《量子力学统计力学》各章习题

习题一

1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30º初速率500米/秒从60米的高度处射出。求在重力作

用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动能和机械能。（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2，地面为零重力势能面）。 1.2、在极坐标平面中任取两点P1和P2，但它们和极点三者不共线。试分别画出在P1和P2处

的极坐标单位矢。

1.3、在球坐标系中任取一点P，试画出P点的球坐标单位矢。

1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。试分别选取两组不

同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。

1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成。试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange

方程适用的体系。

1.6、证明: Lagrange方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen形式：

TT2Q,1,2,,s qq1.7、设一个s自由度的体系的广义坐标为q(1,2,,s)。试证明存在一个任意可微函数

F(q1,q2,,qs,t)，由它与该体系的Lagrange函数构成的如下函数

LLdF(q1,q2,,qs,t)

dt 满足Langrange方程（1.67）式。

1.8、设一个s自由度的体系的广义坐标为q(1,2,,s)，满足Langrange方程（1.67）

式的Lagrange函数为L(q1,q2,,qs,q1,q2,,qs,t)。设存在另一组广义坐标，(1,2,,s)，且有变换方程

qq(1,2,,s,t)，1,2,,s

此变换叫做点变换。证明： 若通过上述点变换将L(q1,q2,,qs,q1,q2,,qs,t)变换为

LL(1,2,,s,1,2,,s,t)，则有

dLL()0, 1, 2, , s dt 这就是说，Lagrange方程的形式与所选用的广义坐标无关。

1.9、一个质量为m的物体在地球(质量为M)引力场中做周期运动。以地心为极点在轨道平面

上建立极坐标系(r,)，并选极坐标为广义坐标。 1）、写出该物体的Lagrange函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange方程导出

该物体的径向和横向运动方程；

2）、写出该物体的Hamilton函数， 并由Hamilton正则方程导出该物体的径向和横向运动方程。

1.10、一个体系由n个粒子组成，粒子质量分别为mi (i1,2,,n)。此体系在外势场中运

2

动，第i个粒子在此外势场中的势能为Vi(ri)，第i个粒子的动量为pi, 这n个粒子间的

相互作用能为V(r1,,rn)。

1）、写出该体系的Lagrange函数和Hamilton函数;

2）、写出原子序数为Z的原子中的电子体系的Lagrange函数和Hamilton函数。 1.11、写出一个自由粒子在球坐标系中的广义动量及Hamilton函数。

1.12、若函数及均为正则变量q、p(1,2,,s)及时间t 的函数，即

(p1,p2,,ps;q1,q2,,qs;t) ,

(p1,p2,,ps;q1,q2,,qs;t) ，[，]qppq1s它们的泊松括号[,]定义为

 证明： 1）、

2）、Hamilton正则方程可有如下形式

d[，H]； dttp[p，H], q[q，H], 1,2,...,s

其中，H是体系的Hamilton量。

3）、[q,p], ,1,2,...,s。

1.13、试写出一个单原子分子的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积。

1.14、一个双原子分子的运动通常包括分子质心的平动、两个原子绕质心的转动和原子间的

相对振动。试写出一个刚性双原子分子(即不考虑原子间的相对振动)的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积。

1.15、一容器内装有一种单原子分子组成的理想气体，设容器体积为V，分子总数为N，分子

质量为m。

1)、写出此单原子分子气体的哈密顿量H。

2)、计算此系统能量的曲面HE所包围的相体积的大小。

1.16、已知一个质量为m的质点在力F的作用下在一个固定的光滑水平面上运动。若在此水

平面上建立直角坐标系，则FK1xexK2yey，其中，K1和K2均为常量。试计算 该粒子能量为时能量曲面所包围的相体积。

1.17、试利用Kronecker符号、Levi-Civita符号的定义、行列式运算规则和Einstein求和约定

验证或证明：

1i 1j 1kip iq ir1)、ijk2i 2j 2k； 2)、ijkpqrjp jq jr；

3i 3j 3kkp kq kril im3)、ijklmkiljmjlim；

jl jm4)、ijkljk2il； 5)、ijkijk6

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1.18、试利用Einstein求和约定证明:

1)、(A•B)B(A)A ( B)(B•)A (A•) B

2)、•(AB)B•(A)A•(B)。

1.19、一个质量为m荷电q的粒子在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B中运动。试选直角

坐标为广义坐标, 坐标原点为电势零点, 分别写出在对称规范和Landau规范下该粒子的Lagrange函数和Hamilton函数，并分析Hamilton函数表达式的能量组成形式。 1.20、试由Maxwell方程组（1.159），并利用式（1.150）推导式（1.179）。

复习总结要求一

1a、用一句话概述本章内容。

1b、用一段话扼要叙述本章内容。

1c、以两粒子体系为例，推导基本形式的Lagrange方程、保守系的Lagrange方程和Hamilton

正则方程。

1d、以习题1.19中的体系为例，仿照§ 1.7，从基本形式的Lagrange方程出发推导Lagrange

方程。

1e、系统地总结本章的基本概念、基本公式、重要结论和结果以及基本技能。

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