扬州中学、溧水高中、大港中学、句容中学、句容三中、扬州一中六校2015-2016学年高二上学期12月联考试题

高二数学试卷

2015年12月

时间：120分钟 分值：160分

一、填空题（本大题共14小题，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．椭圆3x24y212的焦距为 ▲ ．

x2y21的渐近线方程是 ▲ ． 2．双曲线493．已知抛物线C:y2016x2，则它的准线方程是 ▲ ． 4．已知函数f(x)x21/，fx为fx的导函数，则f(1)的值是 ▲ ． x5．已知圆O：圆C：则两圆的位置关系为 ▲ ． x2y21，(x3)2(y4)216，（从相离、相内切、相外切、相交中选择一个正确答案）

6．直线x2y0被圆(x3)2(y1)225截得的弦长为等于 ▲ ．

7．设m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ▲ ．填序号).

①mnmn； ②∥mn∥mn ； ③mn∥mn； ④mnmn ； ⑤若m不垂直于，则m不可能垂直于内无数条直线.

8．已知函数f(x)xxx1,求函数f(x)的单调减区间为 ▲ ．

9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm， AA12cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为 ▲ ．cm3．

/10．如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)的值

32为 ▲ ．

1

x2y211．已知圆(x2)y1经过椭圆221(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此

ab22椭圆的离心率e ▲ ．

12．函数fxexmx的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y实数m的取值范围是 ▲ ．

13．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是 ▲ ．

1x垂直的切线，则2x2y214．过椭圆C:221(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，

ab且点B在x轴上的射影为右焦点F,若

11k，则椭圆的离心率e的取值范围是 ▲ ． 32二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分14分） 已知三点P53、B（2，0）。 ,、A（－2，0）

22（1）求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点． （1）求证：FG//平面PBD； （2）求证：BD⊥FG．

2

17．（本小题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，若C,D分别为线段OA,OB上的动点，且满足ACBD．

(1) 若AC4，求直线CD的方程；

(2)证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．

18．（本小题满分15分）

如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m． （1）求正四棱锥的体积V(x)；

（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？

19．（本小题满分16分）

3

x x y A C O （第17题） D B x h （第18题）

x2y26如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆C:221(ab0)的离心率为，直线l与xab3轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点. 当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为（1）求椭圆C的方程； （2）若点E的坐标为(26. 33,0)，点A在第一象限且横坐标为3，连结点A与原点O的直2线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积 （3）是否存在点E，使得

11为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定EA2EB2yA值；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)eax（aR，e是自然对数的底数）．

（1）若a1，求函数f(x)在x0处的切线方程并研究函数的极值。 （2）讨论函数的单调性；

（3）若对于任意的实数x，f(x)0恒成立，请比较e与a的大小．

aF1POEF2xB第19题 xe 4

省扬高中高二数学试卷参考答案及评分标准

时间：120分钟 分值：160分

一、填空题（本大题共14小题，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．椭圆3x24y212的焦距为 ．2

3x2y21的渐近线方程是 ．yx 2．双曲线

2493．已知抛物线C:y2016x2，则它的准线方程是 y4．已知函数f(x)x21 80641/，fx为fx的导函数，则f(1)的值是 ．1 x5．已知圆O：x2y21，圆C：(x3)2(y4)216，则两圆的位置关系为 （从相离、相内切、相外切、相交中选择一个正确答案）答案：相外切 6．直线x2y0被圆(x3)2(y1)225截得的弦长为等于 ．45 7．设m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________(填序号).

①mnmn ②∥mn∥mn ③mn∥mn ④mnmn

⑤若m不垂直于，则m不可能垂直于内无数条直线.

答案:②

8．已知函数f(x)xxx1,求函数f(x)的单调减区间为 . 1,(注意：写成闭区间也可)

9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则四棱锥ABB1D1D3213 5

的体积为 ____ cm3．

答案：6

10．如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f/(5)的值为________.答案 2

x2y211．已知圆(x2)y1经过椭圆221(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此

ab22椭圆的离心率e ．

1 31x垂直的切线，则2x12．函数fxemx的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y实数m的取值范围是 ．2,

13．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是 [1，＋∞)

x2y214．过椭圆C:221(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，

ab且点B在x轴上的射影为右焦点F,若是 ．(,)

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分14分） 已知三点P11k，则椭圆的离心率e的取值范围32122353、B（2，0）。 ,、A（－2，0）

22（1）求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

6

（2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程. 解：（1）2aPAPB210 ……………2分 所以a10，又c2，所以bac6 ……………4分

222x2y21 ……………7分 方程为：

106（2）a2，c10 ……………9分 所以bca6 ……………11分

222x2y21 ……………14分 双曲线方程为：

4616．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点． （1）求证：FG//平面PBD； （2）求证：BD⊥FG．

证明：（1）连接PE，G.、F为EC和PC的中点，

FG//PE,FG平面PBD，PE平面PBD， FG//平面PBD…………6分

（II）因为菱形ABCD，所以BDAC，又PA⊥面ABCD，BD平面ABCD， 所以BDPA，因为PA平面PAC，AC平面PAC，且PAACA，

BD平面PAC， ……………………………10分

FG平面PAC，BD⊥FG ………………………………………………14分

注意：第一问中：证明了FG∥PE得2分，用判定定理的过程中少一个条件扣2分，少两个条件4分扣完！ 17．（本小题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，若C,D分别为线段OA,OB上的动

