康定市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

康定市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知x，y满足A．1

B．

C．

，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（ ） D．

2． 已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ）

A．1 B． C．e﹣1 D．e+1

3． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

4． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）

A．9 B．11 C．13 D．15

5． 直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ） A．

B．

C．

D．

6． 已知a=

0.50.2

，b=2，c=0.5，则a，b，c三者的大小关系是（ ）

A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a

7． 若复数（m2﹣1）+（m+1）i为实数（i为虚数单位），则实数m的值为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1

D．{1，2}

8． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁UQ）=（ ） A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5}

9． 已知向量a(m,2)，b(1,n)（n0），且ab0，点P(m,n)在圆x2y25上，则

|2ab|（ ）

A．34 B． C．42 D．32 2z2（ ） zA.1i B.1i C. 2i D. 2i

10．设复数z1i（i是虚数单位），则复数

【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 11．已知实数x，y满足有不等式组A．2

B．

C．

D．

，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（ ）

12．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

二、填空题

13．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

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精选高中模拟试卷

14．分别在区间[0,1]、[1,e]上任意选取一个实数a、b，则随机事件“alnb”的概率为_________. 15． 16．过椭圆

+

= ．

=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则

椭圆的离心率为 ．

CB、CD、CC1所成角分别为、、， 17．长方体ABCDA1BC11D1中，对角线AC1与棱则sin2sin2sin2 ．

18．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

数列{bn}满足：bn12bn2，bnan1an，且a12,a24. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前项和Sn.

20．已知函数

和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）． （1）试求f（x）的解析式；

的图象在y轴右侧的第一个最大值点

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精选高中模拟试卷

（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．

21．已知曲线C的参数方程为

（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=

的直线l 与曲线C分别

交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）． （Ⅰ）写出曲线C的普通方程； （Ⅱ）求B、C两点间的距离．

22．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；

（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．

23．（本小题满分13分）

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精选高中模拟试卷

已知函数f(x)ax33x21， （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

24．在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣（1）求证：数列{bn}为等差数列； （2）设cn=bn+1•（）（3）证明：1+

+

，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn； +…+

≤2

*

﹣1（n∈N）

12，bn=

，其中n∈N．

*

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康定市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

由图可知A（a，a），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

2． 【答案】C

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e， 【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤化为m≥x﹣e∴m≥e﹣1． 故选：C．

，

x﹣e

，x＞m+x﹣e

，则

，∴．

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

．

令f（x）=x﹣ef′（x）=1﹣ex﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．

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3． 【答案】 D

，乙射中的概率为，

【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为故两人都击不中的概率为（1﹣故目标被击中的概率为1﹣故选：D． 属于基础题． 4． 【答案】C

=

）（1﹣）=，

，

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，

【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

5． 【答案】A

【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=

．

故选：A．

6． 【答案】A

0.50.2

【解析】解：∵a=0.5，c=0.5， 0.5

∴0＜a＜c＜1，b=2＞1，

∴b＞c＞a，

故选：A．

7． 【答案】A

2

【解析】解：∵（m﹣1）+（m+1）i为实数， ∴m+1=0，解得m=﹣1，

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精选高中模拟试卷

故选A．

8． 【答案】D

【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}， ∴∁UQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}， ∴P∩（CUQ）={1，2} 故选D．

9． 【答案】A 【解析】

考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 10．【答案】A 【

解

析

】

11．【答案】B

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

联立，得A（a，a），

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精选高中模拟试卷

联立，得B（1，1），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z， 由图可知zmax=2×1+1=3，zmin=2a+a=3a， 由6a=3，得a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

12．【答案】D

【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减

结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C

当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B 故选D

【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题

二、填空题

13．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

14．【答案】

=6．

=

，

e1 eaa【解析】解析： 由alnb得be，如图所有实数对(a,b)表示的区域的面积为e，满足条件“be”的实数对(a,b)表示的区域为图中阴影部分，其面积为

10eadaea|e1，∴随机事件“alnb”的概率为

01e1． e15．【答案】 2 ．

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【解析】解：故答案为：2．

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

16．【答案】

【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，∵∠F1PF2=60°， ∴

=

， b2=

22

（a﹣c）．

．

）或（﹣c，﹣），

即2ac=∴∴e=

e2+2e﹣或e=﹣

=0， （舍去）．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．

17．【答案】 【解析】

试题分析：以AC1为斜边构成直角三角形：AC1D,AC1B,AC1A1，由长方体的对角线定理可得：

2222BC12DC12AC2(ABADAA111)sinsinsin2. 2222AC1AC1AC1AC1222

考点：直线与直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 18．【答案】

．

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【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0）， ∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2∴m+n≥6， 则d=故答案为：

．

≥3

．

，

，

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．

三、解答题

19．【答案】（1）bn2n12；（2）Sn2n2(n2n4)． 【解析】

试题分析：（1）已知递推公式bn12bn2，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得bn，变形形式为bn1x2(bnx)；（2）由（1）可知anan1bn2n2(n2)，这是数列{an}的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由an(anan1)(an1an2)

(a2a1)a1求得．

试题解析：（1）bn12bn2bn122(bn2)，∵又b12a2a124，

bn122，

bn2

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2(2n1)2n22n12n. ∴an(2222)2n2214(12n)n(22n)2n2(n2n4). ∴Sn12223n考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 20．【答案】

）的图

【解析】（本题满分为12分） 解：（1）由题意知：A=2，… ∵T=6π， ∴

=6π得

ω=，…

∴f（x）=2sin（x+φ）， ∵函数图象过（π，2）， ∴sin（∵﹣∴φ+

+φ）=1， ＜φ+=

＜

， … ， ）．…

，得φ=

∴A=2，ω=，φ=∴f（x）=2sin（x+

（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+象，

）+

]=2sin（

﹣

然后再将新的图象向轴正方向平移图象．

个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣

﹣

）．…

）的

故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（

【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．

21．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为2

（y为参数），消去参数t得，y=4x．

（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为代入抛物线方程得 可得∴

∴|BC|=|t1﹣t2|=

，t1t2=14．

=，

（t为参数），

=8．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2； 所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；

当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立 只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜故c的取值范围是{c|c

或c＞1．

或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．

23．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3ax6x3x(ax2)， （1分） ①当a0时，解f(x)0得x222或x0，解f(x)0得0x， aa第 13 页，共 15 页

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∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分） ②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

2a2a22x0，解f(x)0得x0或x

aa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a4∵f0，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分） 2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,) （12分）

21综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （13分）

2③当a0时，解f(x)0得24．【答案】

【解析】（1）证明：bn+1﹣bn=等差数列，首项为1，公差为1． （2）解：由（1）可得：bn=n． cn=bn+1•（）

=（n+1）

． +3×+…+n

++（n+1）

+…+（n+1）

，

．

﹣

=

﹣

=1，又b1=1．∴数列{bn}为

∴数列{cn}的前n项和为Tn=

=

+3×

∴Tn=

+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），

可得Tn=﹣（3）证明：1+∵

=

＜

+

． +…+=2

≤2

﹣1（n∈N）即为：1+

*

++…+≤﹣1．

（k=2，3，…）．

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∴1+∴1+

++

+…++…+

≤1+2[（

≤2

﹣1）+（﹣1（n∈N）．

*

）+…+（﹣）]=1+2=2﹣1．

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