派的真理观距离实在太远。 对于实在论者，数学命题的真假靠实践检验。它正如物理学及生物学命题一样，靠观察实验。比如高斯的确实实在在地在地球上找三点，具体测量三角形内角之和是否为180°。对于观念论者，数学命题的真假要靠先验的假定。

对于形式主义者，数学命题无所谓绝对真假，而是相对于某一个系统，但是这个系统必须是无矛盾的，无矛盾性是真理的判断标准。

产生最大矛盾之处是关于无穷的概念。在有穷的问题上，各派的对立没有那么尖锐，它主要是数学中到处出现的无穷造成的。在古希腊，关于无穷可分性没连续性的芝诺悖论使数学家对无穷特别小心。欧几里得的无穷是潜在的无穷，他不讨论无穷长的直线而只讨论可以延伸到任意长度的线段。他对无穷观念表现在“素数无穷多”是指任何有限多素数集台之外还有素数，而不考虑所有素数的无穷整体。数学家一直回避这种实在的无穷。一直到康托尔集合论之前，他们都局限于潜在的无穷，这就是超越过所有有限的变化着的有限。

而实在的无穷则分为三类：1、绝对的实在无限，完全独立的、超越世界而存在的，在神中实现的绝对的实无穷；2、超穷，现存世界或被造世界中具体化的无穷；3、超穷数，人仍所认识的抽象的实在的无穷。

依据对超穷和超穷数的见解，可以区分为下面四种观点：1、完全否认超穷和超穷数，如柯西；2、承认具体的实在无穷，但否认抽象的实在无穷，例如笛卡尔、莱布尼兹、洛克、斯宾诺莎都持这种看法；3、神学的观点，承认抽象的实在无穷而否认具体的实在无穷，也就是显示上帝的伟大，只有上帝才是无穷的，而他所创造的世界只能是有限的；4、康托尔的观点是既承认抽象的实在无穷，也承认具体的实在无穷，康托尔的观点中有柏拉图 主义的成份，他不是形式主义者。