7

点，且满足ACBD．

(1) 若AC4，求直线CD的方程；

(2)证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．

(1) 因为A(3,4)，所以OAA C O （第17题） y D B x (3)2425，…………………………………1分

又因为AC4，所以OC1，所以C(,)，…………………………………3分

3455451由BD4，得D(5,0)，所以直线CD的斜率， …………………5分

73550所以直线CD的方程为y(x5)，即x7y50．…………………………6分 (2)设C(3m,4m)(0m≤1)，则OC5m．…………………………………………7分

则ACOAOC55m，因为ACBD，所以ODOBBD5m+4， 所以D点的坐标为(5m+4,0)， ……………………………………………………8分 又设△OCD的外接圆的方程为x2y2Dx+EyF0，

17F0,22则有9m16m3mD4mEF0,……………………………………………10分

25m45m4DF0.解之得D(5m4),F0,E10m3，

所以△OCD的外接圆的方程为x2y2(5m4)x(10m3)y0，………12分 整理得x2y24x3y5m(x2y)0，

8

x2y24x3y=0,x0,x2, 令，所以（舍）或y0.y1.x+2y=0所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)．…………………………………………15分

18．（本小题满分15分）

如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m． （1）求正四棱锥的体积V(x)；

（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？

解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则

由于切去的是等腰三角形，所以AN＝1＋x2，NO＝1－x，……………2分 在直角三角形AON中，AO＝AN2－NO2＝1＋x2－(1－x)2＝2x，

………………………………4分

1122

所以V(x)＝··[2(1－x)]2·2x＝(1－x)2x，（0＜x＜1)． …………………7分

323

（不写0＜x＜1扣1分）

N O A x x h （第18题）

(1－x)2225x－122

（2）V ′(x)＝[(2x－2)x＋]＝(x－1)， ……………10分

332x2x1

令V ′(x)＝0，得x＝1(舍去)，x＝．

5

1

当x∈(0，)时，V ′(x)＞0，所以V(x)为增函数；

51

当x∈(，1)时，V ′(x)＜0，所以V(x)为减函数．

5

1

所以函数V(x)在x＝时取得极大值，此时为V(x)最大值．……………14分

51

答：当x为m时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值． ……………15分

5

9

说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分． 19．（本小题满分16分）

x2y26如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆C:221(ab0)的离心率为，直线l与xab3轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点. 当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为（1）求椭圆C的方程； （2）若点E的坐标为(26. 33,0)，点A在第一象限且横坐标为3，连结点A与原点O的直2线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积 （3）是否存在点E，使得

11为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定EA2EB2yA值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由

第19题 F1POEF2xBc622，设a3k(k0)，则c6k，b3k， a3x2y2所以椭圆C的方程为221，因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即

9k3kxAxB6k，代入椭圆方程，解得yk，于是2k266，即k， 33x2y21………………………………4分 所以椭圆C的方程为62 10

x2y21，解得y1，因点A在第一象限，从而A(3,1)， （2）将x3代入62由点E的坐标为(2323，直线PA的方程为y,0)，所以kAB(x)，

2233联立直线PA与椭圆C的方程，解得B(37,)， ………7分 55又PA过原点O，于是P(3,1)，PA4，所以直线PA的方程为x3y0，

所以点B到直线PA的距离h37355233， 513363 ………10分 SPAB4255（3）假设存在点E，使得

11为定值，设E(x0,0)， EA2EB2122x021111当直线AB与x轴重合时，有， 222222EAEB(6x0)(x06)(6x0)当直线AB与x轴垂直时，

11EA2EB22x022(1)66，

6x02122x0266由，解得，2， x3022226x0(6x0)6x0所以若存在点E，此时E(3,0)，

11为定值2. ……………12分 22EAEB根据对称性，只需考虑直线AB过点E(3,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 又设直线AB的方程为xmy3，与椭圆C联立方程组， 化简得(m23)y223my30，所以y1y2323myy，， 12m23m23又

1111， 22222222EAmy1y1(m1)y1(x13)y1(y1y2)22y1y21111所以， 222222222EAEB(m1)y1(m1)y2(m1)y1y2

11

112. EA2EB211综上所述，存在点E(3,0)，使得为定值2……………16分 22EAEB将上述关系代入，化简可得

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)exax（aR，e是自然对数的底数）．

（1）若a1，求函数f(x)在x0处的切线方程并研究函数的极值。 （2）讨论函数的单调性；

（3）若对于任意的实数x，f(x)0恒成立，请比较e与ae的大小．

x 解：（1）a1时，f(x)ex，f(0)1

af/(x)ex1，f/(0)0

所以：f(x)在x0处的切线方程为：y1

由f(x)e10得：x0 …………3分

/x当x0时，f(x)e10，f(x)在(,0)上为减函数； /x当x0时，f(x)e10，f(x)在(0,)上为增函数；

/x所以，当x0时，函数f(x)有极小值1，无极大值 …………6分 注意：不交待单调性，扣2分，不说明无极大值扣1分！ （2）f'(x)ea，

当a0时，f'(x)ea0，所以f(x)的单调增区间为(,)，…………8分 当a0时，令f'(x)ea0得xlna，

所以f(x)的单调减区间为(,lna)，单调增区间为(lna,)．…………10分 （2）由（1）知，当a0时，f(x)在(,)是单调递增，

11又因为f()ea10，所以不成立．

axxx 12

当a0时，f(x)ex0，此时eaae．

当a0时，f(x)minf(lna)elnaalnaaalna0， 所以1lna0，可得0ae， 考察函数h(x)xelnx,x(0,e]， 因为h'(x)1exe0，所以h(x)在(0,e]上单调递减， xx所以h(x)h(e)eelne0， 所以xelnx，所以exeelnxxe，

所以0ae时，exxe，ae时，exxe． 综上可知：当a0时，eaae， 当0ae时，eaae，

当ae时，eaae．……………………………16分

13